正方形判定

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正方形的性质和判定

一、基础知识

（一）正方形的定义

一组邻边相等的矩形叫做正方形。

（二）正方形的性质

1.正方形四个角都是900，四条边相等；

2.正方形对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

（三）正方形的判定

1.一组邻边相等的矩形是正方形；

2.有一个角是直角的菱形是正方形；

3.对角线互相垂直的矩形是正方形；

4.对角线相等的菱形是正方形。

二、例题讲解

考点一：正方形的性质

例1：（2011天津，5，3分）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折

痕BE、BF，则∠EBF的大小为（）

练习1：例4．如图：正方形ABCD，AE+CF=EF，求证：

45EDF

A

E

B

F

C

D

b

b

例2：如图,在等腰直角△ABC中，

BCAC

，D、E为底边AB的三等分点，过D和E作AB的垂线，分别

交AC于G、交BC于F．求证：四边形DEFG为正方形．

练习1：已知：如图，△ABC为等边三角形，且

2AB

，四边形

DEFG

为正方形，且D、G分别在AB、

AC上，E、F在BC上，求正方形DEFG的面积．

考点二：正方形中常见的全等

例1：如图，在正方形ABCD中，点G为BC上任意一点，连接AG，过B、D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，

垂足分别为E、F两点．求证：△ADF≌△BAE．

练习1：如图：在正方形ABCD中，CF=CE，求证：

DFBG

A

A

C

F

D

G

E

b

b

B

D

A

C

E

F

M

F

E

B

D

A

C

练习2：如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，且BE=CF。求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF。

例2：已知正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC中点，CE和DF相交于M。求证：AM=AD。

练习1：已知，如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB上和AD的延长线上，且BE=DF，连接EF，G

为EF的中点．

求证：（1）CE=CF；（2）DG垂直平分AC．

b

b

G

H

E

B

D

A

C

F

例3：在正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交BC的延长线于F，交CD于H，G为FH的中点。

求证：EC⊥GC。

考点二：正方形与其他图形的结合

例1：如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F．

（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）求∠AFB的度数．

例2：（2011•玉林，25，10分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG

为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．

（1）求证：EB=GD；

（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；

（3）若AB=2，AG=2，求EB的长．

b

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练习1：如图：已知四边形ABCD和AEFG都是正方形，求证：DG=BE

例3：如图，已知锐角

ABC

中，以AB、AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG连接CE、BG，交点为O，

求证：（1）EC=BG；（2）

BGEC

练习1：已知：如图，AM为△ABC的中线，四边形

ABDE

、ACFG均为正方形．求证：

EGAM

2

1

．

A

B

C

D

G

F

E

A

B

C

D

E

G

F

O

b

b

A

B

C

D

E

F

G

例4:如图，正方形ABCD中，G是CD上一点，以CG为边做正方形GFEC，求证：BG=DE

DEBG

练习1：如图，已知正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，

AFCE

于E，交AD于M．

求：

MFD

的度数．

考点三：正方形里的截长补短

例1：如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有

BM＝DM＋CD．

⑴求证：点F是CD边的中点；

⑵求证：∠MBC＝2∠ABE．M

F

E

C

D

B

A

b

b

E

B

D

A

C

练习1：已知：如图，正方形ABCD中，M是CD中点，E是CD上一点，且

DAMBAE2

．

求证：AE＝BC＋CE．

例2：如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠DAF=∠EAF。求证：AE=BE+DF。

练习1：如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC。求证：AB+BE=AC。

EB

D

A

C

F

b

b

F

B

D

A

C

E

G

E

N

M

B

D

A

C

练习2：在正方形ABCD中，E是BC上一点，过点E作AE的垂线，分别交CD、AB的延长线于点F、G。求

证：BE=BG+CF。

考点四：正方形里的旋转

例1：(2011襄阳，25，10分)如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A，B重合)，连接PD并

将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．

（1）求证：∠ADP＝∠EPB；

（2）求∠CBE的度数；

练习1：正方形ABCD中，M、N分别是AB、BC的中点，EN⊥AN，∠DCF的平分线交NE于点E。求证：AN=NE。

b

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例2：已知，如图，P是正方形ABCD内任一点将

ABP

绕点B顺时针方向施转

90

至/BCP，若PB=3cm，

求/PP的长。

练习1：在正方形ABCD中有一点P，PA=2，PB=4，角APB=135度，求PC的长。

例3：如图,已知,在正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC上的点，若有AE+CF=EF，求：∠EDF的度数。

A

B

C

D

P

/P

b

b

练习1：如图，正方形ABCD的边长为1，AB,AD上各有一点P,Q,如果三角形APQ的周长为2，求∠PCQ

练习2：如图1在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AE交BC

于点G

1、求证AF=FG

2、连接EG，当BG=3，DE=2时，求EG的长

b

b

B

D

A

C

E

F

课后练习：

1、下列说法是否正确，并说明理由．

①对角线相等的菱形是正方形；（）

②对角线互相垂直的矩形是正方形；（）

③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）

④四条边都相等的四边形是正方形；（）

⑤四个角相等的四边形是正方形．（）

2、（2009年郴州市）如图9，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE=CE．

3、已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF

求证：EA⊥AF．

4、如图，点E是正方形ABCD对角线上一点，且AE=AB，EF⊥AC交BC于F。求证：BF=EC。

D

C

E

B

A

b

b

O

B

D

A

C

M

N

G

5、正方形ABCD的对角线交于点O，点M、N在OB、OC上，且MN//BC，DN的延长线交CM于点G。求证：（1）

DN=CM；（2）DG⊥CM。

6、已知：如图2，在正方形ABCD中，E、F分别在AD、DC上，且DE＝DF，BM⊥EF于M．求证：ME＝MF．

7、在正方形中，O对角线AB、BD的交点，过O作

OFOE

，交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，求

EF的长。

A

B

C

D

E

F

O