平行公理

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平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

平行公理推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

考点一

平行线的判定：

1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

2．两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

3.两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.

例1．如下图，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？

当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？你有几种方法。

例2．请将下面的空补充完整

1．如右图，若∠1=∠2，则_______∥_______（）

若∠3=∠4，则_________∥_________（）

若∠5=∠B，则_________∥_________（）

若∠D+∠DAB=180°，则______∥_______

（）

2．如右图，∠1+∠2=180°（已知）

∠3+∠2=180°（）

∴∠1=_________

∴AB∥CD（）

课堂练习：

1．如图6－21，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°,

求证：AB∥CD．

2．已知，如下图（1），（2），直线AB∥ED．

求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD．

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（1）（2）

3．如图，如果AB∥CD，求角、β、γ与180º之间的关系式．

4．如图，已知CD是∠ACB的平分线，∠ACB=500，∠B=700，DE∥BC，

求：∠EDC和∠BDC的度数。

达标训练：

一．选择题

1．下列命题中，不正确的是()

A．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

B．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行

D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

2．如右图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：()

(1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°，

其中能判定a∥b的条件是()

A．(1)(3)B．(2)(4)C．(1)(3)(4)D．(1)(2)(3)(4)

3．如右图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是()

A．AD∥BCB．AB∥CD

C．∠3=∠4D．∠A=∠C

4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来

的方向相同，这两次拐弯的角度可能是()

A．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°

B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°

C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°

D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°

二．填空题







E

D

C

B

A

A

B

D

C

E

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1

2

F

O

C

A

B

D

E

5．如右图，∠1=∠2=∠3，则直线l

1

、l

2

、l

3

的关系是________．

6．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比

为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________．

7．同垂直于一条直线的两条直线________．

8．根据图形及上下文的含义推理并填空．

（1）∵∠A=_______（已知）

∴AC∥ED（）

（2）∵∠2=_______（已知）

∴AC∥ED（）

（3）∵∠A+_______=180°（已知）

∴AB∥FD（）

三．解答题

9．已知：如图7，∠1=∠2，且BD平分∠ABC．求证．AB∥CD．

10、.如图，∠ABC=∠BCD,∠1=∠2,求证：BE∥CF.

11．如图，是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多几何知识．

根据下面的条件完成证明．

已知：如图，BC//AD，BE//AF．

(1)求证：BA；

(2)若135DOB，求A的度数．

12.已知:如图,∠3与∠1互余,∠3与∠2互余.求证:AB∥CD.

考点二：

1．平行线的性质．

公理：两直线平行，同位角相等.

定理：两直线平行，内错角相等.

C

F

D

E

B

A

O

H

G

3

2

1

E

F

D

C

B

A

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定理：两直线平行，同旁内角互补.

例1．如图，BE∥DF，∠B=∠D，求证．AD∥BC．

课堂作业：

1．如上图，AB∥CD，AD∥BC则下列结论成立的是()

A．∠A+∠C=180°B．∠A+∠B=180°

C．∠B+∠D=180°D．∠B=∠D

2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是

()

A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补

3．如右图，已知∠1=∠2，∠BAD=57°，则∠B=________．

4．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C．求证：∠1=∠2．

5．如图所示，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=CD，BC=DE，

那么AC与CE有什么关系？写你的猜想，并说明理由

6、如图所示：已知：AB∥DE。⑴猜测∠A、∠ACD、∠D有什么关系？并证

明你的结论。

⑵若点C向右移动到线段AD的右侧，此时∠A、∠ACD、∠D之间的关系，

仍然满足⑴中的结论吗？若符合，请你证明，若不符，请你写出正确的结论

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并证明。要求画出相应的图形。

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考点三：

三角形内角和证明

如何证明三角形内角和为180度？

1．如图1，延长BC，过C作CE∥AB

2．如图2，过A作EF∥AB

3．如图3，过A作AD∥BC。利用同旁内角之和为180度

4．如图4，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，DF∥AC。

根据上图辅助线的做法用四种方法证明三角形内角和180°

例1.△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，

如图，求∠DBC的度数。

例2.已知，△ABC中，AD是高，E是AC边上一点，BE与AD交于点F，∠ABC=45°，

∠BAC=75°，∠AFB=120°．求证：BE⊥AC．

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巩固训练：

1．如果三角形的三个内角都相等，那么每一个角的度数等于_______．

2．在△ABC中，若∠A=65°,∠B=∠C，则∠B=_______．

3．两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的平分线（）

A．相互重合B．互相平行

C．相互垂直D．无法确定相互关系

4．如图，AB∥CD，∠A=35°,∠C=80°,那么∠E等于（）

A．35°B．45°C．55°D．75°

5．如图，△ABC中，∠B=∠ACB，CD是高，

求证．∠BCD=

2

1

∠A．

6．已知，如图，△ABC中，∠C>∠B,AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．

求证．∠DAE=

2

1

（∠C－∠B）．

达标检测：

1．如右图，下列推理正确的是()

A．∵MA∥NB，∴∠1=∠3B．∵∠2=∠4，∴MC∥ND

C．∵∠1=∠3，∴MA∥NBD．∵MC∥ND，∴∠1=∠3

2．在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分线交于O点，则∠BOC

等于（）

A．65°B．115°C．80°D．50°

3．如图，已知∠ADE=∠B，∠1=∠2，FG⊥AB，求证CD⊥AB

证明．∠ADE=∠B（）

∴DE∥_______(）

∠1=_______()

∵∠1=∠2()

∴∠2=∠3()

4．△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠A=_______，∠B=_______，

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∠C=_______．

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