正项数列

--

--

数列百通

通项公式求法（一)转化为等差与等比

1、已知数列{}

n

a满足

1

1a，2

1

1

nn

aa



（,nN2≤

n

≤８）,则它的通项公式

n

a什么

2.已知{}

n

a是首项为2的数列,并且

11

2

nnnn

aaaa



，则它的通项公式

n

a是什么

3．首项为2的数列,并且23

1nn

aa



，则它的通项公式

n

a是什么

--

--

4、已知数列

n

a中,

1

0a，

1

1

2n

n

a

a





，*Nn.

求证:

1

1

n

a









是等差数列；并求数列

n

a的通项公式;

５.已知数列

n

a中，

1

3a，

1

222

nn

aan



,如果2

nn

ban，求数列

n

a的通项公式

--

--

(二)含有

n

S的递推处理方法

１）知数列{aｎ}的前n项和S

n

满足ｌoｇ

2

（Ｓ

n

+１）＝n+１，求数列{a

n

}的通项公式．

2.）若数列

n

a的前ｎ项和

n

S满足,

2(2)

8

n

n

a

S



则，数列

n

a

3)若数列

n

a的前ｎ项和

n

S满足，

11

1

,0,

4nnnn

aSSaa



则,数列

n

a

4）

123

23...(1)(2)

n

aaanannn

求数列

n

a

--

--

（三）累加与累乘

(1)如果数列

n

a中

11

1,2n

nn

aaa



(2)n求数列

n

a

(2）已知数列}{

n

a满足3

1

a,)2(

)1(

1

1









n

nn

aa

nn

,求此数列的通项公式

(3）

12+21

1,2,=32

nnn

aaaaa



,求此数列的通项公式.

(4)若数列

n

a的前n项和

n

S满足,2

1

1

,

2nn

Snaa则,数列

n

a

--

--

(四)一次函数的递推形式

1．若数列

n

a满足

11

1

1,1

2nn

aaa



(2)n，数列

n

a

2.若数列

n

a满足

11

1

1,2

2

n

nn

aaa



(2)n,数列

n

a

（五）分类讨论

（1)

212

3(3),1,7

nn

aanaa



，求数列

n

a

（2)

12

2

2,(3)1,3n

n

a

naa

a



,求数列

n

a

--

--

（六)求周期

16(1)

12

1

,4

1

n

n

n

a

aa

a







，求数列

2004

a

（２)如果已知数列

11nnn

aaa



,

12

2,6aa，求

2010

a

--

--

拓展1：有关等和与等积

(1)数列{

n

a}满足0

1

a,

1

2

nn

aa



,求数列{ａn}的通项公式

(2)数列{

n

a}满足0

1

a,

1

2

nn

aan



,求数列｛an}的通项公式

（3)．已知数列满足}{

n

a)(,)

2

1

(,3*

11

Nnaaan

nn





,求此数列｛an}的通项公式.

拓展2综合实例分析

１已知数列{an}的前n项和为

n

S，且对任意自然数ｎ,总有1,0,1

nn

Spapp

（1)求此数列{aｎ}的通项公式

(2）如果数列

n

b中，

1122

2,,

n

bnqabab，求实数p的取值范围

2已知整数列｛ａn}满足

3

1223341

...

3nn

nn

aaaaaaaa





,求所有可能的

n

a

--

--

3已知{}

n

a是首项为１的正项数列,并且22

11

(1)0(1,2,3,)

nnnn

nanaaan



，则它的通项公式

n

a是什么

4已知{}

n

a是首项为1的数列，并且

134

n

n

n

a

a

a





，则它的通项公式

n

a是什么

５、数列

n

a和

n

b中，

1

,,

nnn

aba成等差数列，

n

b,

1n

a，

1n

b成等比数列，且1

1

a，2

1

b,设

n

n

nb

a

c,

求数列

n

c的通项公式。

--

--

6ﻩ设无穷数列

n

a的前n项和为

n

S，已知

1

2a，且当nN时，总有

1

312

nn

SS



,求

n

a及

n

S．

７数列

n

a满足11

nn

pSa，其中p为正实数，

12n

Saa…*

n

anN

(１)证明：

n

a为等比数列，并求出它的通项;

(２）数列

n

b中，

1

1b，

1nnn

bba



，求

n

b的通项公式

--

--

数列求最值的方法

（一）化为函数方法

转化为耐克函数

（1）如果数列

n

a的通项公式是

n

a=

24nn

n



，此数列的哪一项最小?并求其最小值

(2)如果数列

n

a的通项公式是

n

a=

2156

n

n

，此数列的哪一项最大?并求其最大值

转化为分式函数

(3)如果数列

n

a的通项公式是

n

a=

1

5

n

n





，此数列的哪一项最大？并求其最大值

转化为二次函数

(4）如果数列

n

a的通项公式是

n

a=22nkn是单调递增数列,求ｋ的取值范围。

如果该数列在第四项最小,求ｋ的取值范围

--

--

（二）数列的简单单调性求最值的方法：

如果数列

n

a的通项公式是

n

a=*

111

.....()

12

nN

nnnn





，

(1)判断数列的增减

(２)若对于一切大于1的自然数n,不等式

12

log(1)

123na

aa恒成立求a的取值范围？

(三)计算器结合复杂单调性,求最值的方法

（１）数列

n

a的通项公式是

n

a=*1,nnN,是否存在自然数m，使对任意的序号*nN，有

nm

aa恒成立，

若存在,求出m，如果不存在,请说明理由

（２)如果数列

n

a的通项公式是

n

a=*

9

(),

10

nnN，是否存在自然数ｍ,使对任意的序号*nN,有

nm

aa恒成

立,若存在,求出m，如果不存在，请说明理由

（3)如果数列

n

a的通项公式是

n

a=*

9

(1)(),

10

nnnN,是否存在自然数m，使对任意的序号*nN,有

nm

aa

恒成立,若存在,求出m,如果不存在,请说明理由

（四）数列单调性求“和”的最值的方法

--

--

已知数列前ｎ项和为

n

S，且585,()

nn

SnanN

（1）求

n

a的通项公式

（2）求

n

S的通项公式

（3）说说ｎ为何值时，

n

S取得最小值？

数列的求和

(一)倒序相加法:

（1)设

1

22x

fx



，利用课本中推导等差数列前

n

项和公式的方法，求：

ﻩ87ff…0f…89ff的值

（2）01231234....(1)nn

nnnnnnn

SCCCCnCnC

（二）错位相减法

--

--

求和:

1357

24816

…

21

2n

n



ﻩ

(三）公式求和法

(１)数列

n

a中，

14

8,2aa且*

21

20

nnn

aaanN



,

1234n

Saaaa…

n

a,求

n

S．

(2)

)(*122221NnbabbababaaSnnnnnn

n



(3)求和22221234…2n

(三）裂项求和法

--

--

(1)

111

,,,

153759

…ﻩ

（２)

111

133557







…

（3）

)(,

321

1

4321

1

321

1

21

1

1*Nn

n























（4)求数列

!

n

ann的前n项和

(四)．分组求和法

1.分部分组法

--

--

(1）

111

1,2,3,

248

…

(2）1,３＋

1

3

,32+

1

32

，……，３n＋

1

3n

２.奇偶分组

ﻩ(3)已知





65

4n

n

nn

a

n















为偶数

为奇数

求数列

n

a的前

n

项和.

3均匀分组

（4)1,3,5,7…

4.不均匀分组

--

--

(5）求数列：

111111111

1,,,,,,,,,,

223334444

…的前10０项和；

（6）求数列：1,23,456,78910,…的前

n

项和．

数列的极限

5个“三”

三个定义极限

（1)

n

lim

C＝C(C为常数);

(2）

n

lim

n

1

＝０;

（３）

n

limqn＝0(｜q|<1）

三个不存在的极限

lim

n

n



lim(1)n

n



lim2n

n

三个推导极限

（１)多项式

1

*

110

1

110

,;

...

(,,0,0)

...

0,.

limkk

kk

kl

ll

n

ll

a

lk

ananana

klNab

b

bnbnbnb

lk































3

54

3

lim

2







n

bnan

n

，则.________________,ba

(2）单指数

--

--

1

(1)(1)

(1)

limn

n

n

rq

qq







（3)多指数

若

1

31

lim

3

31

n

n

n

na







,求

a

的取值范围

三个待定形

1）

0

0

型

比较

2

2

13

lim

12n

nn

nn







和

2

2

13

lim

14n

nn

nn







2)





型

比较

2

2

32

lim

21n

n

n





和

2

2

52

lim

21n

n

n





3）0+0+0＋0+0+０+0＋0……型

n

lim.___________)

1

2

1

3

1

2

1

1

(

2222















n

n

nnn

三个重要条件

0(11)limn

n

qq





limn

n

q



极限存在(11)q

1lim

1n

n

a

SS

q





(0||1)q

设数列

}{

n

a是公比0q的等比数列，

n

S是它的前

n

项和，若

n

lim7

n

S，那么

1

a的的取值范围是＿__＿_____

--

--

例1

已知数列

n

a中,)(2,1

11





Nnaaan

nn

（１）求证数列

n

a不是等比数列，并求该数列的通项公式;

（２)求数列

n

a的前n项和

n

S;

(3)设数列

n

a的前

n2

项和为

n

S

2

,若

nnn

aSka

222

)1(3•对任意Nn恒成立,求

k

的最小值.

例２

--

--

定义

1

x，

2

x,…，

n

x的“倒平均数”为

n

xxx

n



21

（

*Nn

）.

(1）若数列}{

n

a前n项的“倒平均数”为

42

1

n

,求}{

n

a的通项公式；

（2）设数列}{

n

b满足:当n为奇数时,1

n

b,当n为偶数时，2

n

b.若

n

T为}{

n

b前n项的倒平均数，

求

n

n

T



lim

；

(3）设函数xxxf4)(2,对（1）中的数列}{

n

a,是否存在实数,使得当x

时，

1

)(





n

a

xfn对

任意

*Nn

恒成立?若存在，求出最大的实数;若不存在,说明理由.

例3

--

--

设满足条件)(2:*

12

NnaaaP

nnn





的数列组成的集合为

A

，而满足条件

)(2:*

12

NnaaaQ

nnn





的数列组成的集合为

B

．

（１）判断数列naa

nn

21:}{和数列n

nn

bb21:}{是否为集合

A

或

B

中的元素？

(2）已知数列3)(kna

n

,研究}{

n

a是否为集合

A

或

B

中的元素；若是,求出实数

k

的取值范围；

若不是,请说明理由.

（３)已知*

2

31(1)log(,)i

n

aniZnN,若}{

n

a为集合

B

中的元素，求满足不等式

60|2|

n

an的n的值组成的集合.

例4

--

--

对于数列}{

n

x，如果存在一个正整数

m

,使得对任意的

n

（Nn)都有

nmn

xx



成立,那么就把这样一类数

列}{

n

x称作周期为

m

的周期数列,

m

的最小值称作数列}{

n

x的最小正周期,以下简称周期.例如当2

n

x时}{

n

x

是周期为1的周期数列,当sin()

2n

yn



时}{

n

y是周期为4的周期数列．

（1)设数列}{

n

a满足

nnn

aaa

12

(Nn),baaa

21

,(,ab不同时为0),求证：数列}{

n

a是周期为6

的周期数列,并求数列}{

n

a的前2０12项的和

2012

S；

(２)设数列}{

n

a的前

n

项和为

n

S,且2)1(4

nn

aS.

①若

0

n

a,试判断数列}{

n

a是否为周期数列，并说明理由;

②若

0

1



nn

aa，试判断数列}{

n

a是否为周期数列,并说明理由；

--

--

例5

已知数列{}

n

a和{}

n

b的通项公式分别为36

n

an，27

n

bn(*nN),将集合

**{|,}{|,}

nn

xxanNxxbnN中的元素从小到大依次排列,构成数列

123

,,,,,

n

cccc。

(1）求

1234

,,,cccc；

（２)求证：在数列{}

n

c中.但不在数列{}

n

b中的项恰为

242

,,,,

n

aaa；

(3)求数列{}

n

c的通项公式。

--

--

例６

如果有穷数列

123m

aaaa，，，，

（

m

为正整数）满足条件

m

aa

1

,

12



m

aa，…，

1

aa

m

，即

1



imi

aa

（

12im，，，

),我们称其为“对称数列”.

例如，数列

12521，，，，

与数列

842248，，，，，

都是“对称数列”．

（1）设

n

b是7项的“对称数列”,其中

1234

bbbb，，，

是等差数列,且2

1

b,11

4

b.依次写出

n

b的每一项；

（２)设

n

c是49项的“对称数列”，其中

252649

ccc，，，

是首项为1，公比为2的等比数列，求

n

c各项的

和S；

（3）设

n

d是100项的“对称数列”,其中

5152100

ddd，，，

是首项为2,公差为3的等差数列．求

n

d前

n

项

的和

n

S

(12100)n，，，

.

挑战一

--

--

已知数列

n

a是首项

1

aa，公差为2的等差数列；数列

n

b满足

nn

anb)1(2.

（1)若

1

a、

3

a、

4

a成等比数列，求数列

n

a的通项公式；

(２)若对任意nN都有

5n

bb成立，求实数

a

的取值范围；

(３）数列

n

c满足1

2

1

3()(3)

2

n

nn

ccnNn



且,其中

1

1c，

2

3

2

c;

nn

cbnf)(,当1614a时，求)(nf的最小值（nN）

挑战二

--

--

我们规定：对于任意实数A,若存在数列{}

n

a和实数(0)xx,使得

21

123

.....n

n

Aaaxaxax,则称数A可以表示成x进制形式，简记为:

1231

~()()().....()()





nn

Axaaaaa。如：2~(1)(3)(2)(1)A,则表示Ａ是一个2进制形式的数，且

23132(2)212A＝5．

(1）已知2(12)(13)mxx（其中0)x,试将m表示成

x

进制的简记形式.

(２）若数列{}

n

a满足

1

2a，*

1

1

,

1k

k

akN

a





，

12332313

2~()()().....()()()





nnnn

baaaaaa*()nN，是否存在实常数p和ｑ，对于任意的

*nN,n

n

bp8q总成立?若存在,求出p和ｑ;若不存在，说明理由.

（3）若常数t满足0t且1t，1231~()()().....()()nn

nnnnnn

dtCCCCC,求

1

limn

n

n

d

d



．

挑战三

--

--

已知数列．，满足)(221

11





Nnaaaan

nnn

（1)

nn

aa并求出数列的通项公式；

(2)求等差数列

11

2

3

1

2

0

1

)(





n

n

nnnnnn

aCbCbCbCbNnb，使对Nn

都成立;

M

a

c

a

c

a

c

a

c

MNnnbc

n

n

nn



3

3

2

2

1

1)(，使，是否存在正常数令Nn对

恒成立，

并证明你的结论．

--

--

挑战四

已知等差数列

{}

n

a中,公差0d，其前

n

项和为

n

S，且满足

23

45aa,

14

14aa．

（1）求数列{}

n

a的通项公式;

(２)设由n

n

S

b

nc





（0c)构成的新数列为

n

b，求证：当且仅当

2

1

c时，数列

n

b是等差数列;

(３)对于(2)中的等差数列

n

b,设

8

(7)n

nn

c

ab





(*nN)，数列

n

c的前

n

项和为

n

T，现有数列()fn,

8

()30.9n

nn

n

fnTa

b









（*nN），

是否存在整数M，使Mnf对一切*nN都成立？若存在，求出M的最小

值,若不存在，请说明理由．

挑战五

--

--

已知，数列

n

a有paaa

21

,（常数0p)，对任意的正整数

nn

aaaSn

21

,，并有

n

S满足

2

)(

1

aan

Sn

n



。

(１）求

a

的值;

(2）试确定数列

n

a是不是等差数列，若是,求出其通项公式。若不是，说明理由;

（3）对于数列

n

b,假如存在一个常数b使得对任意的正整数

n

都有bb

n

且bb

n

n





lim,则称b为数列

n

b的

“上渐进值”,令

2

1

1

2









n

n

n

n

nS

S

S

S

p,求数列nppp

n

2

21

的“上渐进值”。

挑战六

--

--

已知数列

n

a中,

1

0a，

1

1

2n

n

a

a





，*Nn.

(1）求证：

1

1

n

a









是等差数列；并求数列

n

a的通项公式;

(2）假设对于任意的正整数

m

、

n

,都有||

nm

bb，则称该数列为“域收敛数列”.试判断:数列

4

5

n

nn

ba









，*Nn是否为一个“

2

3

域收敛数列”,请说明你的理由．

--

--

2

1

11

23(18)(),(0),

()0.

(1){},()4,{};

(2){}124......2......{},

{};

(3)(){}23,1,{

nnn

n

nn

nn

nnn

fxxaxaaxR

xfx

aSfna

ab

bnT

cccncc













、本大题分已知二次函数有且仅有唯一

的实数值满足

在数列中满足求的通项

在数列中依次取出第项、第项、第项第项组成新数列

求新数列的前项和

理科设数列满足数列

1

},

(1).

(3)(),{}.

nn

nn

nn

nn

nH

HS

n

cc

aa





的前项和记作试

比较与题中的大小

文科设求数列的最大和最小值

--

--

挑战八

已知函数

31122

3

log,(,),(,)

1

x

fxMxyNxy

x





是xf图像上的两点,横坐标为

2

1

的点P满足

2OPOMON(O为坐标原点).

(1)求证：

12

yy为定值；

（2）若

121

n

n

Sfff

nnn











*(2)nnN，,

求

11

49

lim

49

nn

nn

SS

SS

n





的值；

（3)在（2）的条件下,若



1

1

1

6

1

2

411

n

nn

n

a

n

SS

























，，

，，

*()nN，

n

T为数列

n

a的前

n

项和，若



1

1

nn

TmS



对一切*nN都成立，试求实数

m

的取值范围.

--

--

挑战九

本题共有

3

小题

,

第

1

小题满分

4

分，第２小题满分

6

分，第

3

小题

满分

6

分．

把公差为２的等差数列

}{

n

a

的各项依次插入等比数列

}{

n

b

中

,

将

}{

n

b

按原顺序分成

1

项、

2

项、

4

项、

……

、

12n项的各组

,

得到数列

}{

n

c

：

3765423211

,,,,,,,,,abbbbabbab

,……,

记数列

}{

n

c

的前

n

项和为

n

S

．若

1

1

c

，

2

2

c

，



3

S

4

13

.

（１）求数列

}{

n

a

、

}{

n

b

的通项公式；

(

２）求数列

}{

n

c

的前１

00

项和

100

S

;

(3

）设

nnn

abT2009

,

阅读框图写出输出项

,

说明理由

.

开始

i1

100i

ii1

结束

是

是

否

否

T<15

输出Ti

--

--

挑战十

已知数列{an｝和{bｎ}满足：a1=λ,an+１=

2

4,(1)(321),

3

n

nnn

anban其中λ为

实数,n为正整数.

（1)对任意实数λ,证明:数列{an}不是等比数列;

（2)证明:当18{}

n

b时，数列是等比数列；

（３）设0＜a＜b(a,b为实常数),Ｓ

n

为数列{bn}的前n项和.是否存在实数λ，使得对任意

正整数ｎ,都有ａ

ｎ

＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.

--

--

挑战十一

将数列｛ａ

n}

中的所有项按第一排三项

,

以下每一行比上一行多一项的规则排成如数表

:

记表中的第一列数ａ

１

,a4,a8

，

…

构成的数列为

{bn

｝，已知：

①

在数列

{

ｂｎ｝中，ｂ

1=1

，对于任何

n∈N

＊

,

都有

(n

＋

1)bn+1

﹣

nbn=0

；

②

表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为ｑ

(q

＞

0

）的等比数列

;

③

．请解答以下问题：

（

1

）求数列

{bn}

的通项公式；

(2

）求上表中第

k(

ｋ

∈N*)

行所有项的和

S(k

）

;

（3）若关于x的不等式在上有解，求正整数ｋ的取值范围