角动量守恒条件

角动量定理及角动量守恒定律

1

角动量定理及角动量守恒定律

一、力对点的力矩：

如图所示,定义力F



对O点的力矩为：

FrM









大小为:sinFrM＝

力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋

法则来判断：把右手拇指伸直,其余四指弯曲，弯曲

的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时,

拇指指向的方向就是力矩的方向.

二、力对转轴的力矩:

力对O点的力矩在通过O点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。

1）力与轴平行，则0M



;

2）刚体所受的外力F



在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之间的距

离d称为力对转轴的力臂。力的大小与力臂的乘积，称为力F



对转轴的力矩,

用M



表示。力矩的大小为：FdM＝

或：sinFrM＝

其中是F



与

r



的夹角.

3）若力F



不在垂直与转轴的平面内,则可把该力分解为两个力,一个与转

轴平行的分力

1

F



，一个在垂直与转轴平面内的分力

2

F



，只有分力

2

F



才对刚

体的转动状态有影响.

对于定轴转动，力矩M



的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反

方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向.

三、合力矩对于每个分力的力矩之和。

合力

i

FF



合外力矩

iii

MFrFrFrM















＝

即i

MM



＝

四、质点的角动量定理及角动量守恒定律

在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵

循的动量守恒定律。同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来

描述物体的运动状态。角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线）动量

所起的作用相类似。

在研究力对质点作用时,考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；

考虑力对空间的累积作用时,引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。至于力

矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可

得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容.本节主要讨论的是绕定轴转动的刚体的角动量定

理和角动量守恒定律，在这之前先讨论质点对给定点的角动量定理和角动量守恒定律。

下面将从力矩对时间的累积作用，引入的角动量的概念，讨论质点和刚体的角动量和角动

量守恒定律。

1．质点的角动量(AngularMomentum）——描述转动特征的物理量

角动量定理及角动量守恒定律

2

1)概念

一质量为m的质点,以速度v



运动，相对于坐标原点O的位置矢量为

r



,定义质点对坐标原点O的角动量为该质点的位置矢量与动量的矢量积，

即

vmrPrL











角动量是矢量,大小为

L=rmvsinα

式中α为质点动量与质点位置矢量的夹角。

角动量的方向可以用右手螺旋法则来确定。

角动量的单位:kg。m2.s-1

2）说明:

（1）大到天体，小到基本粒子，都具有转动的特征。但从18世

纪定义角动量,直到20世纪人们才开始认识到角动量是自然界最

基本最重要的概念之一，它不仅在经典力学中很重要,而且在近代物理中的运用更为广泛.

例如,电子绕核运动，具有轨道角动量，电子本身还有自旋运动,具有自旋角动量等等。原

子、分子和原子核系统的基本性质之一，是它们的角动量仅具有一定的不连续的量值。这叫做

角动量的量子化。因此，在这种系统的性质的描述中,角动量起着主要的作用。

（2）角动量不仅与质点的运动有关,还与参考点有关。对于不同的参考点，同一质点有不同的

位置矢量,因而角动量也不相同.因此在说明一个质点的角动量时，必

须指明是相对于哪一个参考点而言的。

(3）角动量的定义式vmrPrL









与力矩的定义式FrM







形式相

同,故角动量有时也称为动量矩——动量对转轴的矩。

（4）若质点作圆周运动,rv



,且在同一平面内，则角动量的大小为

L=mrv=mr2ω,写成矢量形式为





2mrL

（5)质点作匀速直线运动时，尽管位置矢量

r



变化，但是质点的角动量L



保持不变。

L=rmvsinα=mvd

2．质点的角动量定理（TheoremofAngularMomentum）

(1)质点的转动定律

问题：讨论质点在力矩的作用下，其角动量如何变化。

设质点的质量为m，在合力F



的作用下,运动方程为



t

vm

t

v

mamF

d

d

d

d









用位置矢量

r



叉乘上式,得



t

vm

rFr

d

d











考虑到

vm

t

r

vm

t

rvmr

t









d

d

d

d

d

d

和0

d

d

vvv

t

r





得vmr

t

Fr









d

d

由力矩FrM







＝

角动量定理及角动量守恒定律

3

和角动量的定义式vmr

t

L







d

d

得

t

L

M

d

d





＝

表述：作用于质点的合力对参考点O的力矩，等于质点对该点O的角动量随时间的变化率,有些

书将其称为质点的转动定律(或角动量定理的微分形式）。

这与牛顿第二定律tPF/



在形式上是相似的,其中M对应着F，L对应着P。

（2）冲量矩和质点的角动量定理

把上式改写为LtM





dtM



为力矩和作用时间的乘积，叫作冲量矩。对上式积分得

12

2

1

LLtM

t

t





式中

1

L



和

2

L



分别为质点在时刻t1

和t2

的角动量,2

1

t

t

tM



为质点在时间间隔t2

-t1

内所受的冲量矩。

质点的角动量定理:对同一参考点，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。

成立条件:惯性系

3．质点的角动量守恒定律（LawofConrvationofAngularMomentum)

若质点所受的合外力矩为零，即M=0，则

＝恒矢量＝vmrL







这就是角动量守恒定律：当质点所受的对参考点的合外力矩为零时，质点对该参考点的角

动量为一恒矢量.

说明：

（1)质点的角动量守恒定律的条件是M=0，这可能有两种情况：

合力为零；

合力不为零,但合外力矩为零。

例如:质点作匀速圆周运动就是这种情况。质点作匀速圆周运动时，作用于质点的合力是指

向圆心的所谓有心力，故其力矩为零，所以质点作匀速圆周运动时,它对圆心的角动量是守恒的.

不仅如此，只要作用于质点的力是有心力,有心力对力心的力矩总是零,所以，在有心力作用下

质点对力心的角动量都是守恒的.太阳系中行星的轨道为椭圆，太阳位于两焦点之一，太阳作用

于行星的引力是指向太阳的有心力，因此如以太阳为参考点O,则行星的角动量是守恒的。

特例：（1）在向心力的作用下，质点对力心的角动量都是守恒的；

(2）匀速直线运动。

(2）角动量守恒定律是物理学的另一基本规律。在研究天体运动和微观粒子运动时,角动量守恒

定律都起着重要作用。

［典型例题］

1、如图所示,一静止的均匀细棒,长为L、质量为M,可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O在水

平面内转动，转动惯量为ML2/3．一质量为m、速率为v的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒

的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v/2，则此时棒的角速度应为

（A)

ML

mv

．（B)

ML

m

2

3v

．(C)

ML

m

3

5v

．(D）

ML

m

4

7v

．

解：角动量守恒

LmMLmvLv

2

2

3

1

，

ML

m

2

v3



,∴选(D）

O

v



2

1

v



俯视图

角动量定理及角动量守恒定律

4

2．在一光滑水平上,有一轻弹簧，一端固定，一端连接一质量m=1kg的滑块，

如图所示。弹簧自然长度l0=0.2m,倔强系数k=100N·m—1。设t=0时，弹簧长度

为0

l

，滑块速度v0=5m·s—1，方向与弹簧垂直。在某一时刻,弹簧位于与初始位

置垂直的位置，长度l=0.5m。求该时刻滑块速度

v



的大小和方向。

解：

sin

00

mvmv

解得

02

0

2

0

30,/4)(smvv

m

k

3．假设卫星环绕地球中心作圆周运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的

（A)角动量守恒，动能也守恒．(B)角动量守恒，动能不守恒．

（C)角动量不守恒，动能守恒．（D)角动量不守恒，动量也不守恒．

提示:卫星所受唯一外力为万有引力，是“有心力"，故角动量守恒；该外力不做功，故动能守恒。

4．若作用于一力学系统上外力的合力为零,则外力的合力矩____________（填一定或不一定）为零;这

种情况下力学系统的动量、角动量、机械能三个量中一定守恒的量是

____________．

提示：反例如:合力为0，但合力矩不为0，此时动量一定守恒。

5．一根长为l的细绳的一端固定于光滑水平面上的O点，另一端系一质量为m的小球，开始时绳子是

松弛的，小球与O点的距离为h．使小球以某个初速率沿该光滑水平面上一直线运动,该直线垂直于小球初始

位置与O点的连线．当小球与O点的距离达到l时，绳子绷紧从而使小球沿一个以O点为圆心的圆形轨迹运

动,则小球作圆周运动时的动能EK与初动能EK0的比值EK/EK0=_______________．

提示：小球运动过程角动量守恒:0

mvhmvh

0

vh

vl





22

22

0

vh

vl



6．如图所示，在中间有一小孔O的水平光滑桌面上放置一个用绳子连结的、质量m=4kg的小块物体．绳

的另一端穿过小孔下垂且用手拉住．开始时物体以半径R0=0。5m在桌面上转动，其线速度是4m/s．现

将绳缓慢地匀速下拉以缩短物体的转动半径．而绳最多只能承受600N的拉力．求绳刚被拉断时，物体的转

动半径R等于多少？

提示：N、G合力矩为0，T为有心力，故物体角动量守恒：

00

mvRmvR

①

又有拉力提供向心力：

2mv

T

R



②

联立①②可解

7．在光滑的水平面上，有一根原长l0=0.6m、劲度系数k=8N/m的弹性绳，绳的一端系着一个质

量m=0。2kg的小球B，另一端固定在水平面上的A点．最初弹性绳是松弛的，小球B的位置及速度0

v



如

图所示．在以后的运动中当小球B的速率为v时,它与A点的距离最大，且弹性绳长l=0.8m，求此时的速

率v及初速率v0．

提示:小球受G、N、T,前两项力矩之和为0，后者为有心

力。故小球角动量守恒:

0

0

sin30mvdmvl

①

又滑动过程中只有T作功，

故小球与弹性绳机械能守恒：

O

2

0

2

1

2

2

1

2

0

2

1)(kmvmv

A

B

d

0.4m

30°

0

v



角动量定理及角动量守恒定律

5

222

00

111

()

222

mvmvKll

②

联立①②可解。