lg对数表

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第5讲对数运算和对数函数.教师版page1of16

对数运算

和对数函

数

要求层次重难点

对数的概念及其运算性质

B

理解对数的概念

掌握当底数

1a

与

01a

时，对数

函数的不同性质

掌握对数函数的概念、图象和性质；

能利用对数函数的性质解题

换底公式

A

对数函数的概念

B

对数函数的图象和性质

C

指数函数xya与对数函数log

a

yx

互为反函数（0a且1a）

B

<教师备案>本讲的内容为对数和对数函数，关于对数的历史，在后面的小故事中有所体现，还有一部

分可称为前转：“给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙”，这是

16

世纪意大利著

名学者伽利略的一段话.从这段话可以看出，伽利略把对数与宝贵的空间和时间相提并论.

对数的发展绝非一人之功.首先要提到的是

16

世纪瑞士钟表匠标尔基，当他结识了天

文学家开普勒，看到开普勒每天与天文数字打交道,数字之大、计算量之繁重,真的难以

想象,于是便产生了简化计算的想法.从

16031611

年,标尔基用了八年的时间,一个数一

个数的算,造出了一个对数表,这个对数表帮了开普勒的大忙.开普勒认识到了对数表的

使用价值,劝标尔基赶快把对数表出版,标尔基认为这个对数表还过于粗糙,一直没下决

心出版.正在标尔基犹豫不决的时候,

1614

年

6

月在爱丁堡出版了苏格兰纳皮尔男爵所造

的题为《奇妙的对数表的说明》一书,这个对数表的出版震动了整个数学界.“对数”一词

知识框架

例题精讲

高考要求

第5讲对数运算和对数函数

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是纳皮尔首先创造的,意思是“比数”.他最早用“人造的数”来表示对数.

俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥

思苦想没法解决，睡觉时做了一个梦，梦中一位老人揭示他解答的方法，醒后他真的把

此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔，这个

传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么的高.

(一)知识内容

<教师备案>在指数函数xya中，对于每个

y



R

，存在唯一的

x

与之对应，幂指数

x

叫做以

a

为底的

y

的对数，这样从

y

到

x

的对应是指数运算的一个相反运算，让同学思考由函数的定义，

判断这是否可以定义一种新的函数？这种运算和对应的函数有什么样的性质呢？

1.对数：一般地，如果xay(0a，且

1)a

，那么数

x

叫做以

a

为底

y

的对数，记作log

a

xy，

其中

a

叫做对数的底数，

y

叫做真数.

关系式

ax

y

指数式xay

底数

(0,1)aa

指数

(R)x

幂（值）(R)y





对数式log

a

yx底数

(0,1)aa

对数

(R)x

真数(R)y





对数恒等式及对数的性质，对数log(0,1)

a

Naa满足：

⑴零和负数没有对数；

⑵

1

的对数是零，即log10

a

；

⑶底的对数等于

1

，即

log1

a

a.

2.常用对数：通常将以

10

为底的对数叫做常用对数，并把

10

logN记为lgN.

3.自然对数：在科学技术中常使用以无理数

2.71828e

为底的对数，以

e

为底的对数称为自

然对数，并且把log

e

N记为

lnN

.

4.对数与指数间的关系：当0,1aa时，logx

a

aNxN.

5.指数和对数的互化：

logb

a

aNNb.NaN

alog，

logN

a

aN

（二）主要方法：

1.重视对数的概念，应用基础概念解决具体问题

2.熟练运用指数和对数的互化

（三）典例分析：

板块一：对数的定义和相关概念

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【例1】⑴将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

①45625

；②6

1

2

64



；③

1

5.73

3

m







；④

1

2

log164

；

⑤

lg0.012

；⑥

ln102.303

.

⑵求下列各式中

x

的值：

①

64

2

log

3

x

；②

log86

x



；③

lg100x

；④2lnex

.

【例2】将下列对数式写成指数式：

（1）416log

2

1

；（2）

2

log128=7；

（3）lg0.01=-2；（4）ln10=2.303

【例3】⑴27log

9

，⑵

81log

43

，⑶



32log

32





，⑷625log

3

45

(一)知识内容

1.对数的运算性质：

如果

0a

，且1,0,0aMN，那么：

板块二：对数的运算性质和法则

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⑴

log()loglog

aaa

MNMN

；（积的对数等于对数的和）

推广

1212

log(...)loglog...log

akaaak

NNNNNN

⑵

logloglog

aaa

M

MN

N



；（商的对数等于对数的差）

⑶loglog(R)

aa

MM

⑷

1

loglogn

aa

NN

n



（正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数）

<教师备案>以性质⑴为例进行证明如下：

已知

log

a

M，log

a

N（

M

、

0N

），求log()

a

MN

设

log

a

Mp，log

a

Nq，根据对数的定义，可得pMa

，qNa

由pqMNaapqa

∴log()loglog

aaa

MNpqMN

2.换底公式：

log

log

log

a

b

a

N

N

b



（,0,,1,0ababN）

<教师备案>证明：

法一：

根据指数的运算性质推导

设log

b

Nx，则xbN.

两边取以

a

为底的对数，得loglog

aa

xbN，

所以

log

log

a

a

N

x

b

，即

log

log

log

a

b

a

N

N

b

.

法二：

根据对数恒等式及对数的运算性质推导

由对数恒等式得：loglogloglog()logb

N

baaa

NbbN，

所以有

log

log

log

a

b

a

N

N

b

.

换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于

0

且不等于

1

的数为底的对数，

以达到计算、化简或证明的目的.

<教师备案>常见错误：log()loglog

aaa

MNMN；log()loglog

aaa

MNMN；

log

log

log

a

a

a

M

M

NN

.

3.关于对数的恒等式

①log

a

NaN②logn

a

an③

1

log

loga

b

b

a



④

loglog

n

n

a

a

MM

⑤

loglog

loglog

ab

ab

MM

NN



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（二）主要方法

1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；

2.解决对数不等式、对数方程时，要重视考虑对数的真数、底数的范围；

3.对数不等式的主要解决思想是对数函数的单调性.

（三）典例分析

【例4】求下列各值：

⑴

22

1

log36log3

2



；⑵

3

log3；⑶

lg1

；⑷3

log53

；⑸3

log59

；⑹3

log33；

⑺

33

log3；⑻22(lg5)lg2lg25(lg2)；⑼

827

log9log32.

【例5】求值：

⑴

257

2lg3lg7lglg

94



；⑵5

3

5

log5；⑶5

log35；⑷

32516

log4log9log5.

【例6】若

a

、

0b

，且

a

、

1b

，loglog

ab

ba，则

A.

ab

B.

1

a

b



C.

ab

或

1

a

b



D.

a

、

b

为一切非1的正数

【例7】⑴

8

log3p，

3

log5q，那么lg5等于______（用

p

，

q

表示）；

⑵知

18

log9a，185b，用,ab表示

36

log45.

【点评】⑴换底公式的一个重要应用：loglog1

mn

nm

⑵

1818

18

log2log

9



，将未知转化为已知，是对数函数运算性质的重要应用.

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【例8】已知

2

log3a，

37b

，求

12

log56

【例9】已知

lg5m

，

lg3n

，用

,mn

表示

30

log8.

【例10】已知

(0,0,1)abmabm

且log

m

bx，则log

m

a等于

A.

1x

B.

1x

C.

1

x

D.

1x

【例11】已知

1

2()xfxa，且(lg)10fa，求

a

的值.

【例12】下列各式中，正确的是

A.2lg2lgxxB.

1

loglogn

aa

xx

n



C.

log

log

log

a

a

a

x

x

yy

D.

1

loglog

2aa

xx

【例13】已知2

(3)

log(3)1

x

xx



，求实数

x

的值.

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第5讲对数运算和对数函数.教师版page7of16

【例14】设a为实常数，解关于x的方程)lg()3lg()1lg(xaxx.

1.对数函数：我们把函数log(0

a

yxa且

1a

）叫做对数函数，其中

x

是自变量，函数的定义域是

(0,)，值域为实数集

R

.

2.对数函数的图象和性质：

一般地，对数函数log(0

a

yxa且

1a

）的图象和性质如下表所示：

01a1a

图象

定义域

(0,)

值域

R

性质

⑴过定点

(1,0)

，即

1x

时，

0y

⑵在(0,)上是减函数；（2）在(0,)上是增函数.

<教师备案>因为对数函数与指数函数密切相关，所以在学习对数函数的概念、图象与性质时，要处处

与指数函数相对照.如：指数函数的值域(0,)，变成了对数函数的定义域；而指数函数的

定义域为实数集

R

，则变成了对数函数的值域；同底的指数函数与对数函数的图象关于直

线

yx

对称等.

y=log

a

x(0

O1

y

x

y=log

a

x(a>1)

O

1

y

x

板块三：对数函数

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【例15】求下列函数的定义域：

⑴2log

a

yx；⑵log(4)

a

x；⑶

1

2

log(1)yx

.

【例16】求下列函数的定义域：

⑴

3

1

log(32)

y

x





；

⑵

1

log(3)

x

yx



.

【例17】已知()log(1)x

a

fxa(0,a

且

1)a

，

⑴求

()fx

的定义域；

⑵讨论函数

()fx

的单调性；

【例18】求函数)(log)1(log

1

1

log)(

222

xpx

x

x

xf





的定义域和值域.

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第5讲对数运算和对数函数.教师版page9of16

【例19】函数2lg(20)yxx的值域是

A.y＞0B.y∈RC.y＞0且y≠1D.y≤2

【例20】已知函数2()lg[2(1)94]fxmxmxm，

⑴若此函数的定义域为

R

，求实数m的取值范围；

⑵若此函数的值域为R，求实数m的取值范围.

【点评】本题涉及到解一元二次不等式的解法，可根据学生情况进行讲解.

【例21】已知函数

1

8

log)(

2

2

3





x

nxmx

xf的定义域为R，值域为[0，2]，求m，n的值.

【例22】下面结论中，不正确的是

A.若a＞1，则xay与xy

a

log在定义域内均为增函数

B.函数xy3与xy

3

log图象关于直线xy对称

C.2log

a

yx与2log

a

yx表示同一函数

D.若01,01amn，则一定有loglog0

aa

mn

【例23】已知),,)(lg()(为常数babaxfxx

①当a，b＞0且a≠b时，求f(x)的定义域；

②当a＞1＞b＞0时，判断f(x)在定义域上的单调性，并用定义证明

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第5讲对数运算和对数函数.教师版page10of16

【例24】在函数10(logaxy

a

，)1x的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是t，t＋2，

t＋4，

（1）若△ABC的面积为S，求S＝f（t）；

（2）判断S＝f（t）的单调性；

（3）求S＝f（t）的最大值.

【例25】已知函数

2

2

log)(







x

x

xf

a

的定义域为,，值域为log(1),log(1)

aa

aa

，且)(xf

在,上为减函数.

（1）求证＞2；

（2）求a的取值范围.

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第5讲对数运算和对数函数.教师版page11of16

【例26】对于2

1

2

()log(23)fxxax

，

⑴函数的“定义域为

R

”和“值域为

R

”是否是一回事；

⑵结合“实数

a

取何值时，

()fx

在

[1)，

上有意义”与“实数

a

取何值时，函数的定义域为

(1)(3)，，

”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别.

⑶结合⑴⑵两问，说明实数

a

的取何值时

()fx

的值域为

(1]，

.

【例27】⑷实数

a

取何值时，

()fx

在

(1]，

内是增函数.

⑸是否存在实数

a

，使得

()fx

的单调递增区间是

(1]，

，若存在，求出

a

的值；若不存在，

说明理由.

【点评】该题主要考察复合对数函数的定义域、值域以及单调性问题.解题过程中遇到了恒成立问题，

“恒为正”与“取遍所有大于零的数”不等价，同时又考察了一元二次函数函数值的分布情况，

解题过程中结合三个“二次”的重要结论来进行处理.

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第5讲对数运算和对数函数.教师版page12of16

【例28】比较下列各组数的大小：

⑴

2

log3.4，

2

log8.5；

⑵

0.3

log1.8

，

0.3

log2.7；

⑶

log5.1

a

，

log5.9

a

(0,a

且

1)a

;

⑷20.3

，

2

log0.3，0.32

.

【点评】利用对数函数的性质比较大小的题，一般都可以通过对数函数的单调性，通过直接比较、中

间值法或者图象法得到相关结论.

如：设

110a

，比较2lga，2(lg)a，

lg(lg)a

的大小.

1100lg1aa

，于是22lg(lg)0(lg)lgaaa.

【例29】设

2

(log)2(0)xfxx，则f（3）的值是

A.128B.256C.512D.8

【例30】a、b、c是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系是

A.c＞a＞bB.c＞b＞aC.a＞b＞cD.b＞a＞c

【例31】（2005年天津文）

已知

111

222

logloglogbac

，则（）

A.

222bac

B.

222abc

C.

222cba

D.

222cab

【例32】如果02log2log

ba

，那么a，b的关系及范围.

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第5讲对数运算和对数函数.教师版page13of16

【例33】⑴若

log2log20

ab



，则（）

A.

01ab

B.

01ba

C.

1ab

D.

1ba

⑵已知

2

log1

3a



，求

a

的取值范围.

【点评】在上面的对数函数图象中，共有四条对数函数log

a

yx，底数

a

的大小比较可以通过作一条

直线：

1y

，于四条曲线分别交于点

1234

,,,PPPP，易知，这四点的横坐标即对应相应的底数

的值，故比较这四点的横坐标即可.

【例34】已知函数

()1log3

x

fx，()2log2

x

gx，

⑴试比较函数值

()fx

与

()gx

的大小；

⑵求方程

|()()|()()4fxgxfxgx

的解集.

【例35】函数log

a

yx在[2,)x上恒有||1y，求

a

的范围.

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第5讲对数运算和对数函数.教师版page14of16

【例36】已知a＞0，a≠1，10x，比较|)1(log|x

a

和|)1(log|x

a

的大小.

【例37】若

2

3

log1a，则a的取值范围是

A.

2

0

3

aB.

2

3

aC.

2

1

3

aD.

2

0

3

a或a＞1

【例38】若关于2

3lglg

)lg(







x

ax

至少有一个实数根，则求a的取值范围.

【例39】设a，b为正数，若lg()lg()10axbx有解，则求

b

a

的取值范围.

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【例40】如果2

11

22

22

log(1)log2

aa

aa



≤

，求

a

的取值范围.

【例41】已知}2)385(log|{2xxxA

x

，24{|210}Bxxxk≥，要使AB，求实数k的取值

范围.

【例42】设正数a，b，c满足222cba.

（1）求证：1)1(log)1(log

22











b

ca

a

cb

；

（2）又设1)1(log

4







a

cb

，

3

2

)(log

8

cba，求a，b，c的值.

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【例43】（1）已知0(2loglogayx

aa

，)1a，求

yx

11

的最小值.

（2）已知2052yx，求yxlglg的最大值.

（3）已知4422yx，求xy的最大值.

【例44】解方程

)12(log

2

)22(log

2

1

2



x

x