复数运算法则

复数代数形式的四则运算

【学习目标】

1.会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。

2.会进行复数乘法和除法运算。

3.掌握共轭复数的简单性质，理解z、z的含义，并能灵活运用。

【要点梳理】

要点一、复数的加减运算

1.复数的加法、减法运算法则：

设

1

zabi，

2

zcdi（,,,abcdR），我们规定：

12

()()()()zzabicdiacbdi

21

()()zzcadbi

要点诠释：

（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。很明显，

两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．

（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。

2.复数的加法运算律:

交换律：z

1

+z

2

=z

2

+z

1

结合律:：(z

1

+z

2

)+z

3

=z

1

+(z

2

+z

3

)

要点二、复数的加减运算的几何意义

1.复数的表示形式：

代数形式：zabi（,abR）

几何表示：

①坐标表示：在复平面内以点(,)Zab表示复数zabi（,abR）；

②向量表示：以原点O为起点，点(,)Zab为终点的向量

OZ

表示复数zabi.

要点诠释：

复数zabi一一对应复平面内的点(,)Zab

一一对应平面向量

OZ

2．复数加、减法的几何意义：

如果复数

1

z、

2

z分别对应于向量

1

OP

uuur

、

2

OP

uuur

，那么以

1

OP、

2

OP为两边作平行四边形

12

OPSP，对角线

OS表示的向量OS

uuur

就是

12

zz的和所对应的向量.对角线

21

PP表示的向量

21

PP

uuuur

就是两个复数的差

12

zz

所对应的向量.

设复数z

1

=a+bi，z

2

=c+di，在复平面上所对应的向量为

1

OZ、

2

OZ，即

1

OZ、

2

OZ的坐标形式为

1

OZ=(a，b)，

2

OZ=(c，d)以

1

OZ、

2

OZ为邻边作平行四边

形OZ

1

ZZ

2

，则对角线OZ对应的向量是OZ，

由于OZ=

1

OZ+

2

OZ=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以

1

OZ和

2

OZ的和就是与复数(a+c)+(b+d)i

对应的向量

类似复数加法的几何意义，由于z

1

－z

2

=(a－c)+(b－d)i，而向量

12

ZZ=

1

OZ

uuuur

2

OZ=(a，b)-(c，d)=(a-c，

b-d)，所以

1

OZ和

2

OZ的差就是与复数(a－c)+(b－d)i对应的向量

要点诠释：

要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：

（1）利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理

（2）反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工具运用于几何之中。

要点三、复数的乘除运算

1．共轭复数：

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共

轭复数也叫做共轭虚数。

通常记复数z的共轭复数为z。

2．乘法运算法则：

设

1

zabi，

2

zcdi（,,,abcdR），我们规定：

12

()()()()zzabicdiacbdbcadi

1

2222

2

()()

()()

z

abiabicdiacbdbcad

i

zcdicdicdicdcd







要点诠释：

1.两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.

两个复数的积仍然是一个复数.

2.在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分

母实数化)，化简后写成代数形式。

3．乘法运算律：

(1)交换律：z

1

(z

2

z

3

)=(z

1

z

2

)z

3

(2)结合律：z

1

(z

2

+z

3

)=z

1

z

2

+z

1

z

3

(3)分配律：z

1

(z

2

+z

3

)=z

1

z

2

+z

1

z

3

要点四、复数运算的一些技巧：

1.i的周期性：如果n∈N，则有：

41ni，41nii，421ni，43nii（*nN）

2.2(1)2ii

3.共轭复数的性质：两个共轭复数z、z的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，

即22zzxy，其中z=x+yi（x，y∈R）．

【典型例题】

类型一、复数的加减运算

例1.计算：（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)

（2）(1―2i)―(2―3i)+(3―4i)―(4―5i)+…+(1999―2000i)―(2000―2001i)

【解析】（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4)i=－11i

（2）解法一：

原式=(1―2+3―4+…+1999―2000)+(―2+3―4+5+…―2000+2001)i=―1000+1000i。

解法二：

(1―2i)―(2―3i)=―1+i，

(3―4i)―(4―5i)=―1+i，

……

(1999―2000i)―(2000―2001i)=―1+i。

将上列1000个式子累加，得原式=1000(―1+i)=―1000+1000i。

【总结升华】复数的加减法，相当于多项式加减法中的合并同类项的过程。如果根据给出复数求和

的特征从局部入手，抓住式子中相邻两项之差是一个常量这一特点，适当地进行组合，那么可简化运算。

举一反三：

【变式】(1)设z

1

=3+4i，z

2

=―2―i，求

12

zz,

(2)已知z

1

=(3x+y)+(y―4x)i，z

2

=(4y―2x)―(5x+3y)i（x，y∈R），求z

1

―z

2

，

【答案】

(1)z

1

+z

2

=(3+4i)+(―2―1)i=(3-2)+(4-1)i=1+3i

(2)z

1

－z

1

=(3x+y)+(y－4x)i－=+i=

(5x－3y)+(x+4y)i，

类型二、复数的乘除运算

例2．计算：(1)(1－i)2；(2)(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)．

【思路点拨】

第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运

算顺序计算，也可以结合运算律来计算．

(1)解法一：(1－i)2＝(1－i)(1－i)＝1－i－i＋i2＝－2i；

解法二：(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.

(2)解法一：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i－6i－8i2)(1＋2i)

＝(11－2i)(1＋2i)＝(11＋4)＋(22－2)i＝15＋20i；

解法二：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i)＝5(3＋4i)＝15＋20i.

【总结升华】此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中

(－2i)·4i＝8，而不是－8.

举一反三：

【变式1】在复平面内，复数z=i(1+2i)对应的点位于（）．

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】B∵z=i(1+2i)=i+2i2=－2+i，∴复数z所对应的点为（－2，1），故选B．

【高清课堂：复数代数形式的四则运算401753例题1】

【变式2】计算：（1）

()ninN



；（2）23100iiiiL；（3）23100iiiiL

【答案】（1）*

43

142

41

14

n

ink

nk

ikN

ink

nk

























其中；

（2）4414243423(1)0kkkkkiiiiiiii，

（3）

100(1001)

231005050

21iiiiii



L

【高清课堂：复数代数形式的四则运算401753例题2】

【变式3】计算：（1)8(1)i（2）

33

22

(1)(1)

(1)(1)

ii

ii





.

【答案】(1)8(1)i24444[(1)](2)216iii

（2）

33

22

(1)(1)2(1)2(1)

1

(1)(1)22

iiiiii

iiii







.

例3.(2015新课标Ⅰ)设复数z满足

1

1

z

i

z







，则|z|

（A）1（B）2（C）

3

（D）2

【答案】A

【思路点拨】在复数的乘除法中，要时时注意21i

，

不能出错。

【解析】

∵

1

1

z

i

z







∴1+z=i－zi

∴(1+i)z=i－1

1(1)(1)2

122

iiii

zi

i







∴|z|=1

故选A

【总结升华】1先写成分式形式

2然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)

3化简成代数形式就得结果

举一反三：

【变式1】复数

3i

1i





等于（）．

A．1+2iB．1－2iC．2+iD．2－i

【解析】

23i(3i)(1i)32ii42i

2i

1i(1i)(1i)1i22







，故选C．

【变式2】计算：（1）3

1

()i

i

（2）

13

3-

i

i



【答案】（1）3333

11

()()(2)88iiiii

ii



.

（2）

13131

-

3--(13)

ii

i

i

iii







，

类型三.复数代数形式的四则运算

例4.计算下列各式：

（1）

(14i)(1i)24i

34i





；（2）

(i2)(i1)

(1i)(i1)i





。

【解析】

（1）

(14i)(1i)24i

34i





(14)(41)i24i

34i







7i(7i)(34i)

34i(34i)(34i)







(214)(328)i2525i

1i

2525



。

（2）

(i2)(i1)(21)(12)i

(1i)(i1)i(11)(11)ii







13i(13i)(2i)

2i(2i)(2i)







(23)(61)i55i

1i

55



。

【总结升华】题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号，再算

乘除，最后算加减．

举一反三：

【变式1】计算：

（1）(12)(34)(2)iii

（2）23100iiiiL

（3）

33

22

(1)(1)

(1)(1)

ii

ii





；

【答案】（1）(12)(34)(2)(112)(2)247iiiiii

（2）231126222()1iiiiiiiiiLL

（3）

3322

22

(1)(1)(1)(1)(1)(1)2(1)2(1)

(1)(1)2(2)4

iiiiiiiiii

iiiii







22

1

4

i

i





【变式2】计算：

61i23i

1i

32i















；

【答案】方法一：

原式

6

2

6

(1i)(23i)(32i)6236

i1i

25

(3)2(2)2

ii













。

方法二（技巧解法）：

原式

6

2

6

(1i)(23i)i(23i)i

1i

2

(32i)i23i

i













。

考点4共轭复数的有关计算

【高清课堂：数系的扩充和复数的概念401749例题2】

例5.,xyR，复数(32)5xyxi与复数(2)18yi的共轭复数相等，求x，y.

【思路点拨】先将(2)18yi的共轭复数要正确写出，再由复数相等的充要条件可得方程组，解之

即可求结果，

【解析】

(2)1818(2)yiyi

3218-2

18-(-2)(32)5

2-512

xyx

yixyxi

yxy













【总结升华】以z、z的概念与性质为基础，结合复数代数形式的四则运算，解决有关应用问题．

举一反三：

【变式1】(2014上海)若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则

1

()z

z



z=________

【答案】6

复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，

则i

i

iz

z

z21

21

1

21·

1

































＝(1＋2i)(1－2i)＋1

＝1－4i2＋1

＝2＋4

＝6．

故答案为：6

【变式2】设z的共轭复数是z，4zz,

8zz

，则

z

z

＝.

【答案】设zabi（,abR），则zabi，

∵24zza，且228zzab，

∴2a，2b，

当2a，2b时，

22

22

zi

i

zi







；

当2a，2b时，

22

22

zi

i

zi







.

故

z

i

z

.

类型四.复数的几何意义

例6.如图所示，已知复平面内的正方形ABCD的三个顶点A（1，2），B（―2，1），

C（―1，―2），求D点对应的复数。

【思路点拨】根据点D的位置，利用解析几何的方法确定D对应的复数的实部与虚部。

【解析】

解法一：设D（x，y），则(,)(1,2)(1,2)ADODOAxyxy

uuuruuuruuur

。

(1,2)(2,1)(1,3)BCOCOB

uuuruuuruuur

。

因为ADBC

uuuruuur

，

∴（x―1，y―2）=（1，―3），得

2

1

x

y











。

∴D点对应的复数为2―i。

解法二：∵A，C关于原点对称，∴O为正方形ABCD的中心。

设D（x，y），则B，D关于O点对称，即

20

10

x

y











，得

2

1

x

y











。

∴D点对应的复数为2―i。

【总结升华】在平面几何图形中，结合向量的运算法则的几何意义，以复数加减法的几何意义为媒介，实

现量之间的转化，进而求相关问题．

举一反三：

【变式1】若在复平面上的YABCD中，AC

uuur

对应的复数为6+8i，BD

uuur

对应的复数为―4+6i，则DA

uuur

对应的

复数是____。

【答案】

由复数加减法的几何意义可得

1

()

2

DACABD

uuuruuuruuur

，其对应的复数为

1

(68i46i)

2

17i。

【高清课堂：复数代数形式的四则运算401753例题4】

【变式2】已知

1

z

z

为纯虚数，则复数z在复平面中对应的点Z组成什么图形？

【答案】设zxyi，

则

2

2222

()(1)(1)

11(1)(1)

zxyixyixyixxyyi

zxyixyxy







所以2(1)0xxy即22

11

()

24

xy（0y）.

以

1

,0

2







为圆心，

1

2

为半径的圆去掉原点和(1,0)后剩下的部分.