log运算

创作时间：二零二一年六月三十日

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对数概念及其运算之欧侯瑞魂创作

创作时间：二零二一年六月三十日

知识点1对数

1.对数的界说

如果

1,0aaa

的b次幂即是N,那么数b叫做以a为底N的对数,

记作

,logbN

a



其中a叫做对数的底数,N叫做真数.在对数函数

bN

a

log

中,a的取值范围是

1,0aa且

,N的取值范围是0N,

b的取值范围是Rb.

【注意】根据对数的界说可知

（1）零和负数没有对数,真数为正数,即0N

（2）在对数中必需强调底数0a且1a

2.经常使用对数

（1）界说：以10为底的对数叫做经常使用对数,

N

10

log

记做

Nlg

.

（2）经常使用对数的性质

10的整数指数幂的对数就是幂的指数,即

是整数nnn10lg

3.自然对数

（1）界说：以71828.2e为底的对数叫做自然对数,

N

e

log

通常记

为InN.

（2）自然对数与经常使用对数之间的关系：依据对数换底公式,

可以获得自然对数与经常使用对数之间的关系：

4343.0

lg

lg

lgN

e

N

InN

,

即

NInNlg303.2

.

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4.指数式与对数式的互化

（1）符号

N

a

log

既是一个数值,也是一个算式,即已知底数和在某

一个指数下的幂,求其指数的算式.对数式

bN

a

log

的a、N、b在

指数式Nab中分别是底数、指数和幂.

（2）充沛利用指数式和对数式的互换,讲述四条规则：

①在

bN

a

log

中,必需0N,这是由于在实数范围内,正数任何

次幂都是正数,因而Nab中的N总是正数,须强调零和负数没有

对数.

②因为10a,所以

01log

a.

③因为

,1aa

所以

1loga

a.

④因为Nab,所以

bN

a

log

,所以NaNgl

a0.

【例1】下列说法毛病的是（）

(A)负数和零没有对数（B）任何一个指数式

都可以化为对数式

（C）以10为底的对数叫做经常使用对数（D）以e为底

的对数叫做自然对数

【例2】（1）把下列指数式写成对数式

①

;

27

1

3x

②

;64

4

1













x

③

;

16

1

2

1













x

④

5

1

52

1



（2）把下列对数式写成指数式：

①

;29log

3



②

;3001.0lg

③

5

32

1

log

2



.

知识点2对数的运算

创作时间：二零二一年六月三十日

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对数的运算性质

如果0a且1a,0M,0N,那么,

（2）

RnMnM

n

n

a

loglog

；

（3）

0,,loglogmRnmM

m

n

M

a

n

a.

用语言文字叙述对数运算法则为两个正数的积的对数即是这两个

对数的和；两个正数的商的对数即是这两个正数的对数的差；一

个正数的n次方的对数,即是这个正数的对数的n倍.

【例3】下列各式与c

ab

lg

相等的是（）

【例4】计算：

;5log3log3

22



2log

4

5

log

2

3

log4

555



.

知识点3换底公式

1.换底公式

2.换底公式的推论

【例5】计算：

;32log1

8

;5log4log2

825

2log2log3log3log3

9384



;



9

1

log

8

1

log

25

1

log4

532



;



3

75

75

4log

3

1

log

9log2log

5





【例6】（1）已知

,3lg,2lgba

用

ba,

暗示

45lg

的值；

（2）已知

,518,9log

18

ba

用

ba,

暗示

45log

36的值.

反函数的概念

知识点反函数

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1.界说

对函数

Dxxfy

,设它的值域为A,如果对A中任意一个值

y

,

在D中总有唯一确定的x值与它对应,且满足

xfy

,这样获得

的x关于

y

的函数叫做

xfy

的反函数,记作

yfx1

,习惯上,

自变量经常使用x来暗示,而函数用

y

暗示,所以把它改写为:

Axxfy1.

2.反函数存在的条件

函数

xfy

存在反函数的充要条件是函数

xfy

是界说域到值域

上的一一映射所确定的函数.注意：单调函数必有反函数.

3.反函数与原函数的关系

（1）反函数和原函数互为反函数：如果函数

xfy

有反函数

xfy1

,那么函数

xfy1

的反函数是

xfy

,则

xfy

与

xfy1

互为反函数；

（2）反函数和原函数的界说域与值域互换

函数

xfy

反函数

xfy1

界说域AC

值域CA

（3）互为反函数的函数的图像间的关系

函数

xfy

的图像和它的反函数

xfy1

的图像关于直线

xy

对

称.函数

xfy

的图像与

yfx1

的图像是同一个函数图像.

4.求反函数的步伐

（1）求函数

xfy

的值域（若值域显然,解题时常略去不写）.

（2）反解：由

xfy

写出

x

关于

y

的关系式；

（3）改写：在

yfx1

中,将

x

,

y

互换获得

xfy1

；

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（4）标明反函数的界说域,即（1）中求出的值域.

【例1】下列函数没有反函数的是：

①

;532xy

②1

1

2



x

y

；

③

;2123xy

④















03

)0(32

xx

xx

y

（A）①②③（B）①②④（C）②③④

（D）①③④

【例2】求下列函数的反函数：

（1）

)2(

2

12







x

x

x

y

；

（2）

25142xxxy

；

【例3】求函数

112xxy

的反函数.

对数概念及运算与反函数总结

1、对数的运算法则（将高一级运算向初级运算转化）

（1）

NMMN

aaa

logloglog

（2）

NM

N

M

aaa

logloglog

（3）

MnM

a

n

a

loglog

（4）

M

n

M

a

n

a

log

1

log

2、一个正数的对数是由首数加尾数组成的

3、几个经常使用的对数结论

4、换底公式：

a

b

a

b

b

c

c

alg

lg

log

log

log

5、经常使用对数与自然对数

6、对数的运算：以同底为基本要求,注意质因数分解,未知数在

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指数位置即为求对数

7、研究反函数是否存在：从函数的单调性动身

8、反函数的界说域：与原函数的值域相同,必需研究原函数值域

求得

9、求反函数的基本步伐,分段函数的反函数分段求得

10、原函数与反函数的图像关于

xy

对称

11、

xxff1

f

Rxxxff1Dx

12、反函数具有保奇性,而且坚持单调性不变

13、函数

axfy

与

axfy1不是互为反函数关系

14、互为反函数的公共点纷歧定在

xy

上

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