lg计算器

3.2.2对数函数

整体设计

教学分析

有了学习指数函数的图象和性质的学习经历，以及对数知识的

知识准备，对数函数概念的引入、对数函数图象和性质的研究便水

到渠成．

对数函数的概念是通过实际问题引入的，既说明对数函数的概

念来自实践，又便于学生接受．在教学中，学生往往容易忽略对数

函数的定义域，因此，在进行定义教学时，要结合指数式强调说明

对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为(0，＋∞)的理解．在

理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图象和性质，是本节的

教学重点，而理解底数a的值对于函数值变化的影响(即对对数函

数单调性的影响)是教学的一个难点，教学时要充分利用图象，数

形结合，帮助学生理解．

为了便于学生理解对数函数的性质，教学时可以先让学生在同

一坐标系内画出函数y＝log2x和y＝log

1

2

x的图象，通过两个具体

的例子，引导学生共同分析它们的性质．有条件的学校也可以利用

《几何画板》软件，定义变量a，作出函数y＝logax的图象，通过

改变a的值，在动态变化的过程中让学生认识对数函数的图象和性

质．

研究了对数函数的图象和性质之后，可以将对数函数的图象和

性质与指数函数的图象和性质进行比较，以便加深学生对对数函数

的概念、图象和性质的理解，同时也可以为反函数的概念的引出作

一些准备．

三维目标

1．理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质．

2．了解对数函数在生产实际中的简单应用，培养学生数学交

流能力和与人合作精神，用联系的观点分析问题，通过对对数函数

的学习，渗透数形结合、分类讨论等数学思想．

3．能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，

并研究它们的有关性质，使学生用联系的观点分析、解决问题．

4．认识事物之间的相互转化，通过师生双边活动使学生掌握

比较同底对数大小的方法，培养学生的数学应用意识．

5．掌握对数函数的单调性及其判定，会进行同底数的对数和

不同底数的对数的大小比较，加深对对数函数和指数函数的性质的

理解，深化学生对函数图象变化规律的理解．

6．通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归

纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学

生倾听、接受别人意见的优良品质，培养学生数学交流能力．

重点难点

教学重点：对数函数的定义、图象和性质；对数函数性质的初

步应用，利用对数函数单调性比较同底对数大小，对数函数的特性

以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．

教学难点：底数a对对数函数性质的影响，不同底数的对数比

较大小，单调性和奇偶性的判断和证明．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死

亡物体的残留物，利用t＝log

5730

1

2

P估算出土文物或古遗址的

年代．根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过

对应关系t＝log

5730

1

2

P都有唯一确定的年代t与它对应，所以

t是P的函数．同理，对于每一个对数式y＝logax中的x，任取一

个正的实数值，y均有唯一的值与之对应，所以y＝logax是关于x

的函数．这就是本节课的主要内容，教师点出课题：对数函数．

思路2.我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某

种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函

数可以用指数函数y＝2x表示．现在，我们来研究相反的问题，如

果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万

个，……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数．根

据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x＝log2y.如果

用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是y＝log2x.这一节，

我们来研究与指数函数密切相关的函数——对数函数．教师点出课

题：对数函数．

推进新课

新知探究

提出问题

(1)用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的

3

4

，写出存留污垢x

表示的漂洗次数y的关系式，请根据关系式计算若要使存留的污

垢，不超过原有的

1

64

，则至少要漂洗几次？

(2)你是否能根据上面的函数关系式，给出一个一般性的概

念？

(3)为什么对数函数的概念中明确规定a＞0，a≠1?

(4)你能求出对数函数的定义域、值域吗？

(5)如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个对数函

数？请你说出它的步骤．

活动：先让学生仔细审题，交流讨论，然后回答，教师提示引

导，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提

高自己应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，评价学生的结论．

讨论结果：(1)若每次能洗去污垢的

3

4

，则每次剩余污垢的

1

4

，

漂洗1次存留污垢x＝

1

4

，漂洗2次存留污垢x＝(

1

4

)2，…，漂洗y

次后存留污垢x＝(

1

4

)y，因此y用x表示的关系式是对上式两边取

对数得y＝

4

1

logx，当x＝

1

64

时，y＝3，因此至少要漂洗3次．

(2)对于式子y＝

4

1

logx，如果用字母a替代

1

4

，这就是一般性的

结论，即对数函数的定义：

根据对数式x＝logay(a＞0，a≠1)，

对于y在正实数集内的每一个确定的值，在实数集R内都有唯

一确定的x值和它对应．

根据函数的定义，这个式子确定了正实数集上的一个函数关

系，其中y是自变量，x是因变量．函数x＝logay(a＞0，a≠1，y

＞0)叫做对数函数．它的定义域是正实数集，值域是实数集R.

由对数函数的定义可知，在指数函数y＝ax和对数函数y＝

logay中，x，y两个变量之间的关系是一样的．所不同的只是在指

数函数y＝ax里，x当作自变量，y当作因变量，而在对数函数x＝

logay中，y当作自变量，x是因变量．习惯上，常用x表示自变量，

y表示因变量，因此对数函数通常写成y＝logax(a＞0，a≠1，x＞

0)．

(3)根据对数与指数式的关系，知y＝logax可化为ay＝x，由

指数的概念，要使ay＝x有意义，必须规定a＞0，a≠1.

(4)因为y＝logax可化为x＝ay，不管y取什么值，由指数函

数的性质ay＞0，所以x∈(0，＋∞)，对数函数的值域为R.

(5)只有形如y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)的函数才叫做对数

函数，即对数符号前面的系数为1，底数是正常数，真数是x的形

式，否则就不是对数函数．像y＝loga(x＋1)，y＝2logax，y＝logax

＋1等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数．

提出问题

错误!

x…

1

4

1

2

1248…

y＝

log2x

…－2－10123…

再用描点法画出图象如下图．

方法二：画出函数x＝log2y的图象，再变换为y＝log2x的图

象．

由于指数函数y＝ax和对数函数x＝logay所表示的x和y这两

个变量间的关系是一样的，因而函数x＝log2y和y＝2x的图象是一

样的(如下图(1))．

用x表示自变量，把x轴、y轴的位置互换，就得到y＝log2x

的图象(如下图(2))．

习惯上，x轴在水平位置，y轴在竖直位置，把上图(2)翻转，

使x轴在水平位置，得到通常的y＝log2x的图象(如上图(3))．

观察对数函数y＝log2x的图象，过点(1,0)，即x＝1时，y＝

0；函数图象都在y轴右边，表示了零和负数没有对数；当x＞1时，

y＝log2x的图象位于x轴上方，即x＞1时，y＞0；函数y＝log2x

在(0，＋∞)上是增函数．

对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)，在其底数a＞1及0＜a＜1

这两种情况下的图象和性质可以总结如下表．

a＞10＜a＜1

图象

性质

(1)定义域：(0，＋∞)(1)定义域：(0，＋∞)

(2)值域：R(2)值域：R

(3)过点(1,0)，即x＝1时，y

＝0

(3)过点(1,0)，即x＝1时，y

＝0

(4)当x＞1时，y＞0；

当0＜x＜1时，y＜0

(4)当x＞1时，y＜0；

当0＜x＜1时，y＞0

(5)是(0，＋∞)上的增函数(5)是(0，＋∞)上的减函数

应用示例

思路1

例1求下列函数的定义域：

(1)y＝logax2；(2)y＝loga(4－x)．

解：(1)要使函数有意义，必须x2＞0，即x≠0，所以函数y

＝logax2的定义域是{x|x≠0}，或记为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

(2)要使函数有意义，必须4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝

loga(4－x)的定义域是(－∞，4)．

点评：该题主要考查对数函数及其性质，根据函数的解析式，

列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可.

变式训练

求下列函数的定义域：

(1)y＝log3(2x＋2)；(2)y＝log(x－2)(x－1)．

答案：(1)(－1，＋∞)；(2)(2,3)∪(3，＋∞).

例2(1)比较log23与log23.5的大小；

(2)已知log0.7(2m)＜log0.7(m－1)，求m的取值范围．

解：(1)考察函数y＝log2x，它在区间(0，＋∞)上是增函数．

因为3＜3.5，所以log23＜log23.5；

(2)考察函数y＝log0.7x，它在(0，＋∞)上是减函数．

因为log0.7(2m)＜log0.7(m－1)，所以2m＞m－1＞0.

由









2m>m－1，

m－1>0，

得m＞1.

点评：对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于

1.而已知条件并未指明时，需要对底数a进行讨论，体现了分类讨

论的思想，要求学生逐步掌握．同时本题采用了多种解法，从中还

体现了数形结合的思想方法，要注意体会和运用.

变式训练

比较下列各组数中的两个值的大小：

(1)log25.3，log24.7；(2)log0.27，log0.29；(3)log3π，logπ3；(4)loga3.1，loga5.2(a

＞0，a≠1)．

解：(1)解法一：用图形计算器或多媒体画出对数函数y＝log2x的图象，如下图．

在图象上，横坐标为4.7的点在横坐标为5.3的点的下方，

所以log24.7＜log25.3.

解法二：由函数y＝log2x在(0，＋∞)上是单调增函数，且4.7＜5.3，

所以log24.7＜log25.3.

(2)因为0.2＜1，函数y＝log0.2x是减函数，7＜9，所以log0.27＞log0.29.

(3)解法一：因为函数y＝log3x和函数y＝logπx都是定义域上的增函数，所以logπ3

＜logππ＝1＝log33＜log3π.所以logπ3＜log3π.

解法二：直接利用对数的性质，logπ3＜1，而log3π＞1，因此logπ3＜log3π.

(4)当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，且3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2.

当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，且3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.

思路2

例1已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)与g(x)

的大小．

活动：学生先思考讨论，再交流回答，教师要求学生展示自己

的思维过程，教师根据实际，可以提示引导．学生回忆数的大小的

比较方法，选择合适的．要比较两个代数式的大小，通常采取作差

法或作商法，作差时，所得差同零比较；作商时，应先分清代数式

的正负，再将商同“1”比较大小．因为本题中的f(x)与g(x)的正

负不确定，所以采取作差比较法．

解：f(x)，g(x)的定义域都是(0,1)∪(1，＋∞)．

f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝1＋logx3－logx4＝logx

3

4

x.

(1)当0＜x＜1时，若0＜

3

4

x＜1，即0＜x＜

4

3

，此时logx

3

4

x＞0，

即0＜x＜1时，f(x)＞g(x)；若

3

4

x≥1，即x≥

4

3

，这与0＜x＜1相

矛盾．

(2)当x＞1时，若

3

4

x＞1，即x＞

4

3

，此时logx

3

4

x＞0，即x＞

4

3

时，

f(x)＞g(x)；

若

3

4

x＝1，即x＝

4

3

，此时logx

3

4

x＝0，即x＝

4

3

时，f(x)＝g(x)；

若0＜

3

4

x＜1，即0＜x＜

4

3

，此时logx

3

4

x＜0，即1＜x＜

4

3

时，

f(x)＜g(x)．

综上所述，当x∈(0,1)∪(

4

3

，＋∞)时，f(x)＞g(x)；

当x＝

4

3

时，f(x)＝g(x)；当x∈(1，

4

3

)时，f(x)＜g(x)．

点评：对数值的正负取决于对数的底数和真数的关系．而已知

条件并未指明时，需要对底数和真数进行讨论，体现了分类讨论的

思想，要求学生逐步掌握，注意体会和运用.

变式训练

已知logm5＜logn5，比较m、n的大小．

活动：学生观察思考，交流探讨，教师提示，并评价学生的思维过程．已知对数式的大小关

系，要求我们确定底数的大小关系，若变量在真数位置上，我们就可以解决这个问题了，我

们设法对原式进行变换使变量在真数位置上，我们知道log5m和logm5的关系是倒数关系，

有了这个关系，题中已知条件就变为

1

log5m

＜

1

log5n

，由已知条件知道m、n都大于0，且都不

等于1，据此确定m、n的大小关系．

解：因为logm5＜logn5，所以

1

log5m

＜

1

log5n

.

①当m＞1，n＞1时，得0＜

1

log5m

＜

1

log5n

，

所以log5n＜log5m.所以m＞n＞1.

②当0＜m＜1,0＜n＜1时，得

1

log5m

＜

1

log5n

＜0，

所以log5n＜log5m.所以0＜n＜m＜1.

③当0＜m＜1，n＞1时，得log5m＜0，log5n＞0，

所以0＜m＜1，n＞1.所以0＜m＜1＜n.

综上所述，m、n的大小关系为m＞n＞1或0＜n＜m＜1或0＜m＜1＜n.

例2求函数y＝log2(x2－x－6)的单调区间，并证明．

活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示

引导．求函数的单调区间一般用定义法，有时也利用复合函数的单

调性．定义法求函数的单调区间，其步骤是：①确定函数的定义域，

在定义域内任取两个变量x1和x2，通常令x1＜x2；②通过作差比较

f(x1)和f(x2)的大小，来确定函数的单调递增区间和单调递减区间

(注意保持变量x1和x2的“任意性”)；③再归纳结论．

解法一：由x2－x－6＞0，得x＜－2或x＞3，不妨设x1＜x2

＜－2，

则f(x1)－f(x2)＝log2(x2

1－x1－6)－log2(x2

2－x2－6)＝

log2

x1

2－x1－6

x2

2－x2－6

＝log2

(x1－3)(x1＋2)

(x2－3)(x2＋2)

.

因为x1＜x2＜－2，所以x1－3＜x2－3＜0，x1＋2＜x2＋2＜0.

所以

(x1－3)(x1＋2)

(x2－3)(x2＋2)

＞1.

所以log2

x1

2－x1－6

x2

2－x2－6

＝log2

(x1－3)(x1＋2)

(x2－3)(x2＋2)

＞0，

即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．

所以函数f(x)＝log2(x2－x－6)在区间(－∞，－2)上是减函

数．

同理，函数f(x)＝log2(x2－x－6)在区间(3，＋∞)上是增函

数．

解法二：令u＝x2－x－6，则y＝log2u.

因为y＝log2u为u的增函数，所以当u为x的增函数时，y为

x的增函数；

当u为x的减函数时，y为x的减函数．

由x2－x－6＞0，得x＜－2或x＞3，借助于二次函数的图象，

可知

当x∈(－∞，－2)时，u是x的减函数，

当x∈(3，＋∞)时，u是x的增函数．

所以原函数的单调减区间是(－∞，－2)，单调增区间是(3，

＋∞)．

点评：本题考查复合函数单调性的判定方法．一般地，设函数

y＝f(u)，u＝g(x)都是给定区间上的单调函数．若y＝f(u)，u＝

g(x)在给定区间上的单调性相同，则函数y＝f[g(x)]是增函数；

若y＝f(u)，u＝g(x)在给定区间上的单调性相反，则函数y＝

f[g(x)]是减函数．

知能训练

1．函数y＝log2x－2的定义域是()

A．(3，＋∞)B．[3，＋∞)

C．(4，＋∞)D．[4，＋∞)

2．求y＝log0.3(x2－2x)的单调递减区间．

3．求函数y＝log2(x2－4x)的单调递增区间．

4．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，求a的取值

范围．

答案：1.D要使函数有意义，需log2x－2≥0，log2x≥2，x≥4，

因此函数的定义域是[4，＋∞)．

2．先求定义域：由x2－2x＞0，得x(x－2)＞0，所以x＜0或

x＞2.

因为函数y＝log

0.3

t是减函数，故所求单调减区间即为t＝x2

－2x在定义域内的增区间．

又t＝x2－2x的对称轴为x＝1，所以所求单调递减区间为(2，

＋∞)．

3．先求定义域：由x2－4x＞0得x(x－4)＞0，所以x＜0或x

＞4.

又函数y＝log2t是增函数，故所求单调递增区间即为t＝x2－

4x在定义域内的单调递增区间．

因为t＝x2－4x的对称轴为x＝2，

所以所求单调递增区间为(4，＋∞)．

4．解：因为a＞0且a≠1，

(1)当a＞1时，函数t＝2－ax＞0是减函数；

由y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，知y＝logat是增

函数，所以a＞1；

由x∈[0,1]时，2－ax≥2－a＞0，得a＜2，所以1＜a＜2.

(2)当0＜a＜1时，函数t＝2－ax＞0是增函数；

由y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，知y＝logat是减

函数，

所以0＜a＜1.

由x∈[0,1]时，2－ax≥2－1＞0，所以0＜a＜1.

综上所述，0＜a＜1或1＜a＜2.

拓展提升

探究y＝log

a

x的图象随a的变化而变化的情况．

用计算机先画出y＝log2x，y＝log3x，y＝log5x，y＝log

1

2

x，y

＝log

1

3

x的图象，如下图．

通过观察图象可总结如下规律：当a＞1时，a值越大，y＝logax

的图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，a值越大，y＝logax的图象越

远离x轴．

课堂小结

1．对数函数的概念．

2．对数函数的图象与性质．

作业

课本习题3—2A4、5.

设计感想

本堂课主要是复习对数函数及其性质，是在以前基础上的提高

与深化，它起着承上启下的作用，侧重于对数函数的单调性和奇偶

性，同时又兼顾了高考常考的内容，对于对数函数的单调性需严格

按定义来加以论证，对于对数函数的奇偶性的判定也要按定义来加

以论证，这类问题不但技巧性较强，而且涉及面广，容量大，因此

要集中精力，提高学生兴趣，加快速度，高质量完成教学任务．