事件域

§1.1随机事件与样本空间

§1.1随机事件与样本空间

随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。

⼀、基本事件与样本空间

对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。例如掷⼀枚硬币，我们关⼼的是出现正⾯还是出现反⾯这

两个可能结果。若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）

四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有

可能结果。

1、基本事件

通常，据我们研究的⽬的，将随机试验的每⼀个可能的结果，称为基本事件。因为随机事件的所有可能结果是明确的，从⽽所

有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反⾯”，“出现正⾯”是两个基本事件，⼜如在掷骰⼦试验中“出现⼀

点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。

2、样本空间

基本事件的全体，称为样本空间。也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常⽤⼤写的希腊字母Ω表⽰，Ω中

的点即是基本事件，也称为样本点，常⽤ω表⽰，有时也⽤A,B,C等表⽰。在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第

⼀步。

例1、⼀盒中有⼗个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取⼀球，观察其标号，令=i{取得球的标号为i}，=i

1,2,3,…,10.则Ω={1,2,3,…,10},=iω{标号为i},=i1,2,3,…,10

1ω,2ω,…,10ω为基本事件（样本点）

例2在研究英⽂字母使⽤状况时，通常选⽤这样的样本空间：Ω={空格，A,B,C,…,X,Y,Z}

例1，例2讨论的样本空间只有有限个样本点，是⽐较简单的样本空间。

例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果⼀定是⾮负整数⽽且很难制定⼀个数为它的上界，这样，可以把样

本空间取为Ω={0,1,2,3,…}

这样的样本空间含有⽆穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。例4讨论某地区的⽓温

时，⾃然把样本空间取为),(+∞-∞=Ω或],[ba=Ω。

这样的样本空间含有⽆穷个样本点，它充满⼀个区间，称它为⽆穷样本空间。

从这些例⼦可以看出，随着问题的不同，样本空间可以相当简单，也可以相当复杂，在今后的讨论中，都认为样本空间是预先

给出定的，当然对于⼀个实际问题或⼀个随机现象，考虑问题的⾓度不同，样本空间也可能选择得不同。

例如：掷骰⼦这个随机试验，若考虑出现的点数，则样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}；若考虑的是出现奇数点还是出现偶数点，则样

本空间Ω={奇数，偶数}。

由此说明，同⼀个随机试验可以有不同的样本空间。

在实际问题中，选择恰当的样本空间来研究随机现象是概率中值得研究的问题。

⼆、随机事件

再看例1样本空间Ω={1,2,3,…,10}下⾯研究这些问题。

A={球的标号为3}，B={球的标号为偶数}，C={球的标号不⼤于5}

其中A为⼀个基本事件，⽽B与C则由基本事件所组成。

例如：B发⽣（出现）必须⽽且只须下列样本点之⼀发⽣2、4、6、8、10，它由五个基本事件组成。同样地，C发⽣必须⽽

且只须下列样本点之⼀发⽣1、2、3、4、5。

⽆论基本事件还是复杂事件，它们在试验中发⽣与否，都带有随机性，所以叫做随机事件或简称为事件，习惯上⽤⼤写英⽂字

母A,B,C等表⽰，在试验中如果出现A中包含了某⼀个基本事件ω，则称作A发⽣，并记作A∈ω。

我们知道，样本空间Ω包含了全体基本事件，⽽随机事件不过是由某些特征的基本事件组成的，从集合论的⾓度来看，⼀个随

机事件不过是样本空间Ω的⼀个⼦集⽽已。

如例1中Ω={1,2,3,…,10}。

显然A,B,C都是Ω的⼦集，它们可以简单的表⽰为A={3},B={2,4,6,8,10}，C=,1,3,5,7,9}

因为Ω是所有基本事件所组成，因⽽在⼀次试验中，必然要出现Ω中的某⼀基本事件Ω∈ω，也就是在试验中Ω必然要发⽣，今

后⽤Ω表⽰⼀个必然事件，可以看成Ω的⼦集。

相应地空集φ，在任意⼀次试验中不能有φω∈，也就是说φ永远不可能发⽣，所以φ是不可能事件，实质上必然事件就是在每

次试验中都发⽣的事件，不可能事件就是在每次试验中都不发⽣的事件，必然事件与不可能事件的发⽣与否，已经失去了“不

确定性”即随机性，因⽽本质上不是随机事件，但为了讨论问题的⽅便，还是将它看作随机事件。

例3⼀批产品共10件，其中2件次品，其余为正品，从中任取3件则A={恰有⼀件正品}，B={恰有两件正品}，C={⾄少有两件正

品}，D{三件中⾄少有⼀件次品}这些都是随机事件

⽽Ω={三件中有正品}为必然事件；φ={3件都是正品}为不可能事件，

对于这个随机试验来说，基本事件总数为3

10C个。

三、事件的关系与运算

对于随机试验⽽⾔，它的样本空间Ω可以包含很多随机事件，概率论的任务之⼀就是研究随机事件的规律，通过对较简单事件

规律的研究在掌握更复杂事件的规律，为此需要研究事件之间和事件之间的关系与运算。

若没有特殊说明，认为样本空间Ω是给定的，且还定义了Ω中的⼀些事件，A,B，iA（=i1,2，…）等，由于随机事件是样本

空间的⼦集，从⽽事件的关系与运算和集合的关系与运算完全相类似。1事件的包含关系

定义：若事件A发⽣必然导致事件B发⽣，则称事件B包含了A，或称A是B的特款，记作BA?或AB?。

⽐如前⾯提到过的A={球的标号,6}，这⼀事件就导致了事件B={球的标号为偶数}的发⽣，因为摸到标号为6的球意味着偶数的

球出现了，所以BA?可以给上述含义⼀个⼏何解释，设样本空间是⼀个正⽅体，A,B是两个事件，也就是说，它们是Ω的⼦

集，“A发⽣必然导致B发⽣”意味着属于A的样本点在B中由

此可见，事件BA?的含义与集合论是⼀致的。

特别地，对任何事件A

Ω?A，A?φ

例3设某种动物从出⽣⽣活⾄20岁记为A，从出⽣到25记为B,则AB?。

2事件的相等

设Ω?BA,,若BA?，同时有AB?，称A与B相等，记为A=B，易知相等的两个事件A,B总是同时发⽣或同时不发⽣，在同⼀

样本空间中两个事件想等意味着它们含有相同的样本点。

3并(和)事件与积(交)事件

定义：设Ω?BA,,称事件“A与B中⾄少有⼀个发⽣”为A和B的和事件或并事件。记作BAU实质上BAU=“A或B发⽣”

AA=ΦU，Ω=ΩUA，AAA=U

BAU

若BA?，则BBA=U，BAAU?，BABU?

例3、

令A={直径不合格}，B={⾼度不合格}

，则BAU={产品不合格}。

推⼴：设n个事件1A,2A,

…,nA，称“1A,2A,…,nA中⾄少有⼀个发⽣”这⼀事件为1A,2A,…,nA的并，记作U1AU2A…nAU或iniA1=U和事件

的概念还可以推⼴到可列个事件的情形。

设Ω?BA,，称“A与B同时发⽣”这⼀事件为A和B的积事件或交事件。记作BA?或BA?显然Φ=Φ?A,Ω=Ω?A,AAA=?,AB

A??,BBA??

若BA?，则ABA=?

如例7中，若C={直径合格}，D={⾼度合格}，则DC?={产品合格}。

推⼴:设n个事件1A,2A,…,nA，称“1A,2A,…,nA同时发⽣”这⼀事件为1A,2A,…,nA的积事件。记作?1A?2A…nA?或

1A2A…nA，或iniA1

=?同样积事件的概念也可以推⼴为可列个事件的情形。

4差事件

定义：设Ω?BA,，称“A发⽣B不发⽣”这⼀事件为A与B的差事件，

记作BA-如例7中BA-={该产品的直径不合格，⾼度合格}，明显地有ABABA-=-，5对⽴事件

定义：称“A-Ω”为A的对⽴事件或称为A的逆事件，记作A。

AAA=?-Φ=-AA

由此说明，在⼀次试验中A与-A有且仅有⼀个发⽣。即不是A发⽣就是-A发⽣。

显然AA=，由此说明A与-A互为逆事件。

Φ=Ω-Ω=Φ--=-BABA

例8、设有100件产品，其中5件产品为次品，从中任取50件产品。

记A={50件产品中⾄少有⼀件次品}，则=-A{50件产品中没有次品}={50件产品全是正品}

由此说明，若事件A⽐较复杂，往往它的对⽴事件⽐较简单，因此我们在求复杂事件的概率时，往往可能转化为求它的对⽴事

件的概率。

6互不相容事件（互斥事件）

定义：若两个事件A与B不能同时发⽣，即Φ=AB，称A与B为互不相容事件（或互斥事件）。

注意：任意两个基本事件都是互斥的。

推⼴：设n个事件1A,2A,…,nA两两互斥，称1A,2A,…,nA互斥（互不相容）。

若A，B为互斥事件，则A，B不⼀定为对⽴事件。但若A，B为对⽴事件，则A、B互斥。

7事件的运算法则

1）交换律ABBAUU=，BAAB=

2）结合律)()(CBACBAUUUU=，)()(BCACAB=

3）分配律)()()(CBCACBA??=?UU，)()()(CBCACBAUUU?=?

4）对偶原则==iniA1UiniA1=?，=?=iniA1iniA1

=U例9设A,B,C为Ω中的随机事件，试⽤A,B,C表⽰下列事件。

1）A与B发⽣⽽C不发⽣CAB-或CAB

2）A发⽣，B与C不发⽣CBA--或CBA

3）恰有⼀个事件发⽣CBA?CBA?CBA

4)恰有两个事件发⽣CAB?CBA?CAB

5)三个事件都发⽣ABC

6)⾄少有⼀个事件发⽣A?B?C或3）4）5）之并

7)A,B,C都不发⽣CBA

8)A,B,C不都发⽣ABC

9)A,B,C不多于⼀个发⽣CBA?CBA?CBA?CBA或CABCAB??

10)A,B,C不多于两个发⽣ABC

例10试验Ｅ：袋中有三个球编号为１.２.３，从中任意摸出⼀球，观察其号码，记Ａ＝{球的号码⼩于3}，Ｂ＝{球的号码为奇

数}，Ｃ＝{球的号码为3}

试问：１）Ｅ的样本空间为什么？２）Ａ与Ｂ，Ａ与Ｃ，Ｂ与Ｃ是否互不相容？

３）Ａ，Ｂ，Ｃ对⽴事件是什么？4）A与B的和事件，积事件，差事件各是什么？

解：设=iω{摸到的球号码为i},=i1,2,3,…,10

1）则Ｅ的样本空间为1{ω=Ω,2ω,3ω}；

2）1{ω=A,2ω}，1{ω=B,3ω}，}{3ω=C，Ａ与Ｂ，Ｂ与Ｃ是相容的，Ａ与Ｃ互不相容；

3）}{3ω=A，}{2ω=B，},{21ωω=C；

4）Ω=?BA，}{1ω=AB，}{2ω=-BA。

四事件域

事件是Ω的⼦集，如果事件的这些⼦集归在⼀起，则得到⼀个类，称作事件域，记作F。即F={AAA,:Ω?为事件}Ω,Φ为事件

∴Ω∈F，Φ∈F

因为我们讨论了事件间的运算“?”“?”和“-”,如果A，B都是事件，即A,B∈F，⾃然要求A?B,A?B,A-B也是事件，因此，若

A∈F，B∈F就要求A?B∈F，A?B∈F，A-B∈F。

⽤集合论的语⾔来说，就是事件域关于运算“?”“?”和“-”是封闭的，

事件域应该满⾜如下要求：

1）Ω∈F；2）若A∈F，则A∈F；3）若iA∈F,i=1,2,3…….n.则in

iA1=U∈F。在集合论中，满⾜上述三条件的集合类称为布尔代数（σ代数）

所以事件域是⼀个布尔代数，对于样本空间Ω，如果F是Ω的⼀切⼦集的全体，那么显然F是⼀个布尔代数。