指数运算公式大全

指数运算

1．整数指数幂的概念

*)(Nnaaaaa

an

n





个

)0(10aa

*),0(

1

Nna

a

a

n

n

2．运算性质：

)()(

),()(

),(

Znbaab

Znmaa

Znmaaa

nnn

mnnm

nmnm







3．注意

①nmaa可看作nmaa∴nmaa=nmaa=nma

②n

b

a

)(可看作nnba∴n

b

a

)(=nnba=

n

n

b

a

根式：

⑴计算

①23=9，则3是9的平方根；②3)5(=－125，则－5是－125的立方根；③

若46=1296，则6是1296的4次方根；④57.3=693.43957，则3.7是693.43957

的5次方根.

⑵定义：一般地，若*),1(Nnnaxn则x叫做a的n次方根。na叫做根式，n

叫做根指数，a叫做被开方数

⑶性质：

①当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数

记作：

nax

②当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）

记作：

nax

算数平方根为非负数，

nax

③负数没有偶次方根，

④0的任何次方根为0

⑷常用公式

根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式：

①当n为任意正整数时，(na)n=a.例如，(327)3=27，(532)5=-32.

②当n为奇数时，n

na=a；当n为偶数时，n

na=|a|=











)0(

)0(

aa

aa

.

例如，3

3)2(=-2，5

52=2；4

43=3，2)3(=|-3|=3.

⑶根式的基本性质：n

m

np

mpaa，（a0）.

注意，⑶中的a0十分重要，无此条件则公式不成立.例如3

6

28)8(

.

用语言叙述上面三个公式：⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.

⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n

次方根是a的绝对值.

⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开

方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.

讲解例题：

例1求值

①3

3)8(

；②2)10(

；③4

4)3(

；④

)()(2baba

.

例2求值：

6

3125.132)2(

;246347625)1(





整数指数幂的运算性质：

)()(

),()(

),(

Znbaab

Znmaa

Znmaaa

nnn

mnnm

nmnm







正数的正分数指数幂的意义

n

m

n

m

aa(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)

要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进

行互化.

另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.

2.规定：(1)

n

m

n

m

a

a

1



(a＞0，m,n∈N*,且n＞1)

(2)0的正分数指数幂等于0.

(3)0的负分数指数幂无意义.

规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整

数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算

性质.

有理指数幂的运算性质:

)()(

),()(

),(

Qnbaab

Qnmaa

Qnmaaa

nnn

mnnm

nmnm







说明：若a＞0，P是一个无理数，则pa表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算

性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明从略.

例题：

例1求值：4

3

3

2

1

3

2

)

81

16

(,)

4

1

(,100,8





.

例2化简

3

2

3

4[(5)]的结果是（）

A．5B．5C．5D．无意义

例3计算：

2

1

5.1

3

2

4

1

.64

49

)

9

1

(270001.0

















例4.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)

(1)4

3aa（２）aaa（３）3

2)(ba

例5计算下列各式（式中字母都是正数）

.))(2(

);3()6)(2)(1(

8

8

3

4

1

6

5

6

1

3

1

2

1

2

1

3

2

nm

bababa

练习：计算下列各式

1、

)

6

5

)(

4

1

(

5

6

1

3

1

2

1

1

2

1

3

2







yxyx

yx

2、6

312

2

3

32

3、

1

20.750

3

111

(0.064)()16()

23

22





4、

5、

2

1

2

1

12

mm

mm









6、已知x+x-1=3,求下列各式的值：

.)2(,)1(2

3

2

3

2

1

2

1

xxxx

7．比较大小：2,3,535