第二数学归纳法

数学归纳法

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1、数学归纳法的原理及应用.

2、数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系.

一、数学归纳法：

数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法,在高等数学中有着重要的用途,因而

成为高考的热点之一。近几年的高考试题,不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论,而且加强

了对于不完全归纳法应用的考查,既要求归纳发现结论,又要求能证明结论的正确性,因此,初步

形成“观察—－归纳—－猜测—－证明〞的思维模式,就显得特别重要。

一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按以下步骤进行：

〔1〕〔归纳奠基〕证明当n取第一个值n=n0时命题成立；

〔

2

〕〔归纳递推〕假设

n=k

〔〕时命题成立

,

证明当时命题也成立。

只要完成这两个步骤

,

就可以断定命题对从开始的所有正整数

n

都成立。上述证明方法叫做

数学归纳法。

数学归纳法是推理逻辑

,

它的第一步称为奠基步骤

,

是论证的根底保证

,

即通过验证落实传递

的起点

,

这个根底必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤

,

是命题具有后继传递性的保证

,

即只要

命题对某个正整数成立

,

就能保证该命题对后继正整数都成立

,

两步合在一起为完全归纳步骤

,

称

为数学归纳法

,

这两步各司其职

,

缺一不可

,

特别指出的是

,

第二步不是判断命题的真伪

,

而是证明

命题是否具有传递性

,

如果没有第一步

,

而仅有第二步成立

,

命题也可能是假命题。

题型一、用数学归纳法证明恒等式

例1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n3=

4

1

n2〔n＋1〕2

证明：①当n=1时,左边=13=1,右边=1111

4

1

2

2,

故等式成立．

②假设n=k〔Nk,且k≥1〕时等式成立。

即13＋23＋33＋…＋k3＋=

4

1

k2(k+1)2成立．

那么当n=k＋1时,13＋23＋33＋…＋k3＋(k+1)3

=322)1()1(

4

1

kkk

=)1(4)1(

4

1

22kkk2211

4

1

kk

221)1(1

4

1

kk

．

即当n=k＋1时等式也成立．

综合①,②,对一切Nn,等式都成立．

题型二、用数学归纳法证明不等式

例2、归纳法证明









3

1

2

1

1

1

nnn

…

n3

1

＞

10

9

〔n＞1,且Nn〕．

证明：①n=2时,左边=

20

19

6

1

5

1

4

1

3

1

＞

10

9

=右边,不等式成立.

②假设n=k〔Nk,k≥2〕时不等式成立,

即





2

1

1

1

kk

…

k3

1

＞

10

9

成立．

那么当n=k＋1时,







3

1

2

1

kk

…

k3

1



13

1





k

33

1

23

1









kk

=〔





2

1

1

1

kk

…

k3

1

〕＋〔

13

1

k

33

1

23

1









kk

－

1

1

k

〕＞

10

9

＋

〔

13

1

k

33

1

23

1









kk

－

1

1

k

〕

＞

10

9

＋〔

33

1

k

33

1

33

1









kk

－

1

1

k

〕

=

10

9

即当n=k＋1时不等式也成立．

综合①,②,对一切大于1的自然数n,不等式都成立．

题型三、用数学归纳法证明几何问题

例4．平面内有n

)(*Nn个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n

个圆把平面分成22nn个局部.

题型四、用数学归纳法证明整除问题

例4、用数学归纳法证明32n＋2－8n－9Nn能被64整除．

证明：①当n=1时,32＋2－8×1－9=64显然能被64整除,命题成立．

②假设n=k〔k≥1,Nk〕时命题成立．

即32k＋2－8k－9能被64整除．那么当n=k＋1时,

32〔k＋1〕＋2－8〔k＋1〕－9=9·32k＋2－8k－8－9

=9〔32k＋2－8k－9〕＋64k＋64．

∵32k＋2－8k－9与64均能被64整除,

∴32〔k＋1〕＋2－8〔k＋1〕－9能被64整除．

即当n=k＋1时命题也成立．

综合①,②,对一切Nn,32n＋2－8n－9能被64整除．

题型五归纳、猜测、证明

例8：是否存在常数a,b,c使等式

对一切自然数n都成立,并证明你的结

论。

分析：可先把条件式对分别列出方程,试求a,b,c值,再用数学归纳法证明。

解：假设存在a,b,c使题设等式成立,那么令得到下面方程组：

解得

下面用数学归纳法证明当时,题设等式成立,即有：

①

〔1〕当时,①式成立

〔2〕假设成立,即：

那么当时

故当时①式成立。

综上,可知当时,等式成立。

一、选择题

1．用数学归纳法证明1＋

1

2

＋

1

3

＋…＋

1

2n－1

1)时,第一步应验证不等式()

A．1＋

1

2

<2

B．1＋

1

2

＋

1

3

＜2

C．1＋

1

2

＋

1

3

＜3

D．1＋

1

2

＋

1

3

＋

1

4

＜3

[答案]B

[解析]∵n∈N*,n＞1,∴n取第一个自然数为2,左端分母最大的项为

1

22－1

＝

1

3

,应选B.

2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝

1－an＋2

1－a

(n∈N*,a≠1),在验证n＝1时,左边所得的

项为()

A．1

B．1＋a＋a2

C．1＋a

D．1＋a＋a2＋a3

[答案]B

[解析]因为当n＝1时,an

＋

1＝a2,所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.

3．设f(n)＝

1

n＋1

＋

1

n＋2

＋…＋

1

2n

(n∈N*),那么f(n＋1)－f(n)等于()

A.

1

2n＋1

B.

1

2n＋2

C.

1

2n＋1

＋

1

2n＋2

D.

1

2n＋1

－

1

2n＋2

[答案]D

[解析]f(n＋1)－f(n)

＝













1

(n＋1)＋1

＋

1

(n＋1)＋2

＋…＋

1

2n

＋

1

2n＋1

＋

1

2(n＋1)

－













1

n＋1

＋

1

n＋2

＋…＋

1

2n

＝

1

2n＋1

＋

1

2(n＋1)

－

1

n＋1

＝

1

2n＋1

－

1

2n＋2

.

4．某个命题与自然数n有关,假设n＝k(k∈N*)时,该命题成立,那么可推得n＝k＋1时该命题

也成立．现在当n＝5时,该命题不成立,那么可推得()

A．当n＝6时该命题不成立

B．当n＝6时该命题成立

C．当n＝4时该命题不成立

D．当n＝4时该命题成立

[答案]C

[解析]原命题正确,那么逆否命题正确．故应选C.

5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn＋yn能被x＋y整除〞,在第二步的证明时,正

确的证法是()

A．假设n＝k(k∈N*),证明n＝k＋1时命题也成立

B．假设n＝k(k是正奇数),证明n＝k＋1时命题也成立

C．假设n＝k(k是正奇数),证明n＝k＋2时命题也成立

D．假设n＝2k＋1(k∈N),证明n＝k＋1时命题也成立

[答案]C

[解析]∵n为正奇数,当n＝k时,k下面第一个正奇数应为k＋2,而非k＋1.故应选C.

6．凸n边形有f(n)条对角线,那么凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()

A．f(n)＋n＋1

B．f(n)＋n

C．f(n)＋n－1

D．f(n)＋n－2

[答案]C

[解析]增加一个顶点,就增加n＋1－3条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,故f(n＋1)

＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.

7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*,都有2n>n2－2〞这一命题,证明过程中应验证()

A．n＝1时命题成立

B．n＝1,n＝2时命题成立

C．n＝3时命题成立

D．n＝1,n＝2,n＝3时命题成立

[答案]D

[解析]假设n＝k时不等式成立,即2k>k2－2,

当n＝k＋1时2k

＋

1＝2·2k>2(k2－2)

由2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0

⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3,因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.

8．f(n)＝(2n＋7)·3n＋9,存在自然数m,使得对任意n∈N*,都能使m整除f(n),那么最大的m的

值为()

A．30

B．26

C．36

D．6

[答案]C

[解析]因为f(1)＝36,f(2)＝108＝3×36,f(3)＝360＝10×36,所以f(1),f(2),f(3)能被36整除,推

测最大的m值为36.

9．数列{a

n

}的前n项和S

n

＝n2a

n

(n≥2),而a

1

＝1,通过计算a

2

、a

3

、a

4

,猜测a

n

＝()

A.

2

(n＋1)2

B.

2

n(n＋1)

C.

2

2n－1

D.

2

2n－1

[答案]B

[解析]由S

n

＝n2a

n

知S

n＋1

＝(n＋1)2a

n＋1

∴S

n＋1

－S

n

＝(n＋1)2a

n＋1

－n2a

n

∴a

n＋1

＝(n＋1)2a

n＋1

－n2a

n