0e

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常数0、1、、e、i五兄妹

汉中市铺镇中学杨瑞杰

0、1、、e、i是数学中很重要的五个常数，是在学习数学过程

中逐渐认识理解掌握的五个数，0、1、、e、i这五个数与人们的生

活息息相关，也是人们解决实际问题经常用到的数。0、1、、e、i

这五个“兄妹”被大数学家欧拉（最丰产的数学家）统一在著名的、

简洁的、优美的公式ei+1=0中。为了纪念数学家欧拉，公式ei+1=0

称为欧拉公式。

“0”是阿拉伯数字之一。国际通用的数字，就是0，1，2，3，

4，5，6，7，8，9这十个阿拉伯数字。

古代印度人发明了包括“零”在内的十个数字符号，还发明了现在

一般通用的定位计数的十进位法。由于定位计数，同一个数字符号因

其所在位置不同，就可以表示不同数值。如果某一位没有数字，则在

该位上写上“0”。“0”的应用，使十进位法臻于完善，意义重大。十个

数字符号后来由阿拉伯人传人欧洲，被欧洲人误称为阿拉伯数字。由

于采用计数的十进位法，加上阿拉伯数字本身笔划简单，写起来方便，

看起来清楚，特别是用来笔算时，演算很便利。因此随着历史的发展，

阿拉伯数字逐渐在各国流行起来，成为世界各国通用的数字。

虽然阿拉伯数字看起来很简单，但它是我们数学必用、而且全球

共用，生活不可少的发明。

在公元7世纪，印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta）将0作

为一个“数字”对待，并且建立了一套使用规则。这些规则包括“正

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数和零相加的结果仍为正数”及“零和零相加仍为零”。

0有什么作用，没有0将万事难行，科学的进步依靠它。我们常

谈论0度经线，温度标尺上的00C，以及类似的0能量、0重力等。

这种思想同样进入了非科学的语言里，例如零时（发动进攻等的时

刻）、零容忍（指对轻微过失都不予放过的严厉执法政策）。

没有0就不成数学。它处在数学概念的最核心位置，使得数字系

统、代数、几何得以成立。在数字序列中，0将正数和负数区分开来，

因此占据了一个享有特权的位置。在十进制系统中，0作为占位符，

使得我们既可以使用很大的数，也可以使用很精微的数字。

当0被引入时，必然会被认为是非常怪诞的。但是数学家们习惯

于紧紧抓牢这些看似奇怪，而后又被证明十分有用的概念。在今天，

相同的事情发生在集合里（集合的概念是一组元素的聚集）。在这个

理论中，￠代表集合中没有任何元素，称为“空集”。虽然看起来也

是十分奇怪的思想，但是就像0一样，他是不可或缺的。

是数学中最著名的数。忘记自然界中的所有常数也不会忘记

它，总是出现在名单的第一个位置。如果数字也有奥斯卡奖，那么

肯定每年都会得奖。

或者pi，是圆的周长和它的直径的比值。它的值，即这两个长

度之间的比值，不取决于圆周的大小。无论圆周是大是小，的值都

是恒定不变的。产生于圆周，但是在数学中它却无处不在，甚至涉

及到那些和圆周毫不相关的地方。

在公元前2000年左右，巴比伦人发现了圆周长大约是直径的3

3

倍。关于的数学理论真正开始于锡拉库扎的阿基米德，大约公元前

225年左右。

的精确值，我们永远无法知道的精确值，因为它是一个无理

数，的小数展开是无穷无尽的，并且没有可预测的模式。阿基米德

估算出的的值处在

71

223

和

70

220

之间。正因为阿基米德，我们有了大家

所熟知的的近似值

7

22

。

e相对于它的竞争者来说，e就像是初来咋到的。由于其可

以追溯到巴比伦时期的辉煌历史而显得更具威严，而e却没有什么值

得称道的历史为其添彩。常数e年轻而充满生机的，当涉及“增长”

时，它就会出现。无论是人口、金钱或其他的自然数量，它们的增长

总是不可避免的会涉及e。

e是一个近似值为2.71828的数。它是数学中最伟大的常数之一。

它萌发于17世纪早期，但是故事真正开始于17世纪的e商务。下

面我们通过一个与复利有关的故事认识e。

假设我们考虑1年定期存款，利率为100﹪，开始存款（称为本

金）1﹩。当然我们几乎不可能得到100﹪这么高的利息，这个数字

仅仅是为了便于计算，我们完全可以将其推广到真实的利率，例如6

﹪或7﹪。同理，如果我们假定本金为10000﹩的话，那么计算过程

中的数字都要乘以10000倍。

在第一年结束后，按100﹪的利率来算，我们现在拥有了本金以

及相应的利息1﹩。也就是说，现在的总额高达2﹩。现在我们假设

将利率降低到50﹪，但是每半年单独结算一次。在前半年结束后，

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我们得到了50美分的利息，总额增加到1.50﹩。所以，在全年结束

时，我们将以这个基数计算利率，共得到75美分的利息，。一年结束

后，我们最初的存款1﹩增长到了2.25﹩！通过每半年计算一次复利，

我们得到了额外的25美分的利息。虽然这看起来很少，但是如果我

们投资了10000﹩的本金，我们最后得到的将是22500﹩，而不是

20000﹩。通过半年复利的计算方法，我们得到了额外的2500﹩。

但是，如果每半年计算一次复利可以使我们的本金获得更多的利

息，银行也同样可以从我们欠银行的债务上获得更多的利息，所以我

们一定要小心！现在假设将一年分为4个季度，每个季度的利率为

25﹪.经过类似计算，我们发现本金1﹩增加到了2.44141﹩。我们的

钱在增加，对于10000的本金来说，如果能进一步减小计算利息的周

期和利率，我们将能获得更多的利息。

我们的钱会无限增长下去，并使我们变为百万富翁吗？如果我们

将一年时间继续分为越来越短的周期，这个“极限过程”最终将使复

利和停留在某个常数上，如下表所示。当然，现实中计算复利的最短

周期是每天（银行正是这么做的）。这个过程的数学结论是，这个极

限值（数学家称之为e）是将复利的计算变得连续发生时，1﹩的本

金最后所获得的本息和。这是个好消息还是个坏消息呢？你应该知道

答案：如果你是在存款，那么他是好消息；如果你欠银行的钱，他是

坏消息。这是一个“e学习”的问题。

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每„„计算一次复利本息和

年2.00000﹩

半年2.25000﹩

季度2.44141﹩

月2.61304﹩

周2.69260﹩

天2.71457﹩

小时2.71813﹩

分2.71828﹩

秒2.71828﹩

的历史可以追溯到古代、e的历史则不过400年左右。数字起

源于一个几何问题：怎样得到圆的周长和面积。数字e的起源就不是

那么清晰了，他似乎可以追溯到16世纪的一个发现，计复利计算公

式（1+

n

1

）n在n增大时趋于某个固定的极限值-----约为2.71828。因

此，e成为了第一个用极限运算来定义的数字，即在n→∞时，e=lim

（1+

n

1

）n。

符号“i”(imaginary)，它称为虚数单位。“虚”(imaginary)这个

词的使用源于哲学家和数学家笛卡尔，以辨识某些方程得到的非

普通数的解。复数理论开始于-1的平方根。那么，什么数平方后

可以得到-1呢？这是16世纪中复数研究早期的一个关键点，当

他被克服以后，数学便从普通数字的束缚中解放出来，并开启了

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许多以前做梦都不敢想象的新领域。复数理论的发展是“対实数

理论的一个补充”，从而形成一个更完美的体系。i2=-1，这是数

学史上非常重要的一步，发生在19世纪初前后，从此以后，我们

逃离了一维数轴的限制，进入了新的陌生的二维数平面。

我们来看看数学家是怎样看待复数的。“虚数”这个名词是17

世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制，直到19世纪初，高斯系统

地使用了i这个符号，并主张用数偶（a、b）来表示a+bi，称为

复数，虚数才逐步得以通行。

由于虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，

在实际生活中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间

里，人们对它产生过种种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意

就是指它是虚假的；莱布尼兹则认为：“虚数是美妙而奇异的神

灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。”欧拉尽管在许

多地方用了虚数，但又说：“一切形如,√-1，√-2的数学式子

都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。

对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什

么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚

幻。”

继欧拉之后，挪威测量学家维塞尔提出把复数（a+bi）用平

面上的点来表示。后来高斯又提出了复平面的概念，终于使复数

有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。现在，复数一般用

来表示向量（有方向的量），这在水利学、地图学、航空学中的

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应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内容。i，这个不真实

的数字，在真实的使用。

欧拉公式ei+1=0集中了数学中最为重要的5个常数于一身，

此外还包括3种最重要的数学计算----加法、乘法、指数运算。这五

个常数成为了经典数学中4个主要分支的象征：0和1所代表的算术、

i所代表的代数学、所指代的几何学，以及e所代表的分析数学。

我们有理由说欧拉公式ei+1=0是最美的数学公式。