什么是方差

20.2极差、方差与标准差

【教学目标】

一、知识目标

1．理解极差、方差与标准差的概念及应用．

2．学会用极差、方差与标准差来处理数据．

3．学会用计算器求标准差。

二、能力目标

1．学生通过主动思考与探索，发现方差计算的合理性．

2.培养学生的探索知识的能力．

三、情感态度目标

学生在经历独立思考、合作探索与发现的过程中，初步体验极差、方差与标

准差来分析数据，然后作出决策；体验用现代算工具处理数据的作用。

【重点难点】

重点：方差计算式的导出过程．

难点：方差概念的引入．

【教学设想】

课型：新授课．

教学思路：从复习旧知入手（平均数、中位数和众数的概念）-观察导图-研究

用什么数据来表示数据高低起伏的变化大小-得出极差、方差和标准差的概念-

导出方差的计算式—利用计算器或计算机求标准差。

【课时安排】4课时。

【教学设计】

第一课时

【本课目标】

1．理解极差的概念及应用．

2．明确极差是刻画数据离散程度的一个统计量．

3．能够举出一些利用极差进行比较的例子．

【教学过程】

1.情境导入

播放多媒体—教材中的导图“你喜欢住在哪个城市？”（或用投影幻灯片或

由教学挂图展示）．观察导图，讨论用什么样的数来反映数据的高低起伏的变化

大小比较合适

2、课前热身

刻画数据平均水平的统计量有哪些，它们有什么作用？举例说明。

3、合作探究

（1）整体感知

从观察导图、复习旧知入手，引导学生自主探索，理解极差的概念及其应用，明

确极差是刻画数据离散程度的一个统计量。

（2）四边互动

互动1：

师：用平均数、中位数、众数代表数有什么不同？

生：思考、交流。

明确：通过复习旧知，导入本节课的内容。

互动2：

师：在导图中，为什么说北京“四季分明”而新加坡“四季温差不大”。

生：观察，思考，交流。

明确：通过讨论，学生初步感知：最大值与最小值的差可以用来表示数据高低起

伏的变化大小。

出示投影：课本么135页表20.1.1上海每日最高气温统计表（单位：℃）

表20.2.1上海每日最高气温统计表（单位：℃）

互动3：

师：表20.2.1显示的是上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温．从

表上看，2002年和2001年2月下旬的气温相比，有4天的温度相对高些，有

3天的温度相对低些，还有1天的温度相同．我们是否可以由此认为2002年2

月下旬的气温比2001年高呢？

生：小组交流、发表意见．

师：比较两段时间气温的高低，求平均气温是一种常用的方法．请你计算其平均

数。

生：动手、交流（12℃）

师：这是不是说，两个时候的气温情况没有什么差异呢？

生：思考、讨论。

明确：平均气温（即平均数）是比较两组数据平均水平的一种常用的方法，但

它反映不出一组数据的离散程度，由此引入极差的概念．（板书：1.表示一组数

据离散程度的指标－极差．）

互动4：

师：根据两段时间的气温情况绘成折线图．请同学们观察，它们有差别吗？

互动4：

生：小组讨论、交流看法．归纳出：（a)中的折线高低起伏较大；（b)中的折线高

低起伏较小．

师：那么，用什么样的数来反映这种特征比较合适呢？

生：探索、讨论、交流．归纳出：可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的

差来反映这种变化范围．

明确：极差＝最大值一最小值

互动5：

师：在生活中，我们常常与极差打交道，如：班级里个子最高的学生比个子最矮

的学生高多少？一次单元测验的最高分比最低分高多少？等等，这都是求极差的

例子，你能找到其他例子吗？

生：思考、交流．

明确：通过举例，极差概念的理解，，同时感受统计的应用就在自己身边。

4、达标反馈

请你结合实际，编一道极差的题目，小组交流．同桌交换解题．（也可以补充3-5

分钟的练习）

5、学习小结

（1）内容总结

①极差可以反映一组数据变化范围的大小．

②极差二最大值一最小值．

（2）方法归纳

观察导图，发展学生的直觉思维能力，培养学生的探索知识的能力.

6、实践活动：两人一组，在安静的环境中，一人估计1min的时间，另一人记

下实际时间，将结果记录下来；在吵闹的环境中，再做一次这样的实验；将全班

的结果汇总起来，并分别计算安静状态和吵闹坏境中估计结果的平均值和极差。

7、巩固练习：第138页练习第1题。

【板书设计】

第二课时

【本课目标】

1．理解方差的概念。

2．学会运用方差来处理数据。

1、表示一组数据离散程度的指标-极差

①极差是刻画数据离散程度的一个统计量

②极差=最大值－最小值

投影

3．通过主动搜索，发现方差计算的合理性，体会方差的实际意义。

【教学过程】

1.情境导入

提问：

（1）极差与数据变化范围大小的关系是什么？

（2）为什么说本章导图中的两个城市，一个“四季温差不大”，一个“四

季分明”？

2.课前热身

比较下列两组数据的极差：

A组：2，10，5，5，5，5，5，5，5，5．

B组：4，6，3，7，2，8，1，9，5，5．

试问：A组与B组，哪个组的数据离散程度较大？

3．合作探究

（1）整体感知

从复习旧知入手（极差的概念），引导学生发现极差的局限性，通过探索活动，

在讨论交流的过程中，导出方差的计算式，发现方差计算的合理性，体会方差的

实际意义．

（2）四边互动：

互动1：

师：在“课前热身”提出的问题中，A组与B组的极差分别是多少？

生：回答略。

师：我们发现：A组与B组的极差相等．这说明极差虽能反映这两组数据的波动

情况，但能判断其离散程度的大小吗？

生：思考、讨论、交流．

明确：引导学生发现：极差只能反映一组数据中两个极端值之间的差异情况，对

其他数据的波动情况不敏感，因此，有必要重新找一个对整组数据波动情况更敏

感的指标．

演示课件：“谁的成绩较为稳定”，即课本136页的“问题2

小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如下表所示，谁的成绩

较稳定？为什么？

20.2.2

互动2：

师：请你计算两人的平均成绩．

生：操作、交流．

师：通过计算，我们发现两人测试成绩的平均值都是13分．我们画出两人测试

成绩的折线图，如图20.2.2所示．观察发现了什么？

生：思考、讨论、交流．

明确：小明的成绩大部蝶中在平均成绩13分的附近，而小兵的成绩与其平

均值的离散程度较大。

互动3：

师：通常，如果一组数据与其平均值的离散程度较小，我们就说它比较稳定．那

么什么样的数据反映一组数据与其平均值的离散程度？（电脑显示表20.2.3）

表20.2.3

生：思考、交流．

师：我们已经看出，小兵的测试成绩与其平均值的偏差大，而小明的较小．那么

如何加以说明呢？可以直接将各数据与平均值的差进行累加吗？

生：动手操作．

师：通过计算，依据最后的结果可以比较两组数据围绕其平均值的波动情况吗？

生：比较、思考、交流．

师：如果不行，请你提出一个可行的方案，在表20.2.4的红色格子中写上新的

计算方案，并将计算结果填入表中．（电脑显示表20.2.4）

表20.2.4

生：自主探索、动手操作、合作交流．

生：可以用“先平均，再求差，然后平方，最后求和”，得到的结果表示一组数

据偏离平均值的情况．

生：为什么要“平方，’？取绝对值行吗？

生：如果两组数据不一样多，那么“求和”对数据多的那组就不公平了。

生：可以解决这具问题，改为“求平均数”更合理。

明确：重点在于引导学生导出方差和概念的理解，关注学生的交流过程。

互动4：

师：求绝对值和求平方都可以解决“作差有正负”的问题，但求绝对值往往计算

不便，因而求平方相对常用一些．至于最后是“求和”还是“求平均数”，个别

同学可能还没有弄明白，清同学们观察表20.2.5，将你的方法与数据填入表中。

表20.2.5

生：动手操作、小组交流，总结方法与结果．达成共识：“求平均数”比“求和”

更合理．

明确：我们可以用“先平均，再求值，然后平方，最后再平均，得到的结果表示

一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差．（板书：方差—计算离差

的平方的均值．）

4、达标反馈

课本第138页练习第1题（只求方差）

5、学习小结

（1)内容总结

①方差是刻画数据离散程度的重要指标之一

②方差即计算离差的平方的均值．

（2）方法归纳

通过思考一系列问题，进行合作探索活动，理解导出方差计算式的合理性，

强调学生学习理解的过程，避免单纯的数学运算练习，突出能力的培养。

6、实践活动：某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，现从甲、乙两名跳

高运动员中进行挑选，请你设计一个合理的挑选方案。

7、巩固练习：课本习题20.2第1、3题。

【板书设计】

第三课时

【本课目标】

1．理解标准筹的概含．

2．理解方差与标准差的区别和联系．

3.进一步体会方差的实际意义。

【教学过程】

1.情境导入

某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近的10次

选拔赛中，他们的成绩（单位：cm）如下：

甲：5855966

乙：6598624

（1)他们的平均成绩分别是多少？

（2)他们的极差分别是多少？

（3）甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？

（4）这两名运动员的运动成绩各有什么特点？

理解题意，互相交流，形成共识。

2.课前热身

提问：（1）什么是极差？什么是方差？

略投影

（2）极差与方差反映了一组数据的什么？

3.合作探究

（1）整体感知

从复习旧知入手，由情境导入初步感知不同的统计图表的优劣，指出我们这

节课的目的是解决如何根据不同问题选择适当的统计图描述数据。

（2）四边互动：

互动1：

师：你能解决“情境导入“中的问题吗？

生：动手操作，全班交流。

明确：通过提问和练习巩固旧知。

互动2：

师：打开课件：“谁的成绩较为稳定”．观察理解，探索归纳出方差的计算公式．

生：四人合作，演示课件．（在小组充分讨论的基础上，组织全班交流．）

师：参与讨论，点评分析．

明确：通过创设愉悦轻松的氛围.引起学生的学习兴趣，再次经历方差计算式的

导出过程．

互动3：

师：回顾我们上节课所学的内容，请你归纳出方差的计算过程．

生：先平均，再求差，然后平方，最后再平均．（教师板书）

师：我们通常用2s表示一组数据的方差，用

x

表示一组数据的平均数

1

x

、

2

x

…

表示各个数据，那么如何用一个计算式来表示这n个数据的方差呢？

生：思考，达成共识

S2=2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

)()()()()(

5

1

xxxxxxxxxx

师：观察S2的数量单位与原数据单位一致吗？如何使其一致呢？

生：思考、讨论．

师：从方差的计算过程，可以看出梦的数量单位与原数据的不一致了，因此在实

际应用时常常将求出的方差再开平方，这就是标准差（板书）．请你计算一下小

明与小兵5次测试成绩的标准差是多少？

生：动手操作，完成后全班交流．

师：从标准差看，谁的成绩较为稳定？与前面依据方差所得到的结论一样吗？

生：独立思考，全班交流．

明确：标准差也是反映数据波动情况的一个重要指标

互动4：

师：我们已经得出：标准差也能刻画数据的波动情况．请你计算一下“情境导入”

中甲、乙两人比赛成绩的标准差，看是否与依据方差得出的结果一致？

生：动手操作，完成后全班交流．

师：由此我们可以得出什么结论？

生：独立思考，合作交流．

明确：通过实例，了解标准差的应用及其计算方法，即：方差＝标准差的平方．（板

书）

互动5：

师：反思和发表对本节课的体验．

生：互相质疑，同伴互助，自主评价．

明确：通过这种开放式的约5分钟的交流，提高学生的自主评价能力，同时教

师对自身的教学行为进行反思与评价。

4、达标反馈

课本138页练习第2题。

5、学习小结

（1）内容总结

①S2=2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

)()()()()(

5

1

xxxxxxxxxx

②方差＝标准差的平方

③标准差也是反映数据离散程度的一个统计量。

（2）方法归纳

经历方差与标准差的计算式的导出过程，体验解决问题的策略的多样性，发展自

主评价能力。

6、实践活动：选择一个适当的课题（如：吸烟的危害），组成合作小组，制定一

个调查方案，展开调查，并对调查数据进行处理．

7、巩固练习：课本习题20.2第2题。

【板书设计】

第四课时

【本课目标】

1．字会用计算器求标准差。

略投影

2．鼓励学生使用计算机中的求标准差的功能。

3．体验用现代计算工具处理数据的作用。

【教学过程】

1.情境导入

我们知道，利用Microsoftoffice软件中的Excel可以很方便地制作统计图，计

算出一组数据的平均数、中位数和众数．其实，利用Excel还可以很方便地求出

一组数据的方差和标准差，同学们不妨试一试。

2.课前热身

（出示投影）

提问：

（1）什么是极差？什么是方差与标准差？

（2）极差、方差与标准差反映了一组数据的什么？

（3）八（1)班在一次单元测验中的数学成绩如下：

837488091

7866928993898786788975867849867592

7998847980

8288716368

请你计算出该班数学成绩的平均分、方差与标准差．

3.合作探究

（1）整体感知

从复习旧知入手，在解决“课前热身”的问题过程中，体验用笔算的方法计

算标准差之繁琐，感受到利用计算器或计算机的必要性．本节课主要通过课本第

139页练习的操作熟悉计算器求标准差的操作过程，并通过多媒体演示，了解计

算机中求标准差的功能。

（2）四边互动：

互动1：

师：你能回答投影中的问题吗？

生：思考、逐个回答、动手操作．

师：在“课前热身”提出的第3个问题中，你算出方差和标准差吗？

生：动手操作．（有的不知所措而停下来，期待老师帮助）

师：请在你自己使用的计算器上探索一下如何求标准差．

生：独自探索、小组讨论、全班交流．

明确：方差的计算往往计算量很大，可以借助计算器完成

互动2：

师：教材中介绍的计算器求标准差，所用的计算器与你自己使用的计算器相同

吗？具体操作步骤相同吗？请你以计算2002年2月下旬的上海最高气温的标准

差为例，进行比较．

生：比较、操作、全班交流．归纳出大致步骤是：进入统计计算状态，输入数据，

按键得出标准差．（教师板书）

师：你能在计算器直接得到方差吗？

生：操作发现：计算器一般不具有求方差的功能，可以先求出标准差，再平方即

可求出方差．（教师板书）

明确：通过学生自主探索，熟悉计算器求标准差的大致步骤。

互动3：

师：我们也可以利用计算机求一组数据的标准差与方差．（打开课件“借助计算

机求方差与标准差”），请大家自己试一试．

生：观察、操作．（教师巡视并给学生一些建议，如：不熟练的同学如果遇到困

难，别忘了点击“帮助”菜单）

师：请你仍以计算2002年2月下旬的上海最高气温的标准差为例，利用计算机

求它的标准差．

生：操作、全班交流．

明确：通过学生的自主操作和合作交流，培养学生的自学能力．

互动4：

师：请你分别利用计算器和计算机求“课前热身”中第3个问题的方差和标准差．

生：动手操作、全班交流．

明确：通过实例巩固新知·

4、达标反馈

课本139练习第2题（用计算器和计算机分别完成）。

5、学习小结

（1）内容总结

①使用计算器可以很方便地计算一组数据的标准差，其大致步骤是：进人统

计计算状态，输入数据，按键得出标准差．

②计算器一般不具有求方差的功能，可以先求出标准差，再平方即可求出方

差．

（2）方法归纳

通过学生自主操作和合作交流，归纳出使用计算器求标准差的大致步骤；重

在培养学生的自学能力．

6、实践活动：甲、乙两台包装机同时分装质量为400g的奶粉，从它们各自分

装的奶粉中随机抽取了10袋，测得它们的实际质量（单位:8）如下：

甲：414394

乙：402399

试问：哪台包装机包装的奶粉质量比较稳定？

7、巩固练习：课本习题20.2第2题。

【板书设计】

2.用计算器求标准差

①大致步骤：进人统计计算状态，输人数据，按键

得出标准差．

②可以间接求方差

投影