丙去

绪论

页脚内容17

推理与证明测试题

一、选择题（本题共20道小题，每小题0分，共0分）

1.下列表述正确的是（）

①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；

③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；

⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．

A

．②③④

B

．①③⑤

C

．②④⑤

D

．①⑤

2.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（）

A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理

3.证明不等式（a≥2）所用的最适合的方法是（）

A．综合法B．分析法C．间接证法D．合情推理法

4.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）

A

．有两个内角是钝角

B

．有三个内角是钝角

C

．至少有两个内角是钝角

D

．没有一个内角是钝角

5.已知21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，…，以此类推，第5个等式为

（）

A

．

24×

1

×

3

×

5

×

7=5

×

6

×

7

×

8B

．

25×

1

×

3

×

5

×

7

×

9=5

×

6

×

7

×

8

×

9

C

．

24×

1

×

3

×

5

×

7

×

9=6

×

7

×

8

×

9

×

10D

．

25×

1

×

3

×

5

×

7

×

9=6

×

7

×

8

×

9

×

10

6.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()

①y=cosx（x∈R）是三角函数；

②三角函数是周期函数；

③y=cosx（x∈R）是周期函数．

A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①

7.演绎推理“因为0

'()0fx

时,0

x

是f(x)的极值点.而对于函数

3(),'(0)0fxxf

.所

以0是函数

3()fxx

的极值点.”所得结论错误的原因是

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.大前提和小前提都错误

8.下面几种推理过程是演绎推理的是（）

A．在数列n

a中

11

1

11

1,()(2)

2nn

n

aaan

a



，由此归纳数列

n

a的通项公

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式；

B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；

C．两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则

180AB

D．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人。

9.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假

设是（）

A

．方程

x2+ax+b=0

没有实根

B

．方程

x2+ax+b=0

至多有一个实根

C

．方程

x2+ax+b=0

至多有两个实根

D

．方程

x2+ax+b=0

恰好有两个实根

10.下列说法正确的有（）

（1）用反证法证明：“三角形的内角中至少有一个不大于60”时的假设是“假设三

角形的三个内角都不大于60；

（2）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的充要条件；

（3）用数学归纳法证明

(1)(2)()213(21)nnnnnn····

，从

k

到

1k

，左边需

要增乘的代数式为2（2k+1）；

（4）演绎推理是从特殊到一般的推理，其一般模式是三段论；

A.0个B.1个C.2个D.3个

11.用数学归纳法证明不等式

11113

(2)

12224

n

nnn





时的过程中，由

nk

到

1nk

时，不等式的左边（）

A．增加了一项

1

2(1)k

B．增加了两项

11

212(1)kk





C．增加了两项

11

212(1)kk





，又减少了一项

1

1k

D．增加了一项

1

2(1)k

，又减少了一项

1

1k

12.已知数列、、、、、…根据前三项给

出的规律，则实数对（2a，2b）可能是（）

A

．（，﹣）

B

．（

19

，﹣

3

）

C

．（，）

D

．（

19

，

3

）

13.两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的

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排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是（）

A

．

48

，

49B

．

62

，

63C

．

75

，

76D

．

84

，

85

14.把3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一

个正三角形(如下图)，试求第六个三角形数是()

A．27B．28C．29D．30

15.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．

甲说：我在1日和3日都有值班;

乙说：我在8日和9日都有值班；

丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是()

A、2日和5、5日和6日C、6日和11日D、2日和11日

16.下面使用类比推理正确的是（）

A

．直线

a

∥

b

，

b

∥

c

，则

a

∥

c

，类推出：向量，则

B

．同一平面内，直线

a

，

b

，

c

，若

a

⊥

c

，

b

⊥

c

，则

a

∥

b

．类推出：空间中，直线

a

，

b

，

c

，若

a

⊥

c

，

b

⊥

c

，则

a

∥

b

C

．实数

a

，

b

，若方程

x2+ax+b=0

有实数根，则

a2≥

4b

．类推出：复数

a

，

b

，若方程

x2+ax+b=0

有实数根，则

a2≥

4b

D

．以点（

0

，

0

）为圆心，

r

为半径的圆的方程为

x2+y2=r2．类推出：以点（

0

，

0

，

0

）为

球心，

r

为半径的球的方程为

x2+y2+z2=r2

17.已知,猜想

的表达式

A.B.C.D.

18.已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则

”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若

△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=（）

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A

．

1B

．

2C

．

3D

．

4

19.将正奇数按照如卞规律排列，则2015所在的列数为

20.已知整数的数对列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），

（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），…则第60个

数对是()

A

．（

3

，

8

）

B

．（

4

，

7

）

C

．（

4

，

8

）

D

．（

5

，

7

）

二、填空题（本题共10道小题，每小题0分，共0分）

21.观察下列等式

2

3

(11)21

(21)(22)213

(31)(32)(33)2135







……

照此规律，第

n

个等式可为．

22.有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数f（x），如果f′（x

0

）=0，那么x=x

0

是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0是函

数f（x）=x3的极值点．”以上推理中

（1）大前提错误（2）小前提错误（3）推理形式正确（4）结论正确

你认为正确的序号为_________．

23.给出下列三个类比结论：

①若a，b，c，d∈R，复数a+bi=c+di，则a=c，b=d，类比推理出：若a，b，c，d∈Q，

a+b=c+d，则a=c，b=d；

②已知直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，类比推理出，已知向量，若

，，则；

③同一平面内，a，b，c是三条互不相同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，类比推理

出：空间中，α，β，γ是三个互补相同的平面，若α∥β，β∥γ，则α∥γ．

其中正确结论的个数是．

24.甲、乙、丙、丁四人商量去看电影．

甲说：乙去我才去；

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乙说：丙去我才去；

丙说：甲不去我就不去；

丁说：乙不去我就不去．

最后有人去看电影，有人没去看电影，去的人是．

25.甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否游览过西岳华山时，回答如下：甲说：我没有

去过；乙说：丙游览过；丙说：丁游览过；丁说：我没游览过．在以上的回答中只有一人

回答正确且只有一人游览过华山．根据以上条件，可以判断游览过华山的人是．

26.在△ABC中，D为BC的中点，则=（+）将命题类比到空间：在三棱锥A

﹣BCD中，G为△BCD的重心，则=．

27.在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则

AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面

积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两

两互相垂直，则．”

28.二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中球

的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3；四维空间中“超球”的三维测度

V=8πr3，则猜想其四维测度W=．

29.在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S

1

，外接圆面积为S

2

，

则，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为

V

1

，外接球体积为V

2

，则=．

30.一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中●表示实圆，○表示空心圆）：

●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○

若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前2003个圆中，有个空心

圆．

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三、解答题（本题共2道小题,第1题0分,第2题0分,共0分）

31.已知数列







,

)12)(12(

1

,,

75

1

,

53

1

,

31

1

nn

，计算

321

,,SSS，根据计算结

果，猜想

n

S的表达式，并用数学归纳法给出证明.

32.一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四

步时对应的图案，按照如此规律，第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为

fn

．

①②③④

（1）求出

2f

，

3f

，

4f

，

5f

的值；

（2）利用归纳推理，归纳出

1fn

与

fn

的关系式；

（3）猜想

fn

的表达式，并写出推导过程．

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试卷答案

1.B

考点：归纳推理；演绎推理的意义

2.A

【考点】演绎推理的基本方法．

【分析】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看

他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出

“

三段论

”

的三个组成部分．

【解答】解：在推理过程

“

所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电

”

中

所有金属都能导电，是大前提

铁是金属，是小前提

所以铁能导电，是结论

故此推理为演绎推理

故选

A

【点评】演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论

推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合

M

的所有元素都具有性质

P

，

S

是

M

的子

集，那么

S

中所有元素都具有性质

P

．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大

前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个

判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．

3.B

【分析】欲比较的大

小，只须比较，先分别求出左

绪论

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右两式的平方，再比较出两平方式的大小．从结果来找原因，或从原因推导结果，证明不

等式所用的最适合的方法是分析法．

【解答】解：欲比较

的大小，

只须比较，

（）2=2a﹣1+2，

（）2=2a﹣1+，

只须比较，的大小，

以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法．

故选B．

【点评】本题考查的是分析法和综合法，解答此题的关键是熟知比较大小的方法．从

求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件，分析

法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方

法．也称为因果分析

4.C

【考点】反证法与放缩法．

【分析】写出命题

“

三角形中最多只有一个内角是钝角

”

的结论的否定即可

【解答】解：命题

“

三角形中最多只有一个内角是钝角

”

的结论的否定是

“

至少有两个内

角是钝角

”

故选

C

．

5.D

【考点】类比推理．

【分析】根据已知可以得出规律，即可得出结论．

【解答】解：∵

21×

1=2

，

22×

1

×

3=3

×

4

，

23×

1

×

3

×

5=4

×

5

×

6

，

…

，

∴第

5

个等式为

25×

1

×

3

×

5

×

7

×

9=6

×

7

×

8

×

9

×

10

故选：

D

6.B

【考点】演绎推理的基本方法．

【专题】规律型；推理和证明．

【分析】根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”⇒“结论”，分析即可得到正确

的次序．

绪论

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解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：

①y=cosx（（x∈R）是三角函数是“小前提”；

②三角函数是周期函数是“大前提”；

③y=cosx（（x∈R）是周期函数是“结论”；

故“三段论”模式排列顺序为②①③

故选B

【点评】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法：大前提一定是一个一般性的结

论，小前提表示从属关系，结论是特殊性结论．

7.A

8.C

9.A

【考点】反证法与放缩法．

【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．

【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，

∴用反证法证明命题

“

设

a

，

b

为实数，则方程

x2+ax+b=0

至少有一个实根

”

时，要做的假

设是方程

x2+ax+b=0

没有实根．

故选：

A

．

10.B

11.C

12.D

【考点】归纳推理．

【分析】由已知中数列，可得数列各项的分母是

2n

，分子是，进而得到

答案．

【解答】解：由已知中数列、、、、

、

…

根据前三项给出的规律，

可得：

a

﹣

b=8

，

a+b=11

，

解得：

2a=19

，

2b=3

，

绪论

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故实数对（

2a

，

2b

）可能是（

19

，

3

），

故选：

D

13.D

【考点】进行简单的合情推理．

【分析】本题考查的知识点是归纳推理，分析已知图形中座位的排列顺序，我们不难

发现座位排列的规律，即被

5

除余

1

的数，和能被

5

整除的座位号临窗，由于两旅客希望座

位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的

4

组座位号，不难判断正确的答案．

【解答】解：由已知图形中座位的排列顺序，

可得：被

5

除余

1

的数，和能被

5

整除的座位号临窗，

由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，

分析答案中的

4

组座位号，

只有

D

符合条件．

故选

D

14.B

试题分析：原来三角形数是从3开始的连续自然数的和．

3是第一个三角形数，

6是第二个三角形数，

10是第三个三角形数，

15是第四个三角形数，

21是第五个三角形数，

28是第六个三角形数，

…

那么，第六个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28

考点：数列的应用

15.C

提示：1~12日期之和为78，三人各自值班的日期之和相等，故每人值班四天的日期之

和是26，甲在1日和3日都有值班，故甲余下的两天只能是10号和12号；而乙在8日和9

日都有值班，8+9=17，所以11号只能是丙去值班了。余下还有2号、4号、5号、6号、7号

五天，显然，6号只可能是丙去值班了。

16.D

绪论

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【考点】类比推理．

【分析】本题考查的知识点是类比推理，我们根据判断命题真假的办法，对四个答案

中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案．

【解答】解：对于

A

，

=

时，不正确；

对于

B

，空间中，直线

a

，

b

，

c

，若

a

⊥

c

，

b

⊥

c

，则

a

∥

b

或

a

⊥

b

或相交，故不正确；

对于

C

，方程

x

0

2+ix

0

+

（﹣

1

±

i

）

=0

有实根，但

a2≥

4b

不成立，故

C

不正确；

对于

D

，设点

P

（

x

，

y

，

z

）是球面上的任一点，由

|OP|=r

，得

x2+y2+z2=r2，故

D

正确．

故选：

D

．

17.B

本题主要考查的是等差数列的性质和函数解析式的求法

,

意在考查学生分析问题和解决

问题的能力

.

由可得所以是为公差的等差数列,所以

,又所以即.故选B.

18.C

【考点】类比推理．

【专题】计算题．

【分析】类比平面几何结论，推广到空间，则有结论：

“=3”

．设正四面体

ABCD

边长为

1

，易求得

AM=

，又

O

到四面体各面的距离都相等，所以

O

为四面体的内切

球的球心，设内切球半径为

r

，则有

r=

，可求得

r

即

OM

，从而可验证结果的正确

性．

【解答】解：推广到空间，则有结论：

“=3”

．

设正四面体

ABCD

边长为

1

，易求得

AM=

，又

O

到四面体各面的距离都相等，

所以

O

为四面体的内切球的球心，设内切球半径为

r

，

绪论

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则有

r=

，可求得

r

即

OM=

，

所以

AO=AM

﹣

OM=

，所以

=3

故答案为：

3

【点评】本题考查类比推理、几何体的结构特征、体积法等基础知识，考查运算求解

能力，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．

19.D

20.D

考点：归纳推理．

专题：计算题；规律型；推理和证明．

分析：根据括号内的两个数的和的变化情况找出规律，然后找出第

60

对数的两个数的

和的值以及是这个和值的第几组，然后写出即可．

解答：解：（

1

，

1

），两数的和为

2

，共

1

个，

（

1

，

2

），（

2

，

1

），两数的和为

3

，共

2

个，

（

1

，

3

），（

2

，

2

），（

3

，

1

），两数的和为

4

，共

3

个，

（

1

，

4

），（

2

，

3

），（

3

，

2

），（

4

，

1

），两数的和为

5

，共

4

个

…

∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

，

∴

第

60

个数对在第

11

组之中的第

5

个数，从而两数之和为

12

，应为（

5

，

7

）．

故选

D

．

点评：本题是对数字变化规律的考查，规律比较隐蔽，观察出括号内的两个数的和的

变化情况是解题的关键．

21.)12(5312)()3)(2)(1(nnnnnnn

试题分析：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等

式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含

有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：

绪论

页脚内容17

（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），

每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与

奇数的个数等于左边的括号数，

由此可知第n个等式的右边为2n•1•3•5…（2n-1）．

所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n-1）．

故答案为)12(5312)()3)(2)(1(nnnnnnn

考点：归纳推理

22.（1）（3）

23.①③

考点：类比推理．

专题：计算题；推理和证明．

分析：对3个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答：解：①在有理数集Q中，若a+b=c+d，则（a﹣c）+（b﹣d）=0，易

得：a=c，b=d．故正确；

②=，满足，，但不一定成立，故不正确；

③同一平面内，a，b，c是三条互不相同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，类比推理

出：空间中，α，β，γ是三个互不相同的平面，若α∥β，β∥γ，则α∥γ．正

确．

故答案为：①③．

点评：本题考查类比推理，考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，比

较基础．

24.甲乙丙

考点：进行简单的合情推理．

专题：探究型；推理和证明．

分析：由题意，丙去，则甲乙去，丁不去，即可得出结论．

解答：解：由题意，丙去，则甲乙去，丁不去，符合题意

故答案为：甲乙丙．

点评：本题考查进行简单的合情推理，比较基础．

25.甲

考点：进行简单的合情推理．

专题：综合题；推理和证明．

分析：假设甲去过，则甲乙丙说的都是假话，丁说的是真话，符合题意．

绪论

页脚内容17

解答：解：假设甲去过，则甲乙丙说的都是假话，丁说的是真话，符合题意．所

以填甲去过．

故答案为：甲．

点评：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

26.

（++）

考点：类比推理．

专题：综合题；推理和证明．

分析：由条件根据类比推理，由“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”，“中点”类比“重

心”，从而得到一个类比的命题．

解答：解：由“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”，“中点”类比“重心”有，

由类比可得在四面体A﹣BCD中，G为△BCD的重心，则有=

（++），

故答案为：在四面体A﹣BCD中，G为△BCD的重心，则有=

（++）．

点评：本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理．利用类比推理可以得

到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对

象的结论，属于基础题．

27.S△ABC

2+S△ACD

2+S△ADB

2=S△BCD

2

【考点】类比推理．

【分析】从平面图形到空间图形的类比

【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：

S

△

ABC

2+S△

ACD

2+S△

ADB

2=S△

BCD

2．

故答案为：

S

△

ABC

2+S△

ACD

2+S△

ADB

2=S△

BCD

2．

28.2πr4

【考点】类比推理．

绪论

页脚内容17

【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，

从而得到

W′=V

，从而求出所求．

【解答】解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）

l=2πr

，二维测度（面积）

S=πr2，观

察发现

S′=l

三维空间中球的二维测度（表面积）

S=4πr2，三维测度（体积）

V=πr3，观察发现

V′=S

∴四维空间中

“

超球

”

的三维测度

V=8πr3，猜想其四维测度

W

，则

W′=V=8πr3；

∴

W=2πr4；

故答案为：

2πr4

29.

【考点】类比推理．

【分析】平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面

体的外接球和内切球的半径之比是

3

：

1

，从而得出正四面体

P

﹣

ABC

的内切球体积为

V

1，

外接球体积为

V

2之比．

【解答】解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，

可得如下结论：正四面体的外接球和内切球的半径之比是

3

：

1

故正四面体

P

﹣

ABC

的内切球体积为

V

1，外接球体积为

V

2之比等于

==

．

故答案为：．

【点评】主要考查知识点：类比推理，简单几何体和球，是基础题．

30.446

31.解：

7

3

75

1

53

1

31

1

,

5

2

53

1

31

1

,

3

1

321





















SSS……………2分

绪论

页脚内容17

12



n

n

S

n

猜想……………………………………………………………………4分

以下用数学归纳法证明这个猜想

时那么当1kn

1)1(2

1

)32)(12(

)12)(1(

)32)(12(

132

)32)(12(

1

12)32)(12(

1

2

1k

































k

k

kk

kk

kk

kk

kkk

k

kk

SS

k

时猜想也成立1kn……………………………………………………11分

成立）可知猜想对任意）（由（*21Nn………………………………12分

32.

（1）图①中只有一个小正方形，得f（1）=1；

图②中有3层，以第3层为对称轴，有1+3+1=5个小正方形，得f（2）=5；

图③中有5层，以第3层为对称轴，有1+3+5+3+1=13个小正方形，得f（3）=13；

图④中有7层，以第4层为对称轴，有1+3+5+7+5+3+1=25个小正方形，得f（4）

=25；

图⑤中有9层，以第5层为对称轴，有1+3+5+7+9+7+5+3+1=41个小正方形，得f（5）

=41；

（2）∵f（1）=1；f（2）=5；f（3）=13；f（4）=25；f（5）=41；

∴f（2）-f（1）=4=4×1；

∴f（3）-f（2）=8=4×2；

∴f（4）-f（3）=12=4×3；

∴f（5）-f（4）=16=4×4；

…

∴f（n）-f（n-1）=4×（n-1）=4n-4．

∴f（n+1）与f（n）的关系式：f（n+1）-f（n）=4n．

（3）猜想f（n）的表达式：2n2-2n+1．

由（2）可知

f（2）-f（1）=4=4×1；

f（3）-f（2）=8=4×2；

绪论

页脚内容17

f（4）-f（3）=12=4×3；

f（5）-f（4）=16=4×4；

…

∴f（n）-f（n-1）=4×（n-1）=4n-4．

将上述n-1个式子相加，得f（n）=4（1+2+3+4+…+（n-1））

=4×

=2n2-2n+1．

f（n）的表达式为：2n2-2n+1．