十字相乘法公式

十字相乘法分解因式

因式分解一般要遵循的步骤

多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相

乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复

进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试

一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．

1．二次三项式

（1）多项式cbxax2，称为字母的二次三项式，其中称为二次项，为一

次项，为常数项．

例如：322xx和652xx都是关于x的二次三项式．

（2）在多项式2286yxyx中，如果把看作常数，就是关于的二次三项式；如

果把看作常数，就是关于的二次三项式．

（3）在多项式37222abba中，把看作一个整体，即，就是关于

的二次三项式．同样，多项式

12)(7)(2yxyx，把看作一个整体，就是关

于的二次三项式．

2．十字相乘法的依据和具体内容

(1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2bxaxabxbax

方法的特征是“拆常数项，凑一次项”

当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；

当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项

系数的符号相同．

例1、因式分解。

分析：因为

7x+(-8x)=-x

解：原式=（x+7）（x-8）

例2、因式分解。

分析：因为

-2x+（-8x）=-10x

解：原式=（x-2）（x-8）

(2)对于二次项系数不是1的二次三项式

cbxax2))(()(

2211211221

2

21

cxacxaccxcacaxaa

它的特征是“拆两头，凑中间”

当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；

常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；

常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一

次项系数的符号相同

注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉

相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．

例3、因式分解。

分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。

因为

9y+10y=19y

解：原式=（2y+3）（3y+5）

例4、因式分解。

分析：因为

21x+(-18x)=3x

解：原式=（2x+3）（7x-9）

例5、因式分解。

分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。

因为

-25（x+2）+[-4(x+2)]=-29（x+2）

解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]

=（2x-1）（5x+8）

例6、因式分解。

分析：该题可以先将（）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次

十字相乘。

因为

-2

+[-12]=-14a+(-2a)=-a3a+（-4a）=-a

解：原式=[-2][-12]

=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)

从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定

要熟练掌握。但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如在实

数范围内就不能再进一步因式分解了

二、典型例题

例1把下列各式分解因式：

(1)1522xx；(2)2265yxyx．

例2把下列各式分解因式：

(1)3522xx；(2)3832xx．

例3把下列各式分解因式：

(1)91024xx；(2))(2)(5)(723yxyxyx；

(3)120)8(22)8(222aaaa．

例4分解因式：90)242)(32(22xxxx．

例5分解因式653856234xxxx．

例6分解因式655222yxyxyx．

例7分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．

例8、已知12624xxx有一个因式是42axx，求a值和这个多项式的其他因式．

试一试：

把下列各式分解因式：

(1)22157xx(2)2384aa(3)2576xx(4)261110yy

(5)2252310abab(6)222231710ababxyxy(7)22712xxyy

(8)42718xx(9)22483mmnn(10)53251520xxyxy

课后练习

一、选择题

1．如果))((2bxaxqpxx，那么p等于()

A．abB．a＋bC．－abD．－(a＋b)

2．如果305)(22xxbxbax，则b为()

A．5B．－6C．－5D．6

3．多项式axx32可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为()

A．10和－2B．－10和2C．10和2D．－10和－2

4．不能用十字相乘法分解的是()

A．22xxB．xxx310322C．242xx

D．22865yxyx

5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是()

A．20)(13)(22yxyxB．20)(13)22(2yxyx

C．20)(13)(22yxyxD．20)(9)(22yxyx

6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有()

①672xx；②1232xx；③652xx；

④9542xx；⑤823152xx；⑥121124xx

A．2个B．3个C．4个D．5个

二、填空题

7．1032xx__________．

8．652mm(m＋a)(m＋b)．a＝__________，b＝__________．

9．3522xx(x－3)(__________)．

10．2x____22y(x－y)(__________)．

11．22____)(____(_____)a

m

n

a．

12．当k＝______时，多项式kxx732有一个因式为(__________)．

13．若x－y＝6，

36

17

xy，则代数式32232xyyxyx的值为__________．

三、解答题

14．把下列各式分解因式：

(1)6724xx；(2)36524xx；(3)422416654yyxx；

(4)633687bbaa；(5)234456aaa；(6)422469374babaa．

15．把下列各式分解因式：

(1)2224)3(xx；(2)9)2(22xx；

(3)2222)332()123(xxxx；(4)60)(17)(222xxxx；

(5)8)2(7)2(222xxxx；(6)48)2(14)2(2baba．

16．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，2633yx，求a的值．