cosx的平方

同角三角函数的基本关系式

倒数关系:商的关系：平方关系：

tanα·cotα＝1

sinα·cscα＝1

cosα·cα＝1

sinα/cosα＝tanα＝cα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/cα

sin2α＋cos2α＝1

1＋tan2α＝c2α

1＋cot2α＝csc2α

（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左

正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的

积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方

和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点

的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的

乘积。”）

诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。）

sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

sin（3π/2－α）＝－

cosα

cos（3π/2－α）＝－

sinα

tan（3π/2－α）＝

cotα

cot（3π/2－α）＝

tanα

sin（3π/2＋α）＝－

cosα

cos（3π/2＋α）＝

sinα

tan（3π/2＋α）＝－

cotα

cot（3π/2＋α）＝－

tanα

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

(其中k∈Z)

两角和与差的三角函数公式万能公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————

1－tanα·tanβ

2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan2(α/2)

1－tan2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan2(α/2)

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα·tanβ

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan2(α/2)

半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

2tanα

tan2α＝—————

1－tan2α

sin3α＝3sinα－4sin3α

cos3α＝4cos3α－3cosα

3tanα－tan3α

tan3α＝——————

1－3tan2α

三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式

α＋βα－β

sinα＋sinβ＝2sin———·cos———

22

α＋βα－β

sinα－sinβ＝2cos———·sin———

22

α＋βα－β

cosα＋cosβ＝2cos———·cos———

22

α＋βα－

β

cosα－cosβ＝－2sin———·sin———

22

1

sinα·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

2

1

cosα·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]

2

1

cosα·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

2

1

sinα·sinβ＝—-[cos（α＋β）－cos（α－

β）]

2

化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）

同角三角函数的基本关系式

倒数关系商的关系平方关系

1•cottan

1•cscsin

1•ccos











csc

c

tan

cos

sin













c

csc

cot

sin

cos



122cossin

221ctan

221csccot

六边形记忆法：图形结构“上弦中

切下割，左正右余中间1”；记忆方法

“对角线上两个函数的积为1；阴影三

角形上两顶点的三角函数值的平方和等

于下顶点的三角函数值的平方；任意一

顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的

三角函数值的乘积。”

诱导公式（口诀：奇变偶不变，符号看象限。）

sin)sin(cos)cos(tan)tan(cot)cot(





cos)sin(

2





sin)cos(

2





cot)tan(

2





cos)sin(

2





sin)cos(

2





cot)tan(

2





tan)cot(

2

余弦定理

三角函数

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本

质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角

函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种

定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数

列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值

函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在

物理学中，三角函数也是常用的工具。

基本初等内容

它有六种基本函数(初等基本表示)：

函数名正弦余弦正切余切正割余割

正弦函数sinθ=y/r

余弦函数cosθ=x/r

正切函数tanθ=y/x

余切函数cotθ=x/y

正割函数cθ=r/x

余割函数cscθ=r/y

以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

正矢函数versinθ=1-cosθ

余矢函数vercosθ=1-sinθ

同角三角函数间的基本关系式：

·平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=c^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·积的关系：

sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinα

tanα=sinα*cαcotα=cosα*cscα

cα=tanα*cscαcscα=cα*cotα

·倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·cα=1

三角函数恒等变形公式：

·两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·辅助角公式：

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·三倍角公式：

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

·半角公式：

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

·其他：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n

-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π

*(n-1)/n]=0以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

部分高等内容

·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/2

cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[^(ix)+e^(-ix)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋

z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…

此时三角函数定义域已推广至整个复数集。·三角函数作为微分方程

的解：

对于微分方程组y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数

三角函数和角公式

又称三角函数的加法定理是几个角的和（差）的三角函数通过其中各

个角的三角函数来表示的关系

一般的最常用公式有:

Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA

Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA

Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB

Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB

Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)

Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)

注意：正切也可以表示为“Tg”如：TanA=TgA

倍角公式

倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式.

现列出公式如下:

sin2α=2sinαcosα

tan2α=2tanα/(1-tanα)

cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(α/2)=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)