什么是代数

1

线性代数总览

线性代数（－）线性方程组

线性代数是解一次方程的学问。

线性=一次=简单

由于一个未知数的线性方程ax=b的解

的状况在小学时即已被大家完全掌握，所以

本课程面临的问题将是解两个以上未知数即

下面形式的线性方程组：















=+++

=+++

=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

"

""""""""""""

"

"

2211

22222121

11212111(1)

这是一个含有n个未知数m个方程的线性

方程组，是线性代数的基本研究对象。

当m=n=2时，方程组（1）就是我们非

常熟悉的

2







=+

=+

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa(2)

或者







=+

=+

222

111

cybxa

cybxa(3)

当

1221

0abab−≠时，方程组(3)有唯一解：

12211221

12211221

,

cbcbacac

xy

abababab

−−

==

−−

。

注意上述解中的分母相等，均为

1221

abab−，且

该数与方程组（3）的系数关系密切，我们

愿意用一个特殊的符号表示它(这样做最大

的好处是：易记)，即11

22

ab

ab

，称此数为方程组

（3）的系数行列式。如此一来，上述解中

的分子也分别变为了11

22

cb

cb

以及11

22

ac

ac

。

这样的结果当然非常美妙，足以令我们

心旷神怡。高兴之余，我们必然要问：m=n=3

时如何？m=n>3时如何？

容易计算（只是较麻烦，这是不可避免

的），当m=n=3时，如果方程组（1）有唯

一解，则解是

32322332

1

332

baaaababaaabababaa

x

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

++−−−

=

++−−−

3

其余两个未知数的表达式类似。自然地，由

m=n=2时的记号，可以记此分母为

111213

212223

313233

aaa

aaa

aaa

，

也称为方程组（1）的系数行列式（此时为

三阶行列式）。

三阶行列式已经较为复杂了，可以想

象,m=n=4以及更大的数所对应的情形---即

n阶行列式---将会更加复杂.所以需要专门

研究.

一般情况下(比如m≠n时)的线性方程组

其解如何？回答这个问题，实际上就构成了

线性代数的基本框架（第一条主线）。此时，

行列式不再是有效的工具，取而代之的是更

为重要有效的概念----矩阵，即按照线性方

程组的系数的顺序排列成的矩形数表或阵

列。

矩阵的引入大大简化了符号系统（比如，

一个m×n的线性方程组可以简单地写成

Ax=b,其中A是m×n的系数矩阵，x是所有

未知数按照原有顺序组成的n×1矩阵（即

列矩阵），b是由自由项（或常数项）按顺

4

序组成的m×1矩阵）。不仅如此，历史的进

程表明，矩阵几乎是无所不包的工具和概

念，因此矩阵本身也是极其值得研究的对

象。这就构成了线性代数的第二条主线。

简单地说，线性代数是利用矩阵研究线性

方程组和利用线性方程组研究矩阵的学问。

一个线性方程组可以表达为三种不同的

形式，即

z开放形式(初等形式:多个方程并列);

z矩阵形式Ax=b；

z向量形式α

1

x

1

+α

2

x

2

+…+α

n

x

n

=b

了解了三种形式之间的关系即了解了线

性代数之大部。

我们知道,一个线性方程组可能出现下述

几种情况:

1.相容方程组(compatiblesystem):即至少

有一个解的线性方程组;

2.矛盾方程组(incompatiblesystem):没有

5

解的线性方程组;

3.确定方程组(determinatesystem):有惟

一解的线性方程组;

4.不定方程组(indeterminatesystem):有多

于一解的线性方程组.

值得注意的是,每一个不定线性方程组有

无穷多个解.这与次数超过1的方程组形成

鲜明对照.

在m=n时,线性方程组(1)是确定的⇔系

数行列式非零.在这种情况下,方程组的惟一

解可按Cramer法则(Cramerrule,1750)求

出.

当系数行列式等于零或m≠n时,上述方

法失效.这时,要确定线性方程组的类型,须使

用关于矩阵的核心概念-秩(Frobenius,1877).

一个矩阵的秩表达了其所代表的线性方程组

所含独立方程的个数(或使用线性代数的术

语,该矩阵的线性无关的行或列的最大个数).

矩阵的线性无关的行的最大个数称为矩阵的

行秩;矩阵的线性无关的列的最大个数称为

矩阵的列秩.

关于矩阵的秩有下述结论:

6

行秩=列秩=该矩阵非零子式的最高阶数.

关于矩阵秩的最著名的结果是

(Sylvester,1814-1897):

设A

m×p

,B

p×n

,则r(A)+r(B)-p≤

r(AB)≤min{r(A),r(B)}.

其证明具有相当的启发性.先看第二个不

等式:矩阵的乘法具有什么样的性质?”左行

右列”.更进一步,乘积矩阵的行等于右边矩阵

的行的线性组合,组合系数是左边矩阵相应

的行;乘积矩阵的列等于左边矩阵的列的线

性组合,组合系数是右边矩阵相应的列.

(插入例子:二阶矩阵的乘积.)

于是,AB的列均可由A的列线性表示,而

其行可由B的行线性表示,从而其列秩不超

过A的列秩,其行秩不超过B的行秩,因此该

不等式成立.再来看第一个不等式:回忆可逆

矩阵不改变矩阵的秩,而且存在可逆矩阵P

与Q使得0

00

r

E

PAQ



=





,其中r=r(A).于是

PAB=PAQQ-1B=(PAQ)Q-1B=C,

其中C的前r行为Q-1B的前r行，后m-r

行均为零。注意r(Q-1B)=r(B),故共有p行的

7

矩阵Q-1B的前r行的秩至少为r(B)-(p-

r)=r(A)+r(B)-p,即C的秩至少为r(A)+r(B)-

p,但r(C)=r(AB),ok.

与线性方程组(1)相关联的有两个矩阵:系

数矩阵A=(a

ij

)以及由A加入自由项的列得

到的增广矩阵B=(A,b)=(a

ij

,b

i

).

线性方程组的主定理(Kronecker-Capeli

Theorem):

线性方程组(1)是相容的⇔A的秩=B的

秩.进一步,线性方程组(1)有惟一解⇔A的秩

=B的秩=n(=未知数的个数).

相容线性方程组的诸未知量可分为主未

知量(主元)与自由未知量(自由变量).对自由

未知量的任一组值,存在惟一确定的主未知

量的值,它们一起给出方程组的一个解.主未

知量与自由未知量的分法通常不是惟一的,

确切地说,如果A的秩等于B的秩,且等于r,

则其系数可以组成一个行列式D≠0的任意r

个未知量均可视为主未知量,其他的为自由

的.在这种情况下,行列式D称为方程组的主

子式(注意与行列式的主子式的差别).在计算

解中只须取含主子式D的r个方程,并按一

8

般形式(如用Cramer法则)用自由未知量表

达主未知量.这些表达式称为通解,自由未知

量在其中起着自由参数的作用.对于r=n的

情况,所有未知量均为主未知量,且不存在通

解.特别,当r=n=m时,我们又回到Cramer

法则,所不同的是,代替系数行列式不等于零,

现在使用的是”系数矩阵可逆”这一更为重要

广泛的概念(尽管可逆矩阵在此处作用并不

突出).此时我们再次感到Cramer法则中的

绝妙之处：

).,,2,1(

);,,2,1(

2211

2211

njAaAaAaD

niAaAaAaD

njnjjjjj

ininiiii

⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=

⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=







≠

=

=+⋅⋅⋅++

ji

jiD

AaAaAa

jninjiji02211

理论上一次性消去了n-1个未知数!

从(1)用零代替自由项得出的线性方程组















=+++

=+++

=+++

0

0

0

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

"

""""""""""""

"

"

(2)

称为对应于(1)的齐次线性方程组.方程组(2)

9

总是相容的(因为零解满足它).它有非零解的

必要充分条件是它的矩阵A的秩应该小于

未知量的个数n.特别,当m=n时,齐次线性方

程组有非零解当且仅当它的行列式等于零.

相容的线性方程组(1)的解与对应的齐次

线性方程组(2)的解有如下联系:(1)的解与(2)

的解之和为(1)的解;(1)的两个解之差为(2)的

解.(1)的所有解可由(2)的每一个解加上(1)的

同一个特解得到.(请对照线性微分方程的解

的结构,那里的结果只是线性代数理论的简

单应用!)

上述作法与解析几何中一个线性方程组

表示一个几何体(在平面上是直线,在空间内

则是平面)的直观印象相去甚远,难以反映几

何代数一体化的客观实在.考察直线L:x-y=0,

其元素可以改写成集合L={(x,y)|x=y}或

L={(x,x)|x∈R}.于是,在向量的加法(该法则是

力的合成法则!)下,我们有:若α,β∈L,则

α+β∈L;对任意实数k,kα∈L.这表明,一旦引

入合理的运算,几何体也会具有相当好的代

数性质(许多性质还是远远超出几何范畴或

几何想象的).于是,线性空间的概念横空出世.

10

所以线性空间的原型就是(过原点的)直线与

平面,尽管很多教材都未反映出此点.

所谓的线性空间是一个非空集合V,其元

素称为向量,向量之间有“加法”运算,另有

一个称为数乘的运算联系V中的向量与一

个数域F中的数,满足两组条件,第一组条件

保证该集合是一个加群(近世代数的基本概

念,加法运算下的整数集合是原型),第二组条

件保证加法与数乘运算是和谐的(复数或实

数的加法与乘法的关系是原型).

n维向量的核心概念(也是较困难的概念)

是一组向量的线性相关性(与无关性).两个向

量的线性相关实际上就是成比例或共线,三

个向量时该概念便是共面.由此产生向量组

的秩的概念,进而导致向量空间的几个最重

要的概念:子空间,基,维数和坐标.

关于线性空间最重要的事实之一就是,任

何有限维线性空间均同构于数域F上的n

维线性空间Fn(即n元数组按通常加法与数

乘构成的线性空间).

线性方程组解的几何解释：齐次方程组(2)

的所有解组成Fn的一个子空间U,其维数等

11

于n-r,其中n是未知量的个数,而r是方程组

矩阵A的秩.如果r

的,且它的基亦称为线性方程组(2)的基本解

组或基本解系.由此产生一系列研究矩阵的

巧妙且高效的方法,其中最简洁易懂且常考

者为:

(1)设A,B均为n阶矩阵,AB=0,则

r(A)+r(B)≤n.

(2)r(ATA)=r(A);

(3)设A是n阶矩阵,则r(An+1)=r(An).

其中包含的”智慧”乃是线性方程组(特

别是齐次方程组)矩阵与线性空间之”三位一

体”,代数与几何之融会贯通.(2)与(3)的证明

的关键在于认识到线性方程组ATAx=0与

Ax=0同解以及An+1x=0与Anx=0同解.对前

者而言,Ax=0的解显然是ATAx=0的解;反之,

若y是ATAx=0的解,则ATAy=0,于是

yTATAy=0;从而(Ay)T(Ay)=0,此即向量Ay的

长等于0，ok.对于后者,由于A=0或A可逆

时结论显然成立,故可设A的秩介于1与n-

1之间,于是A,A2,…,An这n个矩阵必有两个

秩相等，设为As,At,其中s

12

样,r(As)=r(As+1)=…=r(At),于是At-1x=0与

Atx=0同解;由此可证,At+1x=0与Atx=0同解:

设y是At+1x=0的解,即At(Ay)=0,于是Ay是

Atx=0的解,从而也是At-1x=0的解,即At-

1(Ay)=0,故Aty=0.因此,r(At)=r(At+1).归纳法

生效.OK.

反之,对Fn的每一个子空间U,存在一个齐

次线性方程,其解恰好组成U.由一个固定向

量x

0

加上U的每一个向量所得到的向量的

集合Z=x

0

+U称为Fn的线性簇或线性流形(在

一维或二维的情形下,就是直线与平面:当过

原点时,就称为子空间了).在dimU=n-1的情

况下,也称为超平面.一个相容的线性方程组

(1)的所有解组成一个线性簇Z;反之,对任意

的线性簇Z,存在一个相容的方程组,其解恰

好组成该线性簇Z.

13

线性代数（二）矩阵理论

由于矩阵的极端重要性,研究矩阵成为线

性代数的另一个主题(甚至超过线性代数真

正的主人---线性方程组).但这个课题过于庞

大,线性代数选择了其中一个用途较广的分

支,即方阵的幂的计算(因为矩阵的难度就来

自于其乘法).

当阶数较高时,矩阵乘法将变得非常繁杂.

这就需要找出简单的方法.显然,如果能将一

般矩阵和某个对角矩阵联系起来,就有希望

简化计算.在解线性方程组时,我们已经知道,

任意矩阵均可通过初等变换化为较为简单的

形式:

0

00

r

E

PAQ



=





其中P与Q是可逆矩阵,r是A的秩.若A是

方阵,则上式右边的矩阵的任意次幂仍是它

自身,即

0

().

00

r

k

E

PAQ



=





14

或

0

()

00

r

k

E

PAQPAQPAQPAQ



==•••





"

但上式与Ak似乎关系不大,因此，需要进一

步的考察.我们发现,如果上式右边的矩阵P

与Q满足条件QP=E(即Q=P-1),则右边就变

成了PAkQ,此时Ak即呼之欲出了.不过限制

P与Q的关系后,PAQ是否还具有上式左边

的形式呢?由于我们的目的是计算方阵的幂,

这并不需要将方阵化为标准型,对角型就足

够了.于是我们将计算Ak的问题化为另一个

重要的研究课题:

哪些矩阵A可以对角化,即存在可逆矩阵

P使得

P-1AP=D=diag{λ

1

,λ

2

,…,λ

n

}

是对角矩阵?

P-1AP称为与A相似的矩阵.相似是矩阵

的等价关系.

为使A可以对角化,设

P=(α

1

,α

2

,…,α

n

)

注意到P可逆,诸α

i

均非零且线性无关.由于

15

AP=PD,按分块矩阵的乘法可得:

(Aα

1

,Aα

2

,…,Aα

n

)=(λ

1

α

1

,λ

2

α

2

,…,λ

n

α

n

),

于是,

Aα

i

=λ

i

α

i

,i=1,2,…,n.

即

(A-λ

i

E)α

i

=0,i=1,2,…,n.

这样,线性方程组

(A-λ

i

E)x=0,i=1,2,…,n，

均有非零解α

I

,从而系数行列式

|A-λ

i

E|=0，i=1,2,…,n

因此,诸λ

i

，i=1,2,…,n均是代数方程

|A-λE|=0或|λE-A|=0

的根.反之,如果λ是上述方程的根,则线性方

程组(λE-A)x=0就有非0解α,从而可以作为

上述可逆矩阵P的一个列向量.因此上述方

程的根非常重要,这就是矩阵A的特征根或

特征值.而代数方程|λE-A|=0相应的多项式

称为矩阵A的特征多项式.对每个特征根λ

i

,

满足条件Aα

i

=λ

i

α

i

的非零向量α

i

称为A的

属于特征根λ

i

的特征向量.(回忆求多元函数

条件极值的Lagrange乘数法,那里的参数λ

的含义正是此处的特征值!)

16

由于P可逆,故诸特征向量α

i

,i=1,2,…，n

线性无关,从而有下述

定理2.1n阶方阵A可逆⇔A有n个线

性无关的特征向量.

问题由此变为:什么样的方阵有n个线

性无关的特征向量?

注意,相似矩阵具有相同的特征多项式

(但反之不对).设

12

12

||()()()t

n

nn

t

EAλλλλλλλ−=−−−"

其中,n=n

1

+n

2

+…+n

t

,诸根λ

j

是互不相同的,

则A相似于对角矩阵当且仅当对每一个λ

j

，

j=1,2,…,t,r(λ

j

E-A)=n-n

j

.这是因为,属于不

同特征根的特征向量线性无关.

特征值与特征多项式有众多良好的性质

和应用(必考之内容!).

(1)|A|=λ

1

λ

2

…λ

n

,即矩阵的行列式等于特

征值之积;

由此即知,方阵A可逆当且仅当其特征值

均非零.

(2)a

11

+a

22

+…+a

nn

=λ

1

+λ

2

+…+λ

n

;即矩

阵的迹等于其特征值之和;

17

（3）设A有特征值λ,f(x)是一多项式.则f(A)

有特征值f(λ).若A可逆,则A-1有特征值1/λ;

（4）设f(x)是一多项式.若f(A)=0,则A

的任意特征值λ均满足f(λ)=0.

上述几条经常被用来考察对矩阵(尤其是

可逆矩阵等)的理解程度.

例2.1计算行列式

1112131

2122232

3132333

123

n

n

n

nnnnn

abxababab

ababxabab

abababxab

ababababx

+

+

+

+

"

"

"

###%

#"

其中,

1122

0

nn

ababab+++≠".

本题只要对特征多项式有一定认识,则易

如反掌.所求行列式对应的矩阵A=xE+B,其

中B=(a

i

b

j

)的任意两行均成比例,故其秩为

1(最重要的矩阵类型之一)或0,但由题中所

给条件,B≠0,于是,B至少有n-1个特征值为0,

另有一特征值等于trB=a

1

b

1

+a

2

b

2

+…+

18

a

n

b

n

≠0.从而,A有n-1个特征值x,另有一个

特征值x+

例2.2设A为三阶矩阵，X为三维向量，

X，AX，A2X线性无关，A3X=4AX-3A2X。

试计算行列式|2A2+3E|。

很多人觉得此题无从下手,实在冤枉了出

题人.由A3X=2AX-3A2X可知,A（A2+3A-

4E）X=0.由此知,|A|=0:否则,A可

逆,X,AX,A2X将线性相关,矛盾!从而（A2+

3A-4E）X=0:故X是齐次线性方程组

(A2+3A-4E)Y=0的非零解.于是|A2+3A-

4E|=0.故A的三个特征值为0,1,-4.于是

2A2+3E的三个特征值为3,5,35.所以，

|2A2+3E|=3×5×35=525。

至于象已知f(A)=0,求xE+tA的逆矩阵

一类的题目,就更不在话下了.

例2.3设n阶矩阵A满足A2+3A-4E=0,

证明:

(1)r(A-4E)+r(A+E)=n;

(2)A可以对角化;

(3)2A+3E可逆,并求其逆。

特别地，实对称矩阵A一定可以正交对

19

角化(即存在矩阵Q,QTQ=E,使得QTAQ=D),

且其特征根均是实数.这就为一个插曲埋下

了伏笔,即实二次型.

实n元二次齐式

2

1

1,1

(,,)

n

nijijiiiijij

ijniij

fxxaxxaxaxx

≤≤=<

==+∑∑∑"

称为实二次型.一般而言,判断该二次型的基

本性质是相当困难的.比如我们很难判断该

二次型是否恒非负或恒非正?或什么时候正,

什么时候负?但利用矩阵的乘法(确切地说,

利用矩阵的对角化),一切均可迎刃而解.

为此,只须适当调整系数,即可认为a

ij

=a

ji

,

从而

f(x

1

,…,x

n

)=xTAx,

其中A=(a

ij

)是n阶实对称矩

阵,x=(x

1

,x

2

,…,x

n

)T是n个未知元组成的n维

列向量.矩阵A称为二次型的矩阵,其秩称为

二次型的秩.若对未知量的任意非零值,二次

型的值均为正(负,非负,非正),则称二次型以

及其矩阵为正定(负定,半正定,半负定)的.

由于存在正交矩阵Q,使得

QTAQ=D=diag{λ

1

,λ

1

,…,λ

n

},从而可令x=Qy,

20

y=(y

1

,y

2

,…,y

n

)T为新的未知量,则有

f(x

1

,…,x

n

)=xTAx=yTQTAQy=yTDy

=λ

1

y

1

2+λ

2

y

2

2+…+λ

n

y

n

2,

于是交叉项消失了(此称为二次型的标准形

式),从而有结论:

定理2.2二次型f(x

1

,…,x

n

)=xTAx正定(负

定,半正定,半负定)⇔A的特征值均为正(负,

非正,非负).

二次型的标准形式还可进一步化为所谓

规范形式,即令y=Cz,使CTDC=diag{1,…1,-

1,…,-1,0,…,0},则

f(x

1

,…,x

n

)=xTAx=yTDy=zTCTDCz

=z

1

2+z

2

2+…+z

p

2-z

p+1

2-…-z

r

2,

其中r是二次型的秩,p称为二次型的正惯性

指标(就是A的正特征值的个数,按重数计

算),r-p称为负惯性指标(就是矩阵A的负特

征值的个数,按重数计算),2p-r称为符号差.

随同二次型而来的关于矩阵的一个重要

概念是“合同”:数域P上两个n阶矩阵A

与B称为是合同的如果存在P上可逆矩阵

Q使得B=QTAQ.

借助于二次型,容易得出下述结果:

21

定理2.3实对称矩阵A是正定的⇔A合

同于单位矩阵⇔A=MTM,其中M是可逆矩

阵(高矩阵,即列满秩的矩阵即可).