平方和公式推导

自然数平方和公式的推导与证明新课标

12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给

出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。

设：S=12+22+32+…+n2

另设：S

1

=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解

题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一：

S

1

=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，

(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+(n2+2×2n+22)

+(n2+2×3n+32)+…+(n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+12+22+32+…+n2，即

S

1

=2S+n3+2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1)

第二：S

1

=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：

S

1

=12+32+52…+(2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：

22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4S……………………………………..(2)

12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1)2+…+(2n-1)2

=(22×12-2×2×1+1)+(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+

(22×n2-2×2×n+1)2

=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n

=22×(12+22+32+…+n2)-2×2(1+2+3+…+n)+n

=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(

3)

由(2)+(3)得：

S

1

=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)

由(1)与(4)得：2S+n3+2n(1+2+3+…+n)=8S-4(1+2+3+…+n)+n

即：6S=n3+2n(1+2+3+…+n)+4(1+2+3+…+n)-n

=n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]

=n(2n2+3n+1)

=n(n+1)(2n+1)

S=n(n+1)(2n+1)/6

亦即：S=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)

以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。

由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n为最后一

位自然数。

由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1为最后

一位自然数。

由自然数平方和公式推导自然数立方和公式

设S=13+23+33+…+n3……………………………………………………….(1)

有S=n3+(n-1)3+(n-2)3+…+13……………………………………………...(2)

由(1)+(2)得：2S=n3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+…+n3+13

=(n+1)(n2-n+1)

+

(n+1)[(n-1)2-2(n-1)+22)

+

(n+1)[(n-2)2-3(n-2)+32)

+

.

.

.

+

(n+1)(12-n(n-n+1)(n-n+1+n2)

即2S=(n+1)[2(12+22+32+…+n2)-n-2(n-1)-3(n-2)-…-n

(n-n+1)]………………...(3)

由12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6代入(2)得：

2S=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n-2n-3n-…nn+2×1+3×2+…+n(n-1)]

=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+…n)+(1+1)×1+(2+1)×2+…+(n-1+1)(n

-1)]

=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+1+22+2+…+(n-1)2+(n-1)]

=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+22+…+(n-1)2+1+2+…+

(n-1)]……...(4)

由12+22+…+(n-1)2=n(n+1)(2n+1)/6-n2，1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得：

2S=(n+1)[3n(n+1)(2n+1)/6-n2+n(n-1)/2

=n2(n+1)2/2

即S=13+23+33+…+n3=n2(n+1)2/4

结论：自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4，其中n为自然数。

自然数偶数立方和公式推导

设S=23+43+63+…+(2n)3

有S=23(13+23+33+…+n3)=8n2(n+1)2/4=2n2(n+1)2

结论：自然数偶数的立方和公式为2n2(n+1)2，其中2n为最后一位自然偶数。

自然数奇数立方和公式推导

设S=13+23+33+…+(2n)3

由自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4，其中n为自然数代入左边

有n2(2n+1)2=23+43+63+…+(2n)3+13+33+53…+(2n-1)3

=2n2(n+1)2+13+33+53…+(2n-1)3

移项得：13+33+53…+(2n-1)3=n2(2n+1)2-2n2(n+1)2

=n2(2n2-1)

结论：自然数奇数的立方和公式为n2(2n2-1)，其中2n-1为最后一位自然奇数，即n的取值。