两平面平行

9.4两个平面平行

●知识梳理

1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么

这两个平面平行.

2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行.

●点击双基

1.（2005年春季北京，3）下列命题中，正确的是

A.经过不同的三点有且只有一个平面

B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线

C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线

D.垂直于同一个平面的两个平面平行

答案：C

2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：

①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有

A.1种B.2种C.3种D.4种

解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾.

答案：C

3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是

A.α、β都平行于直线a、b

B.α内有三个不共线点到β的距离相等

C.a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥β

D.a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β

解析：A错，若a∥b，则不能断定α∥β；

B错，若A、B、C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；

C错，若a∥b，则不能断定α∥β；D正确.

答案：D

4.a、b、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，

给出六个命题：











































































∥

∥

∥

⑥∥

∥

∥

⑤∥

∥

∥

④

∥

∥

∥

③∥

∥

∥

②∥

∥

∥

①

a

a

a

ca

c

c

c

ba

b

a

ba

cb

ca

;

;;;

其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）

答案：①④⑤⑥

●典例剖析

【例1】设平面α∥平面β，AB、CD是两条异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，

且A、C∈α，B、D∈β，求证：MN∥平面α.

A

B

C

D

E

M

N





剖析：因为AB与CD是异面直线，故MN与AC、BD不平行.在平面α、β中不易找到

与MN平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通

过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN且与α平行的平面.根据M、N是异面直线

上的中点这一特征，连结BC，则此时AB、BC共面，即BC为沟通AB、CD的桥梁，再取

BC的中点E，连结ME、NE，用中位线知识可证得.

证明：连结BC、AD，取BC的中点E，连结ME、NE，则ME是△BAC的中位线，故

ME∥AC，ME

α，∴ME∥α.同理可证，NE∥BD.又α∥β，设CB与DC确定的平面BCD

与平面α交于直线CF，则CF∥BD，∴NE∥CF.而NE



平面α，CFα，∴NE∥α.又ME

∩

NE=E，∴平面MNE∥α，而MN平面MNE，∴MN∥平面α.

【例2】如下图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCC

1

D

1

A

1

中，每

相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA

1

∥CC

1

.求证：平面A

1

BC

1

∥平面ACD

1

.

A

A

BC

C

D

1

1

1

证法一：作正方形BCC

1

B

1

和CC

1

D

1

D，并连结A

1

B

1

和AD.

∵AA

1

CC

1

BB

1

DD

1

，且AA

1

⊥AB，AA

1

⊥A

1

D

1

，

∴ABB

1

A

1

和AA

1

D

1

D都是正方形，且ACC

1

A

1

是平行四边形.

故它们的对应边平行且相等.

∵△ABC≌△A

1

B

1

C

1

，∴A

1

B

1

⊥B

1

C

1

.

同理，AD⊥CD.

∵BB

1

⊥AB，BB

1

⊥BC，∴BB

1

⊥平面ABC.

同理，DD

1

⊥平面ACD.

∵BB

1

∥DD

1

，∴BB

1

⊥平面ACD.

∴A、B、C、D四点共面.

∴ABCD为正方形.

同理，A

1

B

1

C

1

D

1

也是正方形.

D

D

A

A

C

C

B

B

1

1

1

1

故ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

是正方体.

易知A

1

C

1

∥AC，

∴A

1

C

1

∥平面ACD

1

.

同理，BC

1

∥平面ACD

1

，

∴平面A

1

BC

1

∥平面ACD

1

.

证法二：证ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

是正方体，同上.

连结B

1

D、B

1

D

1

，则B

1

D

1

是B

1

D在底面ABCD上的射影，

由三垂线定理知B

1

D⊥A

1

C

1

，

同理可证B

1

D⊥BA

1

，

∴B

1

D⊥平面A

1

BC

1

.

同理可证，B

1

D⊥平面ACD

1

，

∴平面A

1

BC

1

∥平面ACD

1

.

思考讨论

证明面面平行的常用方法：利用面面平行的判定定理；证明两个平面垂直于同一条直线.

【例3】如下图，在正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中，M、N、P分别是C

1

C、B

1

C

1

、C

1

D

1

的中点，求证：

A

D

D

B

B

C

C

1

1

1

1

N

P

M

（1）AP⊥MN；

（2）平面MNP∥平面A

1

BD.

证明：（1）连结BC

1

、B

1

C，则B

1

C⊥BC

1

，BC

1

是AP在面BB

1

C

1

C上的射影.∴AP⊥B

1

C.

又B

1

C∥MN，∴AP⊥MN.

（2）连结B

1

D

1

，∵P、N分别是D

1

C

1

、B

1

C

1

的中点，

∴PN∥B

1

D

1

.又B

1

D

1

∥BD，

∴PN∥BD.又PN不在平面A

1

BD上，

∴PN∥平面A

1

BD.

同理，MN∥平面A

1

BD.又PN∩MN=N，

∴平面PMN∥平面A

1

BD.

评述：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或

添加适当的平面或线.由于M、N、P都为中点，故添加B

1

C、BC

1

作为联系的桥梁.

●闯关训练

夯实基础

1.（2003年上海）在下列条件中，可判断平面α与β平行的是

A.α、β都垂直于平面γ

B.α内存在不共线的三点到β的距离相等

C.l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥β

D.l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β

答案：D

2.设平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=

３4，则CS=_____________.

解析：如图（1），由α∥β可知BD∥AC，

∴

SA

SB

=

SC

SD

，即

18

9

=

SC

SC34

，∴SC=68.

S

S

A

A

B

B

C

C









(1)(2)

D

D

如图（2），由α∥β知AC∥BD，

∴

SB

SA

=

SD

SC

=

SCCD

SC



，即

9

18

=

SC

SC

34

.

∴SC=

3

68

.

答案：68或

3

68

3.如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

容器内灌进一些水，固定容器底

面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：

AA

AA

BB

BB

CC

CC

D

D

DD

E

E

F

F

G

G

H

H

11

11

11

11

甲

乙

①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形EFGH的面积不改变；

③棱A

1

D

1

始终与水面EFGH平行；

④当容器倾斜如图乙时，EF·BF是定值.

其中正确命题的序号是_____________.

解析：对于命题①，由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD∥EH∥FG∥BC，且

平面AEFB∥平面DHGC，故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且BC为棱

柱的一条侧棱，命题①正确.对于命题②，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积

相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故②不正确.③是正确的（请给出

证明）.④是正确的，由水的体积的不变性可证得.综上所述，正确命题的序号是①③④.

答案：①③④

4.如下图，两条线段AB、CD所在的直线是异面直线，CD平面α，AB∥α，M、N

分别是AC、BD的中点，且AC是AB、CD的公垂线段.

A

B

B

C

D

E

M

N



'

（1）求证：MN∥α；

（2）若AB=CD=a，AC=b，BD=c，求线段MN的长.

（1）证明：过B作BB′⊥α，垂足为B′，连结CB′、DB′，设E为B′D的中点，

连结NE、CE，则NE∥BB′且NE=

2

1

BB′，又AC=BB′，

∴MCNE，即四边形MCEN为平行四边形（矩形）.

∴MN∥CE.又CEα，MN

α，∴MN∥α.

（2）解：由（1）知MN=CE，AB=CB′=a=CD，B′D=22BBBD





=22bc

，

∴CE=)(

4

1

222bca=222

4

1

4

1

cba，

即线段MN的长为222

4

1

4

1

cba.

5.如下图，在正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中，AB=a.

A

A

D

D

B

B

C

C

1

1

1

1

1

M

N

O

O

（1）求证：平面AD

1

B

1

∥平面C

1

DB；

（2）求证：A

1

C⊥平面AD

1

B

1

；

（3）求平面AB

1

D

1

与平面BC

1

D之间的距离.

（1）证明：∵D

1

B

1

∥DB，∴D

1

B

1

∥平面C

1

DB.

同理，AB

1

∥平面C

1

DB.

又D

1

B

1

∩AB

1

=B

1

，

∴平面AD

1

B

1

∥平面C

1

DB.

（2）证明：∵A

1

C

1

⊥D

1

B

1

，而A

1

C

1

为A

1

C在平面A

1

B

1

C

1

D

1

上的射影，∴A

1

C

1

⊥D

1

B

1

.

同理，A

1

C⊥AB

1

，D

1

B

1

∩AB

1

=B

1

.

∴A

1

C⊥平面AD

1

B

1

.

（3）解：设A

1

C∩平面AB

1

D

1

=M，

A

1

C∩平面BC

1

D=N，O

1

、O分别为上底面A

1

B

1

C

1

D

1

、下底面ABCD的中心.

则M∈AO

1

，N∈C

1

O，且AO

1

∥C

1

O，

MN的长等于平面AD

1

B

1

与平面C

1

DB的距离，即MN=A

1

M=NC=

3

1

A

1

C=

3

3

a.

培养能力

6.如下图，直线a∥直线b，a



平面α，b



平面β，α⊥平面γ，β⊥平面γ，a与b

所确定的平面不与γ垂直.如果a、b不是γ的垂线，则必有α∥β.

a

a

b

b

m

n







'

'

证明：令α∩γ=直线a′，β∩γ=直线b′.分别过a、b上任一点在α内、β内作a′、

b′的垂线m、n.根据两平面垂直的性质定理，

∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ.∴m∥n.

∵a不垂直于γ，m⊥γ，且a、m在α内，

∴a与m必是相交直线.又b与n在β内，且有a∥b，m∥n，∴a∥β，m∥β.∴α∥β.

点评：根据a∥b，在α、β内另找一对平行线.由α⊥γ、β⊥γ，联想到平面垂直的

性质定理.本例沟通了平行与垂直、线线与线面及面面之间的联系.

7.如下图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间.点A、D∈α，C、F∈γ，

AC∩β=B，DF∩β=E.

A

C

B

D







M

E

F

（1）求证：

BC

AB

=

EF

DE

；

（2）设AF交β于M，ACDF，α与β间距离为h′，α与γ间距离为h，当

h

h



的值

是多少时，△BEM的面积最大?

（1）证明：连结BM、EM、BE.

∵β∥γ，平面ACF分别交β、γ于BM、CF，

∴BM∥CF.∴

BC

AB

=

MF

AM

.

同理，

MF

AM

=

EF

DE

.∴

BC

AB

=

EF

DE

.

（2）解：由（1）知BM∥CF，

∴

CF

BM

=

AC

AB

=

h

h



.同理，

AD

ME

=

h

hh





.

∴S

BEM

=

2

1

CF·AD

h

h



（1－

h

h



）sin∠BME.

据题意知，AD与CF是异面直线，只是β在α与γ间变化位置.故CF、AD是常量，

sin∠BME是AD与CF所成角的正弦值，也是常量，令h′∶h=x.只要考查函数y=x（1－x）

的最值即可，显然当x=

2

1

，即

h

h



=

2

1

时，y=－x2+x有最大值.

∴当

h

h



=

2

1

，即β在α、γ两平面的中间时，S

BEM

最大.

8.如下图，在正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中，M、N、E、F分别是棱A

1

B

1

、A

1

D

1

、B

1

C

1

、

C

1

D

1

的中点，AB=a.

A

A

D

D

B

B

C

C

1

1

1

1

E

F

M

N

O

P

H

Q

（1）求证：平面AMN∥平面EFDB；

（2）求异面直线BE与MN之间的距离.

（1）证明：∵MN∥EF，∴MN∥平面EFDB.

又AM∥DF，

∴AM∥平面EFDB.而MN∩AM=M，

∴平面AMN∥平面EFDB.

（2）解：∵BE平面EFDB，MN平面AMN，且平面AMN∥平面EFDB，

∴BE与MN之间的距离等于两平行平面之间的距离.

作出这两个平面与平面A

1

ACC

1

的交线AP、OQ，作OH⊥AP于H.

∵DB⊥平面A

1

ACC

1

，

∴DB⊥OH.而MN∥DB，∴OH⊥MN.

则OH⊥平面AMN.

∵A

1

P=

4

2

a，AP=

4

23

a，

设∠A

1

AP=θ，则cosθ=

a

a

4

23

=

3

22

，

∴OH=AO·sinθ=

2

2

a·

3

22

a=

3

2

a.

∴异面直线BE与MN的距离是

3

2

a.

探究创新

9.科学植树的一个重要因素就是要考虑阳光对树生长的作用.现在准备在一个朝正南方

向倾角为α的斜坡上种树，假设树高为hm，当太阳在北偏东β而仰角为γ时，该树在坡面

上的影长为多少米？

分析：如下图，DE是高度为h的树，斜坡AD朝正南方向，AB为东西方向，BC为南

北方向.∠CBD=α，∠ACB=β，∠EAC=γ，∠AED=90°－γ，影长AD=x为未知量.但x

难以直接与上述诸已知量发生联系，故设∠DAC=θ为辅助未知量，以揭示x与诸已知量之

间的数量关系，作为沟通桥梁.

D

C

B

E









解：在△ADE中，

)sin(

h

=

)90sin(

x

，

即

cos

x

=

)sin(

h

.①

在△ACD中，CD=xsinθ，AC=xcosθ.

在△ABC中，BC=ACcosβ=xcosθcosβ.

在△BCD中，tanα=

BC

CD

=





cos

tan

.②

由①推得x=

)sin(

cos







h

.③

由②推得tanθ=tanαcosβ，

即θ=arctan（tanαcosβ）.

代入③，即得树在坡面上的影长.

●思悟小结

证明两平面平行的方法：

（1）利用定义证；

（2）利用判定定理证；

（3）利用“垂直于同一直线的两个平面平行”来证.

面面平行常常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行.所以注意转化思想的

应用，在处理两异面直线有关的问题中，通常采用过其中一直线上的一点作另一条直线的平

行线或直接连结的方法，即搭桥的方法，把异面问题转化为平面问题，从而应用平面几何知

识加以解决.两平面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，故应切实掌握好.

●教师下载中心

教学点睛

1.结合图形使学生熟练地掌握两个平面平行的判定定理及性质定理.

2.判定两个平面平行是本节的重点，除了依据定义、判定定理外，还可用垂直于同一条

直线的两个平面平行；法向量平行的两个平面也平行等.

3.为了应用两平面平行的条件，往往作第三个平面与它们相交.

拓展题例

【例1】下列命题中，错误的是

A.三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面

B.平面α∥平面β，aα，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥a

C.α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ的交线为a、b、c、d，则a∥b∥c∥d

D.一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件

解析：D错误.当两平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与

两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面.

如下图，α⊥β，直线AB与α、β都成45°角，但α∩β=l.

A

B





l

答案：D

【例2】在四棱锥P—ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、

PC的中点.

A

B

C

D

M

N

E

P

（1）求证：MN∥平面PAD；

（2）当MN⊥平面PCD时，求二面角P—CD—B的大小.

（1）证明：取CD的中点E，连结ME、NE.

∵M、N分别是AB、PC的中点，

∴NE∥PD，ME∥AD.于是NE∥平面PAD，

ME∥平面PAD.

∴平面MNE∥平面PAD，MN平面MNE.

∴MN∥平面PAD.

（2）解：设MA=MB=a，BC=b，则MC=22ba

.

∵N是PC的中点，MN⊥平面PCD，

∴MN⊥PC.于是MP=MC=22ba

.

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AM，PA=22AMPM

=b.

于是PD=2b，EN是△PDC的中位线，EN=

2

1

PD=

2

2

b.

∵ME⊥CD，MN⊥平面PCD，

∴EN⊥CD，∠MEN即为二面角P—CD—B的平面角.

设为α，于是cosα=

EM

EN

=

2

2

，α=45°，即二面角P—CD—B的大小为45°.