三维列向量

线性代数拾遗（⼀）：线性⽅程组、向量⽅程和矩阵⽅程

前⾔

线性代数在各⼤理⼯科，乃⾄经济⾦融领域的使⽤之⼴泛，⽏庸置疑。⼀直以来，我虽也知道线性代数的重要，但从内

⼼上其实⼀直是犯怵的（尤其是学习论⽂、算法中，基本只要看到对⽅把算法向量化之后就蒙圈了），当年在学校学习

过程中很多也是靠着死记硬背过来的，对它的直观意义⼀直都没能有很好的理解。

最近，这么⼀本书进⼊了我的视线：《线性代数及其应⽤》，听书名感觉平平，但只翻了⼏页就感觉⼗分过瘾，仿佛打

通了任督⼆脉。以往很多死记硬背的知识点在这本书的解释下，变成了可以直观推导出来的结果。这本书不仅对线性代

数的基本概念阐述地很直观形象，⽽且还有许多现实⽣活中的应⽤，特别是经济、物理、计算机领域，真正让⼈领略到

线性代数作为现代数学的魅⼒。

我特将⾃⼰的读书总结和体会记录于此，也是希望借此加深⾃⼰的理解。

注意，这个系列假设你已经有了线性代数基础，像是⾏变换、将矩阵转换为⾏阶梯形式这种基本技巧已经掌握。本⽂不

再赘述具体操作步骤，主要关注于概念的直观理解。

线性⽅程组、向量⽅程和矩阵⽅程

⼀、线性⽅程组

线性代数，最基本的问题，就是解线性⽅程组了。线性⽅程组就是⼀组形如

a1x1+a2x2+⋯+anxn=ba1x1+a2x2+⋯+anxn=b的⽅程。⼀个线性⽅程组中的变量是相同的，如果第⼀个⽅程是关于

x1⋯xnx1⋯xn的，那么其他的也都应该如此（这些变量不⼀定都出现，因为系数可以有0）。###1.1线性⽅程组的矩

阵形式⽅程组

可以通过増⼴矩阵形式描述：

增⼴矩阵去掉最后⼀列，就是该⽅程组的系数矩阵。

矩阵形式只是线性⽅程组的⼀种表⽰形式。今后的很多关于线性⽅程组的计算，都将在矩阵形式上进⾏操作，然⽽你也

需要知道，在这些操作进⾏的同时，线性⽅程组也在进⾏类似的变换。⽐如，将增⼴矩阵的第⼀、⼆⾏对换，那么同

时，它所代表的线性⽅程组中，第⼀、⼆个⽅程也进⾏了对调。

1.2线性⽅程组的解

解⼀个线性⽅程组，就是通过对其矩阵形式⾏变换（三种⽅式：交换⽅程的先后顺序，⼀个⽅程左右同乘以某数，和两

个⽅程相加）转换为⾏阶梯形式。⽐如

上⾯最简形式的矩阵对应的线性⽅程组是

这个线性⽅程组和⼀开始的⽅程组是等价的，只是处于不同的状态，它们的解也是相同的，⽽显然⾏最简形式的⽅程组

最容易解，所以我们⼀般都将线性⽅程组的増⼴矩阵转化为⾏最简形式继⽽求解。

1.3解的存在性和唯⼀性

还记得线性代数时经常讨论的“⽆解““唯⼀解”“⽆穷多解”吧？

还记得线性代数时经常讨论的“⽆解““唯⼀解”“⽆穷多解”吧？

⾸先来看刚才的⽅程组，经过⾏变换后，⽅程组的解已经很显然了：。这个⽅程组的解就只有⼀个，是唯⼀解。

1.3.1⽆解

我们再来看⼀个⽅程组：

它的增⼴矩阵

变换后的矩阵所对应的⽅程组为

显然，第三个⽅程是⽆解的。对⽐这个⽅程组和它对应的增⼴矩阵，我们可以发现，当增⼴矩阵的⾏阶梯形式存在形式

的⾏时，⽅程组⽆解。

1.3.2有解

当增⼴矩阵变换为⾏阶梯形式后，不存在形式的⾏，则说明⽅程有解。我们接下来讨论下它的解具体会是怎么样的。

假设现在有这样⼀个已经化为⾏最简形式的增⼴矩阵：

这个矩阵有4列，故⽽有3个变量。相对应的⽅程组为：

观察这个⽅程组，x1和x2只存在于⼀个⽅程中（对应⾏最简形式中的主元位置），x3存在于两个⽅程中。那么我们可

以通过x3来表⽰x1和x2：

上⾯列出来的实际上就是这个⽅程组的解集了。x1和x2被称为“基本变量”；x3被称为“⾃由变量”，因为它在解集⾥不受

任何约束，⽽基本变量需要⾃由变量来表⽰；也就是说，⾃由变量确定了⼀个值，基本变量也就随之确定了⼀个值。上

⾯这个解集形式也被称为⽅程组的“通解”，因为它给出了⽅程组所有解的显⽰表⽰。

需要注意的是，我们需要先将增⼴矩阵变换为⾏最简形式，才能知道谁是⾃由变量，谁是基本变量。

因为⾃由变量能取任意值，所以，存在⾃由变量的线性⽅程组有⽆穷多解，⽽没有⾃由变量的线性⽅程组则只有⼀个唯

⼀解（就像本⽂第⼀个⽅程组那样）。

总结⼀下：

•当增⼴矩阵的⾏阶梯形式（当然⾏最简形式也可以）存在形式时，⽅程组⽆解；

•当增⼴矩阵的⾏最简形式不存在⾃由变量时，⽅程组有唯⼀解；

•当增⼴矩阵的⾏最简形式存在⾃由变量时，⽅程组有⽆穷多解；

⼆、向量⽅程

n维空间中的点可⽤n维向量表⽰。

向量之间可以线性组合：

那么，假如有三个向量：，想要知道b是否能通过a1和a2线性表⽰，实际上就是求线性⽅程x1a1+x2a2=b是否有解

的问题。

把这个⽅程展开来看，就是：

等同于

和

所以这个问题其实和⼀个线性⽅程组是等价的，这个线性⽅程组对应的増⼴矩阵就是

（）：

化简为⾏最简形式就是：

可以看出，这个线性⽅程组的解为和。继⽽我们就知道了b和a1,a2的关系：

我们反过来回顾这⼀过程，可以发现，之前我们线性⽅程组的的增⼴矩阵表⽰形式，其实也可以看做是列向量组成的形

式，在这个例⼦中，增⼴矩阵可以表⽰为

。把增⼴矩阵按列拆开看，我们就可以得到线性⽅程组的向量⽅程表⽰形式。

向量⽅程是线性⽅程组另⼀种重要的表现形式，它能帮助我们将矩阵、线性⽅程组的抽象概念同⼏何的直观联系起来。

在⼏何中，n个向量v1,v2,⋯,vp的所有线性组合成为⼀个空间，称作由v1,v2,⋯,vpv1,v2,⋯,vp张成的的⼦空间，记作

⼀个向量张成的空间是⼀根直线，两个向量张成的空间是⼀个平⾯。

三、矩阵⽅程

向量的线性组合可以看作向量与矩阵的乘积，⽐如⼀个m×n的矩阵A，各列为a1,⋯,an，⽽x为n维向量，则有：

这种形如Ax=b的形式，就称为矩阵⽅程。

由矩阵⽅程的定义，我们可以得出：⽅程Ax=b有解当且仅当b为A中列的线性组合。⼜因为我们之前提到，这些列向量

的所有线性组合构成了，向量b是否存在于这个空间，就等价于Ax=b有解。

下⾯我们来讨论下任意的情况。

设

求⽅程Ax=b是否对b1,b2,b3的所有取值都有解？

我们⾸先对增⼴矩阵化简：

可以看出，当b取某些值时，不等于0，于是就会有⽆解的情况。只有当

时⽅程才有解。注意，这个式⼦在⼏何中表⽰三维中的⼀个平⾯，结合Ax=b，这个平⾯就是A中列向量线性组合构成

的集合。

本来b是三维的向量，如果没有限制的话它可以表⽰整个三维空间，然⽽，在这个空间中，⼀⼤部分都不满⾜使Ax=b

有解。这仅剩的⼀个平⾯就是A的列向量所能张成的全部空间。这些三维列向量最终张成了⼀个⼆维平⾯。

观察⾏最简形式矩阵，可以知道，之所以b的⼀些取值造成矩阵⽅程⽆解，是因为系数矩阵A中最后⼀⾏没有主元，在

⾏最简形式中变成了形如的⾏。如果系数矩阵A中每⼀⾏都有主元的话，那么就不会出现⽆解的情况。

反过来看，当n个m维列向量能张成时，就说明对任意，⽅程Ax=b都有解，也就是说，空间中的任意向量，都可以

由A的列线性表⽰。

总结⼀下，就是以下四点相互等价。

1.对任意，⽅程Ax=b都有解。

2.任意都是A中列的⼀个线性组合。

3.A的列张成。

4.A中每⼀⾏都有主元位置。

四、三种等价形式

矩阵⽅程

和向量⽅程

以及下列增⼴矩阵对应的线性⽅程组具有相同的解集

矩阵⽅程、向量⽅程和线性⽅程组是三种不同但却相互等价的形式。在现实⽣活中构造⼀个数学模型时，我们可以在

任何情况下⾃由选择其中任何⼀种最⾃然、最便利的陈述形式。

以上三种形式就是我们在解线性⽅程组时的三个⼯具，结合具体问题，我们可以通过不同⾓度观察问题，进⽽求解。另

外，这三种形式的求解，都是对增⼴矩阵进⾏⾏化简，因此，増⼴矩阵的⾏变换是⼀切的基础。