全等三角形的定义

1

全等三角形的性质和判定

要点一、全等三角形的概念

能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

要点二、对应顶点，对应边，对应角

1。对应顶点，对应边,对应角定义

两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，

重合的角叫对应角。

要点诠释：

在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易

找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点

A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE,BC和EF，AC和DF是

对应边;∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。

要点三、全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等.

要点四、全等三角形的判定

（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）

全等三角形判定一(SSS，SAS）

全等三角形判定1—-“边边边”

三边对应相等的两个三角形全等。（可以简写成“边边边"或“SSS”）。

要点诠释：如图，如果''AB＝AB,''AC＝AC,''BC＝BC，则△ABC≌△

'''ABC.

要点二、全等三角形判定2——“边角边”

1.全等三角形判定2—-“边角边”

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或

“SAS”）.

2

要点诠释：如图，如果AB＝''AB，∠A＝∠'A，AC＝

''AC

，则△ABC

≌△

'''ABC

。注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角。

2。有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。

如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB,AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不

完全重合，故不全等,也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不

一定全等.

【典型例题】

类型一、全等三角形的判定1-—“边边边”

1、已知:如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．

求证：RM平分∠PRQ．

证明：∵M为PQ的中点（已知）,

∴PM＝QM

在△RPM和△RQM中，



(),

,

RPRQ

PMQM

RMRM

















已知

公共边

∴△RPM≌△RQM（SSS）．

∴∠PRM＝∠QRM(全等三角形对应角相等）．

即RM平分∠PRQ。

举一反三：

【变式】已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC。

3

类型二、全等三角形的判定2—-“边角边”

2、已知：如图,AB＝AD,AC＝AE，∠1＝∠2．

求证：BC＝DE．

证明:∵∠1＝∠2

∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE

在△ABC和△ADE中

ABAD

BACDAE

ACAE

















∴△ABC≌△ADE(SAS)

∴BC＝DE(全等三角形对应边相等）

3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，

AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD

的位置与数量关系，并证明你的结论．

证明：延长AE交CD于F,

∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形

∴AB＝BC，BD＝BE

在△ABE和△CBD中

4

90

ABBC

ABECBD

BEBD

















∴△ABE≌△CBD（SAS）

∴AE＝CD，∠1＝∠2

又∵∠1＋∠3＝90°,∠3＝∠4（对顶角相等)

∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°

∴AE⊥CD

举一反三：

【变式】已知：如图，PC



AC，PB



AB，AP平分∠BAC，且AB＝AC，点Q在PA

上，

求证:QC＝QB

类型三、全等三角形判定的实际应用

4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，

不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明．

【答案与解析】

证明：在△DEH和△DFH中，

5

DEDF

EHFH

DHDH













＝

＝

∴△DEH≌△DFH(SSS)

∴∠DEH＝∠DFH．

一、选择题

1。△ABC和△

'''ABC

中，若AB＝''AB，BC＝

''BC

，AC＝

''AC

。则（）

A。△ABC≌△

'''ACB

B.△ABC≌△

'''ABC

C.△ABC≌△

'''CAB

D。△ABC≌△

'''CBA

2.如图，已知AB＝CD，AD＝BC,则下列结论中错误的是（）

∥DCB。∠B＝∠DC.∠A＝∠＝BC

3。下列判断正确的是（）

A。两个等边三角形全等

B.三个对应角相等的两个三角形全等

C。腰长对应相等的两个等腰三角形全等

D。直角三角形与锐角三角形不全等

6。如图，已知AB⊥BD于B,ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的

是（）

A。EC⊥ACB。EC＝ACC。ED＋AB＝DBD。DC＝CB

二、填空题

9.如图，在△ABC和△EFD中，AD＝FC,AB＝FE,当添加条件_______时，就可得

△ABC≌△EFD(SSS）

10.如图，AC＝AD，CB＝DB,∠2＝30°,∠3＝26°，则∠CBE＝_______。

6

12。已知,如图,AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌，△ADC≌。

三、解答题

13。已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠ADC＝∠BCD，

AD＝BC，

求证：CO＝DO．

14。已知:如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．

分析:要证AD∥BC，只要证∠______＝∠______,

又需证______≌______．

证明：∵AB∥CD（），

∴∠______＝∠______(）,

在△______和△______中，

















),______(______

),______(______

),______(______

∴Δ______≌Δ______（)．

∴∠______＝∠______()．

∴______∥______（）．

7

15.如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证:AE＝DE。

全等三角形判定3——“角边角"

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或

“ASA”）。

要点诠释：如图，如果∠A＝∠'A，AB＝''AB，∠B＝∠'B,则△ABC≌△

'''ABC

.

要点二、全等三角形判定4——“角角边"

1。全等三角形判定4-—“角角边"

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角

边”或“AAS”）

2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，

又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等。这说明，三个角对应相等的两个三角形

不一定全等。

要点三、判定方法的选择

1。选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表:

已知条件可选择的判定方法

一边一角对应相等SASAASASA

两角对应相等ASAAAS

两边对应相等SASSSS

8

类型一、全等三角形的判定3-—“角边角”

1、已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．

求证：AE＝CF．

证明：∵AD∥CB

∴∠A＝∠C

在△ADF与△CBE中

AC

ADCB

DB

















∴△ADF≌△CBE（ASA）

∴AF＝CE,AF＋EF＝CE＋EF

故得:AE＝CF

举一反三：

【变式】如图,AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证:AB＝CD.

类型二、全等三角形的判定4——“角角边"

2、已知:如图,AB⊥AE，AD⊥AC,∠E＝∠B，DE＝CB．

求证：AD＝AC．

9

证明:∵AB⊥AE,AD⊥AC,

∴∠CAD＝∠BAE＝90°

∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB，即∠BAC＝∠EAD

在△BAC和△EAD中

BACEAD

BE

CB=DE















∴△BAC≌△EAD(AAS）

∴AC＝AD

举一反三：

【变式】如图,AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、

BE。

求证：BE＝CF。

【答案】

证明:∵AD为△ABC的中线

∴BD＝CD

∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴∠BED＝∠CFD＝90°，

在△BED和△CFD中

BEDCFD

BDECDF

BDCD

















（对顶角相等）

∴△BED≌△CFD（AAS)

∴BE＝CF

10

3、已知:如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．

（1）求证：AC与BD互相平分；

（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，

求证：OE＝OF。

证明：∵AB∥DC

∴∠Ａ＝∠Ｃ

在△ABO与△CDO中

AC

(AOBCOD















＝

＝对顶角相等）

AB=CD

∴△ABO≌△CDO(AAS)

∴AO＝CO，BO=DO

在△AEO和△CFO中

AC

(AOECOF















＝

AO=CO

＝对顶角相等）

∴△AEO≌△CFO（ASA）

∴OE＝OF。

一、选择题

1。能确定△ABC≌△DEF的条件是（）

A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E

B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E

C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D

D．∠A＝∠D,AB＝DE，∠B＝∠E

2．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC

全等的图形是（）

图4－3

A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙

11

3．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（）

A．DE＝DFB．AE＝AFC．BD＝CDD．∠ADE＝∠ADF

4．如图，已知MB＝ND,∠MBA＝∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是

（）

A．∠M＝∠NB．AB＝CDC．AM＝CND．AM∥CN

6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（）

A．△ADC≌△BCDB．△ABD≌△BAC

C．△ABO≌△CDOD．△AOD≌△BOC

二、填空题

7。如图,∠1＝∠2,要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件

是.

（填上你认为适当的一个条件即可)。

8.在△ABC和△'''ABC中，∠A＝44°，∠B＝67°，∠'C＝69°,∠'B＝44°，

且AC＝

''BC

，则这两个三角形_________全等.（填“一定”或“不一定”）

9。已知，如图，AB∥CD,AF∥DE，AF＝DE,且BE＝2，BC＝10,则EF＝________.

11.如图,已知：∠1＝∠2,∠3＝∠4，要证BD＝CD,需先证△AEB

≌△AEC，根据是，再证△BDE≌△,根据

是．

12

12。已知：如图,∠B＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF,

（1）若以“ASA”为依据，还缺条件

（2）若以“AAS”为依据，还缺条件

（3)若以“SAS”为依据，还缺条件

三、解答题

13．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CD相交于点O,且OA＝OB，

∠A＝∠C．那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程;若不全等，请

说明理由．

答：△AOD≌△COB．

证明：在△AOD和△COB中，

















),(

),(

),(

对顶角相等

已知

已知

COBAOD

OBOA

CA

∴△AOD≌△COB（ASA）．

问:这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？

14.已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD,BF＝DE，AE＝CF,求证：AC与BD互相

平分.

13

15.已知:如图，AB∥CD,OA＝OD,BC过O点，点E、F在直线AOD上,且

AE＝DF。

求证：EB∥CF。

要点一、判定直角三角形全等的一般方法

由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，

或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”

或“SAS”判定定理。

要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理

在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

（可以简写成“斜边、直角边"或“HL")。这个判定方法是直角三角形所独有的,

一般三角形不具备.

【典型例题】

类型一、直角三角形全等的判定——“HL”

1、已知：如图，AB⊥BD,CD⊥BD，AD＝BC．

求证：（1）AB＝CD:

（2）AD∥BC．

证明：（1)∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠ABD＝∠CDB＝90°

14

在Rt△ABD和Rt△CDB中，

ADBC

BDDB









＝

∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）

∴AB＝CD(全等三角形对应边相等）

（2）由∠ADB＝∠CBD

∴AD∥BC.

.

举一反三：

【变式】已知:如图，AE⊥AB,BC⊥AB，AE＝AB,ED＝AC．

求证：ED⊥AC．

2、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全

等的注明理由：

（1）一个锐角和这个角的对边对应相等;（)

（2）一个锐角和斜边对应相等；（）

(3）两直角边对应相等；(）

（4）一条直角边和斜边对应相等．（）

举一反三：

【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×"，并举出反例画出图形.

(1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）

（2)有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）

（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（)

3、已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC,BC⊥BD．

求证：AD＝BC；

15

证明：连接DC

∵AD⊥AC，BC⊥BD

∴∠DAC＝∠CBD＝90°

在Rt△ADC与Rt△BCD中，

DCCD

ACBD









＝

∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL）

∴AD＝BC.(全等三角形对应边相等)

举一反三:

【变式】已知，如图，AC、BD相交于O，AC＝BD,∠C＝∠D＝90°。

求证:OC＝OD.

4、如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线

l

上，且过A，B两点

分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E,请你在图中找出一对全等三角形，

并写出证明它们全等的过程。

一、选择题

1．下列说法正确的是（)

A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等

B．斜边相等的两个直角三角形全等

C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等

D．一边长相等的两等腰直角三角形全等

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3.能使两个直角三角形全等的条件是()

A.斜边相等B。一锐角对应相等

C。两锐角对应相等D.两直角边对应相等

5。直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是(）

A．形状相同B．周长相等C．面积相等D．全等

6.在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角

三角形（）

A。一定全等B.一定不全等C.可能全等D。以上都不是

二、填空题

7．如图，BE,CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“______”．

8.已知，如图，∠A＝∠D＝90°，BE＝CF，AC＝DE，则△ABC≌_______.

9。如图，BA∥DC,∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED,则AC＝_________。

10.如图，已知AB⊥BD于B,ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，若DE＝2，AB＝4,

则DB＝______.

12。如图，已知AD是△ABC的高,E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，

FD＝CD.则

∠BAD＝_______.

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三、解答题

14.如图,已知AB⊥BC于B，EF⊥AC于G,DF⊥BC于D,BC＝DF.求证：AC＝EF。

15。如图，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC,AF⊥BF,垂足分别是点E、F。

求证：∠1＝∠2。