正三角形面积

《三角形面积计算公式》教学设计之迟辟智美创作

四卦小学白保华

教学内容：人教版九年义务教育六年制小学数学第九册三角形面积

教材分析：人教版五年级上册84、85页三角形的面积是本单位教学

内容的第二课时，是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方

形、平行四边形面积计算的基础上学习的，是进一步学习梯形面积和

组合图形面积的基础，教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实

际问题引入三角形面积计算的问题，接着根据平行四边形面积公式推

导的方法提出解决问题的思路，把三角形也转化成学过的图形，通过

学生入手把持和探索，推导出三角形面积计算公式，最后用字母暗示

出头具名积计算公式，这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置

变换和转化是有规律的，另一方面有助于发展学生的空间观念.

学情分析：学生在以前的学习中，初步认识了各种平面图形的特征，

掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算，学生学习时其实不

陌生，在前面的图形教学中，学生学会了运用折、剪、拼、量、算等

方法探究有关图形的知识，在学习方法上也有一定的基础，教学时从

学生的现实生活与日常经验动身，设置贴近生活现实的情境，通过多

姿多彩的图形，把学习过程酿成有趣的、布满想象和富有推理的活动.

教学目标：

1、让学生经历三角形面积计算公式的探索过程，理解三角形面积公

式的来源；并能灵活运用公式解决简单的实际问题.

2、在学习活动中，培养学生的实践入手能力，合作探索意识和能

力，培养立异意识和能力.

3、通过实践把持，自主探究，使学生进一步学习用转化的思想方法

解决新问题培养团结互助的合作思想品质.

教学重点：三角形面积计算公式的推导.

教学难点：运用拼、剪、平移、旋转等方法，发现正方形、长方形、

平形四边形及三角形面积的相互联系推导出三角形面积计算公式.

教具准备：多媒体课件一套，投影仪.

学具准备：工具（尺、剪刀），三组学具（①完全相同的锐角三角

形、直角三角形、钝角三角形各两个②长方形、正方形、平行四边形

各一个③任意三角形若干个）

教学设计:

一、创设问题情境，质疑激励探索

师：同学们，今天老师为年夜家带来了几位老朋友，你们想和它们见

见面吗？

1、课件出示：学生说名称及特征后，

平行四边形

出示关系集合图长方形

正方形

师问：谁愿意说出三种图形的面积的计算方法和计算公式的推导过程.

课件展示三角形的图片请同学们观察猜想：三角形的面积会怎样

计算呢？该怎样转化呢？

揭题：三角形面积计算公式（板书课题）

（设计意图：创设轻松的学习氛围，用多媒体手段帮手学生回忆长方

形、正方形、平行四边形的面积计算公式及其所属关系，为后面的探

究活动中图形及公式的转化作好铺垫.激励学生用已有的经验深入认

识“老朋友”（三角形）的欲望和倍心，同时又导出了探索的目标和方

向.〕

二、合作探索新知，循序渐进解谜.

（一）实践把持的合作探索：：根据你的猜想，入手把持验证一下吧!

第一次小组合作：1.同学们，请你们选择三组学具中你喜欢的一种，

用你们喜欢的方法进行实验

2.通过折、剪、拼、你会转化成哪种已学过的面积的图形？

3.转化后的图形与原三角形有什么联系？

4.组内展示交流：你是怎样把持的，获得什么样的结论

（二）汇报把持验证结果

生上台展示：把一张三角形纸片的三个角向内半数，酿成一个小长方

形，获得长方形的长是原来三角形底的一半，宽就是三角形的高的一

半，为此，三角形的面积即是小长方形面积的2倍.2倍与其中的一个

“一半”抵消，还剩一个“一半”为此，三角形的面积即是底乘高除以2

生上台展示：将三角形的顶角向底边平行半数，再沿折痕剪开，把获

得的小三角形沿中间半数再剪开，分别补在剩下图形的两侧，酿成一

个长方形.三角形的底没变，高缩小了一半，为此，三角形的面积即

是底乘高除以2师：这个法子怎么样？

生：也很合理.（表彰，祝贺）

师：还有其他做法吗？

生：把等腰三角形半数，剪开一半拼成平行四边形（含长方形、正方

形），拼成的平行四边形的底即是三角形的底，平行四边形的高是三

角形的高，平行四边形的面积即是三角形的面积的2倍

生：选两个完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形都可以

拼成一个平形四边形（含长方形、正方形）拼得的平行四边形的底是

原来三角形底的2倍，高不变，所以，三角形的面积即是底乘高除以

2.

师：这个法子怎么样？看来同学们在探究三角形面积的推导想出的法

子还真很多！那么，你感觉哪种法子最好？最有创意？〔设计意图：

尊重学生的知识基础和喜好，让学生自由选择三组学具中的一组，使

学生更满意地完成任务，同时也培养学生学会.倾听他人的正确意

见，给予排斥、质疑、认同的思维空间，缔造客观评价他人和自己的

机会，掌握三种基本思路，（即拼法、剪法、和割补法），鼓励个性

割补法.多媒体课件的分类图展，屡次发散验证学生推导的准确性，

更能帮手学生构建新的知识网，充沛享受胜利的喜悦，激发学生的积

极性，真正体现的学生为主体，面向全体学生的教育思想.

（三）各组同学可以上台采访和自己拼法纷歧样的小组，交流经验，

比力这四种方法，你喜欢哪种方法？为什么？如果你觉得自己的拼法

有缺乏之处，你想向哪一组同学学习？他们的拼法好在哪里.（各小

组交流经验）〔设计用意：及时反思使学生发生鲜明的对比，能及时

地改进自己把持中的缺乏，多吸取他人的优点，积累把持经验，拓宽

思路.合理的评价机制真正起到了鼓励的作用.教师小组评价、同学比

较评价、自己反思评价的客观多元评价方法，培养学生自我评价的能

力，鼓励学生介入他人平等竞争，使学生发生挫败和胜利的情感体

验，提高心理素质.〕

（四）小组合作二：

小组交流：1.三角形的面积如何计算呢？用字母如何暗示？

汇报结果：

生：三角形的面积即是底乘高除以2.

生：如果用S暗示三角形的面积，用a暗示三角形的底，用h暗示三

角形的高，字母暗示三角形的面积公式S=ah÷2（设计意图：通过

比力、归纳，揭示三角形面积计算公式及字母表达式.公式的推导是

全体学生亲身经历探索的过程、发现的过程，推理的过程，是学生个

人自力思考与小组合作学习的过程，学生对公式的来源理解深刻，为

实际应用及拓展立异铺下了坚实的基础）.

（五）第三次合作：

我们运用合作的力量探究出了三角形的面积计算公式，同学们太了不

起了！请把三角形的面积的计算公式的推导过程与组内伙伴分享

板书两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形，这个平行四

边形的底即是三角形的底，这个平行四边形的高即是三角形的高，因

为每个三角形的面积即是拼成平行四边形面积的一半，又因为平行四

边形的面积=底×高所以：三角形的面积=底×高÷2

三、实践运用，拓展立异：

1、检验考试解答例题.

课件出示：一种零件有一面是三角形，三角形的底是5.6厘米，高是

4厘米.这个三角形的面积是几多平方厘米？（学生自力检验考试解

答，教师巡视辅导，集体勘误.）

课内作业，课外延伸.

2、巩固练习练习十七1-3题

四、全课总结：通过与伙伴的合作探究，你有什么收获？你对自己的

暗示满意吗？

板书设计：三角形的面积

两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边

形

拼成的平行四边形的底即是三角形的底，

拼成的平行四边形的高即是三角形的高，

因为每个三角形的面积即是拼成平行四边形面积的

一半，

又因为平行四边形的面积=底×高

所以三角形的面积=底×高÷2

S=ah÷2

小学数学概念教学

白保华

数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的实质属性在人脑中

中的反映.数学概念比一般概念更要准确掌握.数学概念是构建数学理

论体系的基础，因此必需重视.小学生年龄小，生活经验缺乏，知识

面窄，构成了概念教学中的障碍.数学概念又是小学数学基础知识的

一项重要内容，是学生理解、掌握数学知识的首要条件，也是进行

计算和解题的前提.因此重视数学概念教学，对提高教学质量有着举

足轻重的作用.教师在概念教学中,要创设条件,根据分歧类型概念运用

分歧教学战略,采纳分歧教学方法.可以通过演示把持、建立表象、逐

步笼统、形成概念、强化练习、巩固概念、灵活运用、提高能力等方

法与战略进行概念教学.

一、什么是数学概念

数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的实质属性在人脑中

中的反映.数学的研究对象是客观事物的数量关系和空间形式.在数学

中，客观事物的颜色、资料、气味等方面的属性都被看作非实质属性

而被舍弃，只保管它们在形状、年夜小、位置及数量关系等方面的共

同属性.在数学科学中，数学概念的含义都要给出精确的规定，因而

数学概念比一般概念更准确.

小学数学中有很多概念，包括：数的概念、运算的概念、量与计量

的概念、几何形体的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及统计

初步知识的有关概念等.这些概念是构成小学数学基础知识的重要内

容，它们是互相联系着的.如只有明确牢固地掌握数的概念，才华理

解运算概念，而运算概念的掌握，又能增进数的整除性概念的形成.

二、小学数学概念的暗示形式

在小学数学教材中的概念，根据小学生的接受能力，暗示形式各不

相同，其中描述式和界说式是最主要的两种暗示方式.

1．界说式

界说式是用简明而完整的语言揭示概念的内涵或外延的方法，具体

的做法是用原有的概念说明要界说的新概念.这些界说式的概念抓住

了一类事物的实质特征，揭示的是一类事物的实质属性.这样的概

念，是在对年夜量的探究资料的分析、综合、比力、分类中，使之从

直观到表象、继而上升为理性的认识.如“有两条边相等的三角形叫等

腰三角形”；“含有未知数的等式叫方程”等等.这样界说的概念，条件

和结论十分明显，便于学生一下子抓住数学概念的实质.

2．描述式

用一些生动、具体的语言对概念进行描述，叫做描述式.这种方法

与界说式分歧，描述式概念，一般借助于学生通过感知所建立的表

象，选取有代表性的特例做参照物而建立.如：“我们在数物体的时

候，用来暗示物体个数的1、2、3、4、5……叫自然数”；“象1.25、

0.726、0.005等都是小数”等.这样的概念将随着儿童知识的增多和认

识的深化而日趋完善，在小学数学教材中一般用于以下两种情况.

一种是对数学中的点、线、体、集合等原始概念都用描述法加以说

明.例如，“直线”这一概念，教材是这样描述的：拿一条直线，把它

拉紧，就成了一条直线.“平面”就用“课桌面”、“黑板面”、“湖面”来说

明.

另一种是对一些较难理解的概念，如果用简练、概括的界说呈现不

容易被小学生理解，就改用描述式.例如，对直圆柱和直圆锥的认

识，由于小学生还缺乏运动的观点，不能像中学生那样用旋转体来界

说，因此只能通过实物形象地描述了它们的特征，并没有以界说的形

式揭示它们的实质属性.学生在观察、摆拼中，认识到圆柱体的特征

是上下两个底面是相等的圆，正面展开的形状是长方形.

一般来说，在数学教材中，小学低年级的概念采纳描述式较多，随

着小学生思维能力的逐步发展，中年级逐步采纳界说式，不外有些界

说只是初步的，是有待发展的.在整个小学阶段，由于数学概念的笼

统性与学生思维的形象性的矛盾，年夜部份概念没有下严格的界说；

而是从学生所了解的实际事例或已有的知识经验动身，尽可能通过直

观的具体形象，帮手学生认识概念的实质属性.对不容易理解的概念

就暂不给出界说或者采纳分阶段逐步渗透的法子来解决.因此，小学

数学概念呈现出两年夜特点：一是数学概念的直观性；二是数学概念

的阶段性.在进行数学概念教学时，我们必需注意充沛领会教材的这

两个特点.

三、小学数学概念教学的意义

首先，数学概念是数学基础知识的重要组成部份.

小学数学的基础知识包括：概念、定律、性质、法则、公式等，其

中数学概念不单是数学基础知识的重要组成部份，而且是学习其他数

学知识的基础.学生掌握基础知识的过程，实际上就是掌握概念并运

用概念进行判断、推理的过程.数学中的法则都是建立在一系列概念

的基础上的.事实证明，如果学生有了正确、清晰、完整的数学概

念，就有助于掌握基础知识，提高运算和解题技能.相反，如果一个

学生概念不清，就无法掌握定律、法则和公式.例如，整数百以内的

笔算加法法则为：“相同数位对齐，从个位加起，个位满十，就向十

位进一.”要使学生理解掌握这个法则，必需事先使他们弄清“数位”、

“个位”、“十位”、“个位满十”等的意义，如果对这些概念理解不清，

就无法学习这一法则.又如，圆的面积公式S=πr2，要以“圆”、“半

径”、“平方”、“圆周率”等概念为基础.总之小学数学中的一些概念对

今后的学习而言，都是一些基本的、基础的知识.小学数学是一门概

念性很强的学科，也就是说，任何一部份内容的教学，都离不开概念

教学.

其次，数学概念是发展思维、培养数学能力的基础.

概念是思维形式之一，也是判断和推理的起点，所以概念教学对培

养学生的思维能力能起重要作用.没有正确的概念，就不成能有正确

的判断和推理，更谈不上逻辑思维能力的培养.例如，“含有未知数的

等式叫做方程”，这是一个判断.在这个判断中，学生必需对“未知

数”、“等式”这几个概念十分清楚，才华形成这个判断，并以此来推

断出下面的6道题目，哪些是方程.

(1)56+23＝79(2)23-x＝67

(4)44×2＝88(5)75÷x＝4(6)9+x＝123

在概念教学过程中，为了使学生顺利地获取有关概念，经常要提供

丰富的感性资料让学生观察，在观察的基础上通过教师的启发引导，

对感性资料进行比力、分析、综合，最后再笼统概括出概念的实质属

性.通过一系列的判断、推理使概念获得巩固和运用.从而使学生的初

步逻辑思维能力逐步获得提高.

6.1.3数学概念教学的一般要求

1．使学生准确理解概念

理解概念，一要能举出概念所反映的现实原型，二要明确概念的内

涵与外延，即明确概念所反映的一类事物的共同实质属性，和概念所

反映的全体对象，三要掌握暗示概念的词语或符号.

2．使学生牢固掌握概念

掌握概念是指要在理解概念的基础上记住概念，正确区分概念的肯

定规证和否定规证.能对概念进行分类，形成一定的概念系统.

3．使学生能正确运用概念

概念的运用主要暗示在学生能在分歧的具体情况下，识别出概念的实

质属性，运用概念的有关属性进行判断推理.

四、小学数学概念教学的过程与方法

根据数学概念学习的心理过程及特征，数学概念的教学一般也分为三

个阶段：①引入概念，使学生感知概念，形成表象；②通过分析、笼

统和概括，使学生理解和明确概念；③通过例题、习题使学生巩固和

应用概念.

（一）数学概念的引入

数学概念的引入，是数学概念教学的第一个环节，也是十分重要的环

节.概念引入适当，就可以紧紧地围绕课题，充沛地激发起学生的兴

趣和学习念头，为学生顺利地掌握概念起到奠定作用.

引出新概念的过程，是揭示概念的发生和形成过程，而各个数学概念

的发生形成过程又不尽相同，有的是现实模型的直接反映；有的是在

已有概念的基础上经过一次或屡次笼统后获得的；有的是从数学理论

发展的需要中发生的；有的是为解决实际问题的需要而发生的；有的

是将思维对象理想化，经过推理而得；有的则是从理论上的存在性或

从数学对象的结构中构造发生的.因此，教学中必需根据各种概念的

发生布景，结合学生的具体情况，适本地选取分歧的方式去引入概念.

一般来说，数学概念的引入可以采纳如下几种方法.

1、以感性资料为基础引入新概念.

用学生在日常生活中所接触到的事物或教材中的实际问题以及模型、

图形、图表等作为感性资料，引导学生通过观察、分析、比力、归纳

和概括去获取概念.

例如，要学习“平行线”的概念，可以让学生识别一些熟悉的实例，像

铁轨、门框的上下两条边、黑板的上下边缘等，然后分化出各例的属

性，从中找出共同的实质属性.铁轨有属性：是铁制的、可以看成是

两条直线、在同一个平面内、两条边可以无限延长、永不相交等.同

样可分析出门框和黑板上下边的属性.通过比力可以发现，它们的共

同属性是：可以笼统地看成两条直线；两条直线在同一平面内；彼其

间距离处处相等；两条直线没有公共点等，最后笼统出实质属性，获

得平行线的界说.

以感性资料为基础引入新概念，是用概念形成的方式去进行教学的，

因此教学中应选择那些能充沛显示被引入概念的特征性质的事例，正

确引导学生去进行观察和分析，这样才华使学生从事例中归纳和概括

出共同的实质属性，形成概念.

2、以新、旧概念之间的关系引入新概念.

如果新、旧概念之间存在某种关系，如相容关系、不相容关系等，那

么新概念的引入就可以充沛天时用这种关系去进行.

例如，学习“乘法意义”时，可以从“加法意义”来引入.又如，学习“整

除”概念时，可以从“除法”中的“除尽”来引入.又如，学习“质因数”可

以从“因数”和“质数”这两个概念引入.再如，在学习质数、合数概念

时，可用约数概念引入：“请同学们写出数1，2，6，7，8，12，

11，15的所有约数.它们各有几个约数？你能给出一个分类标准，把

这些数进行分类吗？你能找出多种分类方法吗？你找出的所有分类方

法中，哪一种分类方法是最新的分类方法？”

3、以“问题”的形式引入新概念.

以“问题”的形式引入新概念，这也是概念教学中经常使用的方法.一

般来说，用“问题”引入概念的途径有两条：①从现实生活中的问题引

入数学概念；②从数学问题或理论自己的发展需要引入概念.

4、从概念的发生过程引入新概念.

数学中有些概念是用发生式界说的，在进行这类概念的教学时，可以

采纳演示活动的直观教具或演示画图说明的方法去揭示事物的发生过

程.例如，小数、分数等概念都可以这样引入.这种方法生动直观，体

现了运动变动的观点和思想，同时，引入的过程又自然地、无可回嘴

地说明了这一概念的客观存在性.

（二）数学概念的形成

引入概念，仅是概念教学的第一步，要使学生获得概念，还必需引导

学生准确地舆解概念，明确概念的内涵与外延，正确表述概念的实质

属性.为此，教学中可采纳一些具有针对性的方法.

1、比较与类比.

比较概念，可以找出概念间的不同，类比概念，可以发现概念间的相

同或相似之处.例如，学习“整除”概念时，可以与“除法”中的“除尽”概

念进行比较，去比力发现两者的分歧点.用比较或类比讲述新概念，

一定要突出新、旧概念的不同，明确新概念的内涵，防止旧概念对学

习新概念发生的负迁移作用的影响.

2、恰当运用反例.

概念教学中，除从正面去揭示概念的内涵外，还应考虑运用适当的反

例去突出概念的实质属性，尤其是让学生通过比较正例与反例的不

同，对自己呈现的毛病进行反思，更利于强化学生对概念实质属性的

理解.

用反例去突出概念的实质属性，实质是使学生明确概念的外延从而加

深对概念内涵的理解.凡具有概念所反映的实质属性的对象必属于该

概念的外延集，而反例的构造，就是让学生找出不属于概念外延集的

对象，显然，这是概念教学中的一种重要手段.但必需注意，所选的

反例应当恰当，防止过难、过偏，造成学生的注意力分散，而达不到

突出概念实质属性的目的.

3、合理运用变式.

依靠感性资料理解概念，往往由于提供的感性资料具有片面性、局限

性，或者感性资料的非实质属性具有较明显的突出特征，容易形成干

扰的信息，而削弱学生对概念实质属性的正确理解.因此，在教学中

应注意运用变式，从分歧角度、分歧方面去反映和刻画概念的实质属

性.一般来说，变式包括图形变式、式子变式和字母变式等.

例如，讲授“等腰三角形”概念，教师除用罕见的图形展示外，还应采

纳变式图形去强化这一概念，因为利用等腰三角形的性质去解题时，

所遇见的图形往往是后面几种情形.

（三）数学概念的巩固

为了使学生牢固地掌握所学的概念，还必需有概念的巩固和应用过程.

教学中应注意如下几个方面.

1、注意及时复习

概念的巩固是在对概念的理解和应用中去完成和实现的，同时还必需

及时复习，巩固离不开需要的复习.复习的方式可以是对个别概念进

行复述，也可以通过解决问题去复习概念，而更多地则是在概念体系

中去复习概念.当概念教学到一定阶段时，特别是在章节末复习、期

末复习和结业总复习时，要重视对所学概念的整理和系统化，从纵向

和横向找出各概念之间的关系，形成概念体系.

2、重视应用

在概念教学中，既要引导学生由具体到笼统，形成概念，又要让学生

由笼统到具体，运用概念，学生是否牢固地掌握了某个概念，不单在

于能否说出这个概念的名称和背诵概念的界说，而且还在于能否正确

灵活地应用，通过应用可以加深理解，增强记忆，提高数学的应用意

识.

概念的应用可以从概念的内涵和外延两方面进行.

（1）概念内涵的应用

①复述概念的界说或根据界说填空.

②根据界说判断是非或改错.

③根据界说推理.

④根据界说计算.

例4（1）什么叫互质数？答：是互质数.

（2）判断题：

27和20是互质数（）

34与85是互质数（）

有公约数1的两个数是互质数（）

两个合数一定不是互质数（）

（3）钝角三角形的一个角是82o，另两个角的度数是互质数，这

两个角可能是几多度？

（4）如果P是质数，那么比P小的自然数都与P互质.这句话对

吗？请说明理由？

2．概念外延的应用

（1）举例

（2）识别肯定规证或否定规证.并说明理由.

（3）按指定的条件从概念的外延中选择事例.

（4）将概念按分歧标准分类.

例5（1）列举你所见到过的圆柱形物体.

（2）下列图形中的阴影部份，哪些是扇形？（图6－2）

（3）分母是9的最简真分数有＿分子是9的假分数中，最小的

一个是

（4）将自然数2－19按分歧标准分成两类（至少提出3种分歧的

分法）

概念的应用可分为简单应用和综合应用，在初步形成某一新概念后通

过简单应用可以增进对新概念的理解，综合应用一般在学习了一系列

概念后，把这些概念结合起来加以应用，这种练习可以培养学生综合

运用知识的能力.

五、小学数学概念教学中应注意的问题

1、掌控概念教学的目标，处置好概念教学的发展性与阶段性之间的

矛盾.

概念自己有自己严密的逻辑体系.在一定条件下，一个概念的内涵和

外延是固定不变的，这是概念简直定性.由于客观事物的不竭发展和

变动，同时也由于人们认识的不竭深化，因此，作为人们反映客观事

物实质属性的概念，也是在不竭发展和变动的.可是，在小学阶段的

概念教学，考虑到小学生的接受能力，往往是分阶段进行的.如对

“数”这个概念来说，在分歧的阶段有分歧的要求.开始只是认识1、

2、3、……，以后逐渐认识了零，随着学生年龄的增年夜，又引进了

分数(小数)，以后又逐渐引进正、负数，有理数和无理数，把数扩充

到实数、复数的范围等.又如，对“0”的认识，开始时只知道它暗示没

有，然后知道又可以暗示该数位上一个单位也没有，还知道“0”可以

暗示界限等.

因此，数学概念的系统性和发展性与概念教学的阶段性成了教学中

需要解决的一对矛盾.解决这一矛盾的关键是要切实掌控概念教学的

阶段性目标.

为了加强概念教学，教师必需认真钻研教材，掌握小学数学概念的

系统，摸清概念发展的脉络.概念是逐步发展的，而且诸概念之间是

互相联系的.分歧的概念具体要求会有所分歧，即使同一概念在分歧

的学习阶段要求也有分歧.

有许多概念的含义是逐步发展的，一般先用描述方法给出，以后再

下界说.例如，对分数意义理解的三次飞跃.第一次是在学习小数以

前，就让学生初步认识了分数，“像上面讲的、、、、、等，都是分

数.”通过年夜量感性直观的认识，结合具体事物描述什么样的是分

数，初步理解分数是平均分获得的，理解谁是谁的几分之几.第二次

飞跃是由具体到笼统，把单位“1”平均分成若干份，暗示其中的一份

或几份都可以用分数来暗示.从具体事物中笼统出来.然后概括分数的

界说，这只是描述性地给出了分数的概念.这是感性的飞跃.第三次飞

跃是对单位“1”的理解与扩展，单位“1”不单可以暗示一个物体、一个

图形、一个计量单位，还可以是一个群体等，最后笼统出，分谁，谁

就是单位“1”，这样单位“1”与自然数“1”的区别就更加明确了.这样三

个条理不是一蹴而就的，要展现知识的发展过程，引导学生在知识的

发生发展过程中去理解分数.

再如长方体和立方体的认识在许多教材中是分成两个阶段进行教学

的.在低年级，先呈现长方体和立方体的初步认识，通过让学生观察

一些实物及实物图，如装墨水瓶的纸盒、魔方等.积累一些有关长方

体和立方体的感性认识，知道它们各是什么形状，知道这些形状的名

称.然后，通过把持、观察，了解长方体和立方体各有几个面，每个

面是什么形状，进一步加深对长方体和立方体的感性认识.再从实物

中笼统出长方体和立方体的图形(其实不是透视图).但这一阶段的教学

要求只要学生知道长方体和立方体的名称，能够识别和区分这些形状

即可.仅仅停留在感性认识的条理上.第二阶段是在较高年级.教学时仍

要从实例引入.教学长方体的认识时，先让学生收集长方体的物体，

教师先说明什么是长方体的面、棱和极点，让学生数一数面、棱和极

点各自的数目，量一量棱的长度，算一算各个面的年夜小，比力上

下、左右、前后棱和面的关系和区别.然后归纳出长方体的特征.再从

长方体的实例中笼统出长方体的几何图形.进而可以让学生对比实

物，观察图形，弄清楚不改变观察方向，最多可以看到几个面和几条

棱.哪些是看不见的，图中是怎样来暗示的.还可以让学生想一想，看

一看，逐步看懂长方体的几何图形，形成正确的表象.

在掌控阶段性目标时，应注意以下几点：

(1)在每一个教学阶段，概念都应该是确定的，这样才不致于造成

概念混乱的现象.有些概念不严格下界说，但也要依据学生的接受能

力，或者用描述取代界说，或者用比力通俗易懂的语言揭示概念的实

质特征.同时注意与将来的严格界说不矛盾.

(2)当一个教学阶段完成以后，应根据具体情况，酌情指出概念是

发展的，不竭变动的.如：有一位学生在认识了长方体之后，认为课

本中的任何一张纸的形状也是长方体的.说明该学生对长方体的概念

有了更进一步的理解，教师应加以肯定.

(3)当概念发展后，教师不单指出原来概念与发展后概念的联系与区

别，以便学生掌握，而且还应引导学生对有关概念进行研究，注意其

发展变动.如“倍”的概念，在整数范围内，通常所指的是，如果把甲

量看成1份，而乙量有这样的几份，那么乙量就是甲量的几倍.在引

入分数以后，“倍”的概念发展了，发展后的“倍”的概念，就包括了原

来的“倍”的概念.如果把甲量看成l份，乙量也可以是甲量的几分之几.

因此，在数学概念教学中，要搞清概念之间的顺序，了解概念之间

的内在联系.数学概念随着客观事物自己的发展变动和研究的深入不

竭地发展演变.学生对数学概念的认识，也需要随着数学学习的水平

的提高，由浅入深，逐步深化.教学时既要注意教学的阶段性，不能

把后面的要求提到前面，超越学生的认识能力；又要注意教学的连续

性，教前面的概念要留有余地，为后继教学打下埋伏.从而处置好掌

握概念的阶段性与连续性的关系.

2、加强直观教学，处置好具体与笼统的矛盾

尽管教材中年夜部份概念没有下严格的界说，而是从学生所了解的

实际事例或已有的知识经验动身，尽可能通过直观的具体形象，帮手

学生认识概念的实质属性.对不容易理解的概念就暂不给出界说或者

采纳分阶段逐步渗透的法子来解决.但对小学生来说，数学概念还是

笼统的.他们形成数学概念，一般都要求有相应的感性经验为基础，

而且要经历一番把感性资料在脑子里来回往复，从模糊到逐渐分明，

从许多有一定联系的资料中，通过自己把持、思维活动逐步建立起事

物一般的表象，分失事物的主要的实质特征或属性，这是形成概念的

基础.因此，在教学中，必需加强直观，以解决数学概念的笼统性与

学生思维形象性之间的矛盾.

（1）通过演示、把持进行具体与笼统的转化

教学中，对一些相对笼统的内容，尽可能天时用恰当的演示或把持

使其转化为具体内容，然后在此基础上笼统出概念的实质属性.

几何初步知识，无论是线、面、体的概念还是图形特征、性质的概

念都非常笼统，因此，教学中更要加强演示、把持，通过让学生量一

量、摸一摸、摆一摆、拼一拼来让学生体会这些概念，从而笼统出这

些概念.

例如“圆周率”这一概念非常笼统，有的教师在课前，安插每个学生

用硬纸制做一个圆，半径自定.上课时，就让每个学生在课堂作业本

上写出三个内容：(1)写出自己做的圆的直径；(2)滚动自己的圆，量

出圆滚动一周的长度，写在练习本上；(3)计算圆的周长是直径的几

倍.全班同学做完后，要求每个同学汇报自己计算的结果.

然后引导学生分析发现：不论圆的年夜小，它的周长总是直径的3

倍多一点.这时再揭示：这个倍数是个固定的数，数学上叫做圆周率.

再让学生任意画一个圆，量出直径和周长加以验证.这样，引导学生

把年夜量的感性资料，加以分析、综合、笼统、概括，抛弃事物的非

实质属性(如圆的年夜小、丈量时用的单位等)，抓住事物的实质特征

(圆的周长总是直径的3倍多一点)，形成了概念.

这样教师借助于直观教学，运用学生原有的一些基础知识，逐步笼

统，环环紧扣，条理清楚.通过实物演示，使学生建立表象，从而解

决了数学知识的笼统性与儿童思维的形象性的矛盾.

（2）结合学生的生活实际进行具体与笼统的转化

教学中有许大都量关系都是从具体生活内容中笼统出来的，因此，

在教学中应该充沛利用学生的生活实际，运用恰当的方式进行具体与

笼统的转化，即把笼统的内容转化为学生的具体生活知识，在此基础

上又将其生活知识笼统为教学内容.

例如乘法交换律的教学，往往让学生先解答这样的习题：一种钢

笔，每盒10支，每支3元，买2盒钢笔要几多元?学生在实际解答中

发现，这道题可以有两种解答思路，一种是先求出“每盒几多元”，再

求出“2盒要几多元”，算式是(3×10)×2＝60元；另一种是先求出“一

共有几多支钢笔”，再求出“2盒几多元”，算式是3×(2×10)＝60元.乘

法分配律的教学也是让学生解答类似的问题，如：一件上衣50元，

一条裤子30元，买这样的5套衣服需要几多元?这样借助于学生熟悉

的生活情景，使笼统的问题变得具体化.

同样罕见数量关系中的单价、总价与数量之间的关系；路程、速度

与时间的关系，工作量、工作效率与工作时间之间的关系等，都应结

合学生的生活经验，通过具体的题目将其笼统出来，然后又利用这些

关系来分析解决问题.这样的训练有利于使学生的思维逐渐向笼统思

维过渡，逐步缓解知识的笼统性与学生思维的具体形象性的矛盾.

可是，运用直观其实不是目的，它只是引起学生积极思维的一种手

段.因此概念教学不能只停留在感性认识上，在学生获得丰富的感性

认识后，要对所观察的事物进行笼统概括，揭示概念的实质属性，使

认识发生飞跃，从感性上升到理性，形成概念.

3、遵循小学生学习概念的特点，组织合理有序的教学过程

尽管小学生获取概念有概念形成和概念同化这两种基本形式，各类

概念的形成又有各自的特点，但不论以何种方式获得概念，一般城市

遵循从“引入一理解一巩固一深化”这样的概念形成路径.下面就概念

教学中每个环节的教学战略及应注意的问题作一论述.

（1）概念的引入要注重提供丰富而典范的感性资料

在概念引入的过程中，要注意使学生建立起清晰的表象.因为建立能

突失事物共性的、清晰的典范表象是形成概念的重要基础，因此，在

小学数学的概念教学中，无论以什么方式引入概念，都应考虑如何使

小学生在头脑中建立起清晰的表象.概念教学一开始，应根据教学内

容运用直观手段向学生提供丰富而典范的感性资料，如采纳实物、模

型、挂图，或进行演示，引导学生观察，并结合实验，让学生自己入

手把持，以便让学生接触有关的对象，丰富自己的感性认识.

如在一节教学分数的意义的课上，一位教师为了突破单位“l”这一教

学难点，事先向学生提供了各种把持资料：一根绳子，4只苹果图，

6只熊猫图，一张长方形纸，l米长的线段等，通过比力、归纳出：

一个物体、一个计量单位、一个整体都可以用单位“1”暗示，从而突

破理解单位“1”这一难点，为理解分数的意义奠定了基础.

但概念引入时所提供的资料要注意三点：一是所选资料要确切.例如

角的认识，小学里讲的角是平面角，可以让学生观察黑板、书面等平

面上的角.有的教师让学生观察教室相邻两堵墙所夹的角，那是两面

角，对小学教学要求来说，就不确切了.二是所选资料要突出所授知

识的实质特征.例如直角三角形的实质特征是“有一个角是直角的三角

形”，至于这个直角是三角形中的哪一个角，直角三角形的年夜小、

形状，则是非实质的.因此教学时应出示分歧的图形，使学生在分歧

的图形中识别其不变的实质属性.

（2）概念的理解要注重正反例证的辨析，突出概念的实质属性

概念的理解是概念教学的中心环节，教师要采用一切手段帮手学生

逐步理解概念的内涵和外延，以便让学生在理解的基础上掌握概念.

增进对概念理解的途径有：

1）剖析概念中关键词语的真实含义

例如，分数界说中的单位“1”、“平均分”、“暗示这样的一份或几份

的数”，学生只有对这些关键词语的真实含义弄清楚了，才会对分数

的概念有了深刻的理解.再如教学“整除”概念之后应帮手学生从以下

三方面进行判断，一是判断是否具有“整除”关系的两个数都必需是自

然数；二是这两个数相除所得的商是整数；三是没有余数.对界说的

分析是帮手学生认识概念的又一次提高.三角形的高的界说:“从三角形

的一个极点到它的对边作一条垂线，极点和垂足之间的线段叫做三角

形的高，这条边叫做三角形的底.”这里的“一个极点”、“垂线”、“垂

足”都是一些关键词语.为了让学生理解三角形的高，除让学生理解字

面意思外，往往还需要学生通过实际把持，体会画“高”的全过程.指

出画“高”的关键是画垂线，并注意限制条件：“过三角形的一个极点

(可以是任何一个极点)，作到它对边的垂线，极点和垂足之间的线段”.

这样把实际把持的过程和所画的三角形高的图形与界说所叙述的内容

对比，使学生准确地舆解三角形的高的界说.这实际上是在数学概念

建立后，帮手学生对实质属性进行剖析，既将实质属性再次从界说中

分离出来，加以明确.

2）辨析概念的肯定规证和否定规证

学生能背诵概念其实不即是真正理解概念，还要通过实例突出概念

的主要特征，帮手他们加深对概念的理解.教师不单要充沛运用肯定

规证来帮手学生理解概念的内涵，同时要及时运用否定规证来增进学

生对概念的辨析.在概念揭示后往往要针对教学要求组织学生进行一

些练习，如教完三角形按角分类后，可以出示：一个三角形不是直角

三角形，而且有两个角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形.让学

生进行判断，引起学生讨论来巩固三角形的分类，以深化对三角形这

一概念的外延的进一步认识.再如，小数的性质揭示后，可以让学生

判断0.40、0.030、20.020、2.800、10.404、5.0000各数，哪些“0”可

以去失落，哪些“0”不能去失落?从而加深学生对小数性质的理解.

3）变换实质属性的叙述或表达方式

小学生理解和掌握概念的特点之一往往是：对某一概念的内涵不很

清楚，也不全面，把非实质的特征作为实质的特征.例如，有的学生

误认为，只有水平放置的长方形才叫长方形，如果斜着放就识别不出

来.为此，往往需要变换概念的叙述或表达方式，让学生从各个正面

来理解概念.旨在从变式中掌控概念的实质属性，排除非实质属性的

干扰.因为事物的实质属性可以运用分歧的语言来表达，如果学生对

各种分歧的叙述和表达都能理解和掌握，就说明学生对概念的理解是

透彻的，是灵活的，不是死记硬背的.

4）对近似的概念及时加以比较辨析

在小学数学中，有些概念其含义接近，但实质属性又有区别.如数与

数字，数位与位数，奇数与质数，偶数与合数，化简比与求比值，时

间与时刻，质数、质因数与互质数，周长与面积，等等.对这类概

念，学生经常容易混淆，必需及时把它们加以比力，以防止互相干扰.

如学习了“整除”，为了和以前学的“除尽”加以比力，可以设计这样

的练习题：下列等式中，哪些是整除，哪些是除尽?

(1)8÷2＝4(2)48÷8＝6

(3)30÷7＝4……2

(5)6÷0.2＝30

引导学生通过分析、比力，从而得出：第(3)题是有余数的除法，

固然不能说被除数被除数整除或除尽，其他各题固然能说被除数被除

数除尽了.其中只有第(1)、(2)题，被除数、除数和商都是自然数，而

且没有余数，这两题既可以说被除数被除数除尽，又能说被除数被除

数整除.从上面的分析中，让学生明白：整除是除尽的一种特殊情

况，除尽包括了整除和一切商是有限小数的情况.

学习了比之后，可以用列表法设计比与除法、分数之间的联系的习

题，从中明确“除法是一种运算，分数是一个数，比是一个关系式”的

区别.

（3）重视概念的运用，发挥概念的作用

正确、灵活地运用概念，就是要求学生能够正确、灵活地运用概念

组成判断，进行推理、计算、作图等，能运用概念分析和解决实际问

题.理解概念的目的在于运用，运用的途径有：

1)自举实例

这是要求学生把已经初步获得的概念简单运用于实际，通过实例来

说明概念，加深对概念的理解.有经验的教师，根据小学生对概念的

认识通常带有具体性的特点，在学生通过分析、综合、笼统、概括出

概念后，总是让他们自举例证，把概念具体化.从具体到笼统又回到

具体，符合小学生的认识规律，使学生更准确掌控概念的内涵和外延.

例如在学生初步获得了真分数、假分数的概念后，就可以让学生分

别举一些真分数和假分数的实例；知道了圆柱的特征后，让学生说说

日常生活中有哪些物品的形状是圆柱形的.

2)运用于计算、作图等

例如，如学了乘法的运算定律后，就可以让学生简便计算下面各题.

104×2548×25101×35×2

(80+8)×258×(125+50)34×5×2

在掌握分数的基赋性质后，就要求学生能熟练地进行通分、约分，

并说明通分、约分的依据.学习了小数的性质后，就可以让学生把小

数按要求进行化简或改写；学习了等腰三角形，可设计一组把持题；

画一个等腰三角形；画一个顶角60度的等腰三角形；画一个腰长为

2厘米的等腰直角三角形.

3)运用于生活实践

数学概念来源于生活，就肯定要回到生活实际中去.教师引导学生

运用概念去解决数学问题，是培养学生思维，发展各种数学能力的过

程.而且，也只有让学生把所学习到的数学概念，拿到生活实际中去

运用，才会使学到的概念巩固下来，进而提高学生对数学概念的运用

技能.为此，教师在教学中应当根据教材内容和学生实际，在掌握小

学数学教材逻辑系统的基础上，有意识地深化和发展学生的数学概念.

例如在学习圆的面积后，一位教师就设计了这样的问题：“我们已经

学习了圆面积公式，谁能想法子算一算，学校操场上白杨树树干的横

截面面积?”同学们就讨论开了，有的说，算圆面积一定要先知道半

径，只有把树砍下来才华量出半径；有的不赞成这样做，认为树一砍

下来就会死失落.这时教师进一步引导说：“那么能不能想出不砍树就

能算出横截面面积的法子来呢?年夜家再讨论一下.”学生们渴望获得

正确的谜底，通过积极思考和争论，终于找到了好法子，即先量出树

干的周长，再算出半径，然后应用面积公式算出年夜树横截面面积.

课后许多学生还到操场上实际丈量了树干的周长，算出了横截面面积.

再如，在教学正比例应用题时，可以启发学生运用旗杆高度与影长的

关系，巧妙地算出了旗杆的高度.这样通过创设有效的教学情景，教

师适时点拨，不单启迪了学生的思维，而且培养了学生学以致用的兴

趣和能力，也加深了对所学概念的理解.

（4）注重概念之间的比力分类，深化概念

小学数学知识的特点是系统性强，前后联系密切，可是由于小学生

思维发展水平和接受能力的限制，有些知识的教学往往是分几节课或

几个学期来完成，这样难免在分歧水平上削弱知识间的联系.对一些

有联系的概念或法则，在一定阶段应进行系统的整理，使学生在头脑

中建立起知识的网络，形成良好的认知结构.尤其是中高年级，可以

引导学生将概念进行分类，明确概念间的联系和区别，以形成概念系

统.