线性独立

标准文档

实用文案

线性代数知识点

1、行列式

1.n行列式共有2n

个元素，展开后有

!n

项，可分解为

2n行列式；

2.代数余子式的性质：

①、

ij

A和

ij

a的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；

3.

代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijij

ijijijij

MAAM

4.设n行列式D：

将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为

1

D，则

(1)

2

1

(1)

nn

DD



；

将D顺时针或逆时针旋转

90

，所得行列式为

2

D，则

(1)

2

2

(1)

nn

DD



；

将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为

3

D，则

3

DD；

将D主副角线翻转后，所得行列式为

4

D，则

4

DD；

5.行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积

(1)

2(1)

nn

；

③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；

④、◤和◢：副对角元素的乘积

(1)

2(1)

nn

；

⑤、拉普拉斯展开式：

AOAC

AB

CBOB

、(1)mn

CAOA

AB

BOBC



⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6.对于n阶行列式A，恒有：

1

(1)

n

nknk

k

k

EAS



，其中

k

S为

k

阶主子式；

7.证明0A的方法：

①、AA；

②、反证法；

③、构造齐次方程组

0Ax

，证明其有非零解；

④、利用秩，证明()rAn；

标准文档

实用文案

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.A是n阶可逆矩阵：

0A（是非奇异矩阵）；

()rAn

（是满秩矩阵）

A的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组

0Ax

有非零解；

nbR

，

Axb

总有唯一解；



A与E等价；

A可表示成若干个初等矩阵的乘积；

A的特征值全不为0；

TAA

是正定矩阵；



A的行（列）向量组是nR

的一组基；



A是nR

中某两组基的过渡矩阵；

2.对于n阶矩阵A：**AAAAAE无条件恒成立；

3.1**111**()()()()()()TTTTAAAAAA

***111()()()TTTABBAABBAABBA

4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

若

1

2

s

A

A

A

A















，则：

Ⅰ、

12s

AAAA；

Ⅱ、

1

1

1

1

2

1

s

A

A

A

A

























；

②、

1

1

1

AO

AO

OB

OB





















；（主对角分块）

③、

1

1

1

OA

OB

BO

AO





















；（副对角分块）

标准文档

实用文案

④、

1

111

1

AC

AACB

OB

OB























；（拉普拉斯）

⑤、

1

1

111

AO

AO

CB

BCAB























；（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r

mn

EO

F

OO











；

等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵A、B，若

()()rArBAB

；

2.行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、若(,)(,)

r

AEEX，则A可逆，且1XA

；

②、对矩阵

(,)AB

做初等行变化，当A变为E时，B就变成1AB，即：1(,)(,)

c

ABEAB

；

③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程

Axb

，如果(,)(,)

r

AbEx，则A可逆，且1xAb

；

4.初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

②、

1

2

n





















，左乘矩阵A，

i

乘A的各行元素；右乘，

i

乘A的各列元素；

③、对调两行或两列，符号(,)Eij，且1(,)(,)EijEij，例如：

111

11

11













；

④、倍乘某行或某列，符号(())Eik，且1

1

(())(())EikEi

k



，例如：

11

1

1

(0)

1

1

kk

k

























；

⑤、倍加某行或某列，符号(())Eijk,且1(())(())EijkEijk，如：

111

11(0)

11

kk

k















；

5.矩阵秩的基本性质：

①、0()min(,)

mn

rAmn



；

标准文档

实用文案

②、

()()TrArA；

③、若AB，则

()()rArB

；

④、若P、

Q

可逆，则

()()()()rArPArAQrPAQ

；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、

max((),())(,)()()rArBrABrArB

；（※）

⑥、

()()()rABrArB

；（※）

⑦、

()min((),())rABrArB

；（※）

⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且

0AB

，则：（※）

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组

0AX

解（转置运算后的结论）；

Ⅱ、

()()rArBn

⑨、若A、B均为n阶方阵，则

()()()rABrArBn

；

6.三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

②、型如

1

01

001

ac

b











的矩阵：利用二项展开式；

二项展开式：0111111

0

()

n

nnnmnmmnnnnmmnm

nnnnnn

m

abCaCabCabCabCbCab



；

注：Ⅰ、()nab展开后有

1n

项；

Ⅱ、0

(1)(1)!

1

123!()!







mn

nnn

nnnmn

CCC

mmnm

Ⅲ、组合的性质：11

11

0

2





n

mnmmmmrnrr

nnnnnnnn

r

CCCCCCrCnC

；

③、利用特征值和相似对角化：

7.伴随矩阵：

①、伴随矩阵的秩：*

()

()1()1

0()1

nrAn

rArAn

rAn

















；

②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)

AA

AXXAAAAXX





；

③、*1AAA、1

*

nAA

8.关于A矩阵秩的描述：

①、()rAn，A中有n阶子式不为0，

1n

阶子式全部为0；（两句话）

②、()rAn，A中有n阶子式全部为0；

③、()rAn，A中有n阶子式不为0；

9.线性方程组：

Axb

，其中A为mn矩阵，则：

标准文档

实用文案

①、m与方程的个数相同，即方程组

Axb

有m个方程；

②、n与方程组得未知数个数相同，方程组

Axb

为n元方程；

10.线性方程组

Axb

的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解；

③、特解：自由变量赋初值后求得；

11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：

①、

11112211

21122222

1122

nn

nn

mmnmnn

axaxaxb

axaxaxb

axaxaxb





















；

②、

1112111

2122222

12

n

n

mmmnmm

aaaxb

aaaxb

Axb

aaaxb















（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）

③、



1

2

12n

n

x

x

aaa

x

















（全部按列分块，其中

1

2

n

b

b

b

















）；

④、

1122nn

axaxax（线性表出）

⑤、有解的充要条件：

()(,)rArAn

（n为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1.m个n维列向量所组成的向量组A：

12

,,,

m

构成nm矩阵

12

(,,,)

m

A；

m个n维行向量所组成的向量组B：

12

,,,TTT

m



构成mn矩阵

1

2

T

T

T

m

B























；

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2.①、向量组的线性相关、无关

0Ax

有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出

Axb

是否有解；（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示

AXB

是否有解；（矩阵方程）

3.矩阵

mn

A



与

ln

B



行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组

0Ax

和

0Bx

同解；(

101

P例14)

4.()()TrAArA；(

101

P例15)

标准文档

实用文案

5.n维向量线性相关的几何意义：

①、线性相关0

；

②、

,

线性相关,

坐标成比例或共线（平行）；

③、

,,线性相关,,共面；

6.线性相关与无关的两套定理：

若

12

,,,

s

线性相关，则

121

,,,,

ss





必线性相关；

若

12

,,,

s

线性无关，则

121

,,,

s





必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则

rs

；

向量组A能由向量组B线性表示，则

()()rArB

；

向量组A能由向量组B线性表示

AXB

有解；()(,)rArAB

向量组A能由向量组B等价()()(,)rArBrAB

8.方阵A可逆存在有限个初等矩阵

12

,,,

l

PPP

，使

12l

APPP

；

①、矩阵行等价：~

r

ABPAB（左乘，P可逆）

0Ax

与

0Bx

同解

②、矩阵列等价：

~

c

ABAQB

（右乘，

Q

可逆）；

③、矩阵等价：

~ABPAQB

（P、

Q

可逆）；

9.对于矩阵

mn

A



与

ln

B



：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则

0Ax

与

0Bx

同解，A与B的任何对应的列向量组有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

④、矩阵A的行秩等于列秩；

10.若

mssnmn

ABC



，则：

①、

C

的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

②、

C

的行向量组能由B的行向量组线性表示，TA

为系数矩阵；（转置）

11.齐次方程组

0Bx

的解一定是

0ABx

的解，【考试中可以直接作为定理使用，而无需证明】

①、

0ABx

只有零解

0Bx

只有零解；

②、

0Bx

有非零解

0ABx

一定存在非零解；

12.设向量组

12

:,,,

nrr

Bbbb



可由向量组

12

:,,,

nss

Aaaa



线性表示为：

1212

(,,,)(,,,)

rs

bbbaaaK（BAK）

其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关()rKr；（

B

与

K

的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：

()()(),(),()rrBrAKrKrKrrKr

；充分性：反证法）

标准文档

实用文案

注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；

13.①、对矩阵

mn

A



，存在

nm

Q



，

m

AQE()rAm

、

Q

的列向量线性无关；

②、对矩阵

mn

A



，存在

nm

P



，

n

PAE()rAn

、P的行向量线性无关；

14.

12

,,,

s

线性相关

存在一组不全为0的数

12

,,,

s

kkk，使得

1122

0

ss

kkk成立；（定义）



1

2

12

(,,,)0

s

s

x

x

x

















有非零解，即

0Ax

有非零解；



12

(,,,)

s

rs，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15.设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组

0Ax

的解集

S

的秩为：()rSnr；

16.若*

为

Axb

的一个解，

12

,,,

nr





为

0Ax

的一个基础解系，则*

12

,,,,

nr





线性无关；

5、相似矩阵和二次型

1.正交矩阵TAAE

或1TAA

（定义），性质：

①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即

1

(,1,2,)

0

T

ij

ij

aaijn

ij













；

②、若A为正交矩阵，则1TAA

也为正交阵，且1A；

③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；

注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

2.施密特正交化：

12

(,,,)

r

aaa

11

ba；

12

221

11

[,]

[,]

ba

bab

bb

121

121

112211

[,][,][,]

[,][,][,]

rrrr

rrr

rr

bababa

babbb

bbbbbb







;

3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4.①、A与B等价

A经过初等变换得到B；

PAQB

，P、

Q

可逆；

()()rArB，A、B同型；

②、A与B合同

TCACB

，其中可逆；

TxAx

与TxBx

有相同的正、负惯性指数；

③、A与B相似1PAPB

；

5.相似一定合同、合同未必相似；

标准文档

实用文案

若

C

为正交矩阵，则TCACB

AB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；

6.A为对称阵，则A为二次型矩阵；

7.n元二次型TxAx

为正定：

A

的正惯性指数为n；

A

与E合同，即存在可逆矩阵

C

，使TCACE

；

A

的所有特征值均为正数；

A

的各阶顺序主子式均大于0；

0,0

ii

aA；(必要条件)

第一章

随机事件

互斥对立加减功，条件独立乘除清；

全概逆概百分比，二项分布是核心；

必然事件随便用，选择先试不可能。

第二、三章

一维、二维随机变量

1）离散问模型，分布列表清，边缘用加乘，条件概率定联合，独立试矩阵

2）连续必分段，草图仔细看，积分是关键，密度微分算

3）离散先列表，连续后求导；分布要分段，积分画图算

第五、六章

数理统计、参数估计

正态方和卡方出，卡方相除变F，

若想得到t分布，一正n卡再相除。

样本总体相互换，矩法估计很方便；

似然函数分开算，对数求导得零蛋；

区间估计有点难，样本函数选在前；

分位维数惹人嫌，导出置信U方甜。

第七章

假设检验

检验均值用U-T，分位对称别大意；

方差检验有卡方，左窄右宽不稀奇；

不论卡方或U-T，维数减一要牢记；

代入比较临界值，拒绝必在否定域！

标准文档

实用文案