微分的几何意义

1.2微分方程基本概念及其几何解释

[教学内容]1.介绍微分方程及其解的概念、方程分类;2.介绍一阶微分方程及其解的几何解

释;3.引入变量分离方法求解一阶微分方程;4.介绍积分常数由来引入微分方程定解条件--

初值条件和边值条件.

[教学重难点]重点是知道微分方程分类和定解条件，难点是如何从几何角度来理解一阶微

分方程及其解.

[教学方法]自学1、2；讲授3、4，5课堂练习

[考核目标]

1.会分清常微分方程和偏微分方程、能认清线性微分方程和非线性微分方程、能知道微分方

程的阶数;2.会用分离变量方法求解一阶微分方程通解及其初值问题;3.知道函数相关性

和函数无关性，并会用Jacobi矩阵来判别;4.会用方向场和等倾线方法来描述微分方程解的

性质.

1.认识微分方程及其类型

)

dx

dy

sin(

dx

dy

xy(5)1,y

dx

dy

(4),ey(sinx)

dx

dy

(3)y,

dx

dy

(2)2x,

dx

dy

)1(2x

0,x

dt

xd

2

dt

xd

(9)0,y

dt

dy

t

dt

dy

(8),1ty

t1

1

dt

dy

t1

t

dt

yd

(7)

2

2

4

4

3

2

2

























0u

y

u

β

x

u

α(13)0,

z

u

y

u

x

u

(12)0,xzyz(11)0,

y

u

β

x

u

α(10)2

2

2

2

2

2

2

yx











































(1)方程：是含有”未知”的等式，象532虽是等式但不是方程.若未知的是一个数，

那就是代数方程；若未知的是一个函数，那就是函数方程.上面13个等式都是方程，未知

的都是函数，因此上面13表达式都是函数方程.

(2)常(偏)微分方程：函数方程中未知的是一元函数且含有其导函数，则称其为常微分方程

（如上例(1)-(9)）；若函数方程未知的是多元函数且含有偏导数，则称为偏微分方程.(如上例

(10)-(12))

(3)线性(非线性)微分方程：若方程中出现的未知函数及其导函数或偏导函数都是一次的，

则称其为线性微分方程，这里分类不管方程中自变量以何种函数形式出现。(1)-(3)、(7)、(9)、

(10)-(12)都是线性的；(4)-(5)、(8)、（13）不是，出现未知函数2y和'ysin.

(4)方程的阶数：微分方程中出现的未知函数导函数或偏导函数最高阶数称之为方程的阶数.

例如(1)-(5)、(8)、(10)、(13)都是一阶微分方程；(7)、(12)是二阶微分方程；(9)是四阶微分

方程.

练习9.教材P26习题1.

2.微分方程的解与定解条件

考察落体问题，以铅直向上的方向建立直线坐标系，设落体在t时刻位置为x，则由牛顿第

二定律知，gx



，其中g为重力加速度，负号是由于力方向和x轴正向相反，

2

2

dt

xd

x



.

考察函数1tt

2

g

ψ(t)x,t

2

g

φ(t)x22，将上述两个函数代入方程gx



，易

见：左端=右端.于是我们称ψ(t)φ(t),为方程的两个解.

一般地，考察微分方程y)f(x,

dx

dy

.若已知函数(x)y代入上述方程使得微分方程等式

成立，则称(x)为微分方程的一个解.

练习10.教材P27习题2.（5）、(6)；习题3.(2)、(6).

改写方程为微分形式

1

ctg

dt

dx

,gdt-)

dt

dx

d(gdt,-)

dt

dx

d(g,)

dt

dx

(

dt

d

，

21

2

11

ctc/2tgx,dt)ctg(dxdt,)ctg(dx，其中

21

c,c为积分常数.

这里大家很快发现：微分方程gx



解不唯一，有无穷多个.这里原因是确定解的条件不

足.解释如下：(1)在时刻t=0，假设落体位置x(0)=10,落体速度是0(0)x'，则从10米处

自由下落，规律如下10/2tg(t)x2

1

；

(2)在时刻t=0，假设落体位置x(0)=20,落体速度是0(0)x'，则从20米处自由下落，规

律如下02/2tg(t)x2

2

；

(3)在时刻t=0，假设落体位置x(0)=10,落体速度是01(0)x'，则从10米处先上抛再自由

下落，规律如下10t10/2tg(t)x2

3

；

(4)在时刻t=0，假设落体位置x(0)=10,落体速度是01(0)x'，则从10米处先下抛后下

落，规律如下10t10/2tg(t)x2

4

.

(5)经观察在时刻t=0，落体位置x(0)=10,在时刻t=2，落体位置为x(2)=20，则先上抛再下

落，规律如下10t20/2tg(t)x2

5

，这里取g=102m/s.

在上述5中情形下方程的解都是确定的，其中(1)-(4)是给出了初始时刻的位置和速度，也就

是给出某个时刻的未知函数及其一阶导数的值，这组条件就称之为初值条件；(5)中给出了

两个不同时刻的位置，也就是给出了x(0)和x(2)的值，这组条件称之为边值条件.

一般地，我们称含有两个独立任意常数

21

c,c的解为

21

2ctc/2tgx为二阶方程

gx



通解，称在给定初值条件或边值条件下的解为方程的特解,初值条件和边值条件统

称为定解条件，用来确定通解中相应独立常数.在该例题中

1

c对应于初始速度，

2

c对应于

初始位置.相应地称研究











1000

x)(tx',x)x(t

gx



的解问题为初值问题或柯西问题；

称研究











1100

x)x(t,x)x(t

gx



的解问题为边值问题.一般情形下定义（参见教材P18表达

式(1.42)式和P370表达式(1)-(4)）.

例13.给定一阶微分方程2x

dx

dy

，(1)求出它的通解；(2)求通过点(1,4)的特解；(3)求

出与直线y=2x+3相切的解；(4)求出满足条件2dxy

1

0

的解；(5)绘出(2)-(4)解的图像.

解：(1)改写方程为cxy,dx2xdydx,2xdy2为所求通解.

(2)由题意知，y(1)=4，于是3cc,142，因此所求特解为3xy2.

(3)直线32xy斜率为2k，于是由相切条件知22x

dx

dy

，解得x=1，相应地

532y.于是相切点为(1,5)，也就是解通过点(1,5).于是4cc,152.所求特解

为4xy2.

(4)

3

5

c2,c

3

1

c)dx(xydx1

0

2

1

0

，所求特解为3/5xy2.

(5)图像为抛物线2xy经向上多次适当平移所得,如图.

作业11.给定一阶方程

1t

2

dt

dx

2

.(1)求出方程的通解；(2)分别求出过点(0,1)和(2,1)的特

解；(3)画出上述特解的图像.(定义域、单调性、凸凹性)

矩阵、变量之间的函数相关性、变量独立性和n阶方程的通解

(1)Jacobin矩阵：设有n个自变量的多元函数m,1,2,i),x,,x,(xfy

n21ii

，定义如

下的Jacobi矩阵



















































n

m

1

m

n

1

1

1

n21

m21

x

y

x

y

x

y

x

y

)x,,x,(x

)y,,y,(y











，特别地，若m=n，则

)x,,x,(x

)y,,y,(y

n21

m21









为一个方阵.

(2)隐函数定理和反函数定理：（参见《数学分析下》P148定理18.1和P155定理18.5）

(3)变量的函数相关性：高等代数中介绍过向量的线性相关性和线性无关性.后面也会提到

函数的线性相关性和线性无关性.这里介绍变量独立和变量的函数相关性.

举一个例子，整个平面上点(x,y)，这里x和y就是独立的；对于曲线sinxy:Γ上点(x,y)，

变量x和y就不独立了，它们是函数相关的，即y=sinx.

再比如，设(u,v)为平面上任一点，变量x=ucosv,y=usinv，则问变量x,y是否独立？

从形式上看，这个变换是极坐标变换，由0u

)(u,

y)(x,







v

知，(u,v)是(x,y)的函数，因此变量

x,y是独立的，它们可以在允许范围内独立任意取值.

再举上半球面ucoszsinv,usinyv,cosusinx，)(0,2πvπ/2),,(0u.

这里三个变量x,y,z真正独立的只有两个，因为0usin

)(u,

y)(x,







v

，可以由隐函数定理知

y)v(x,vy),u(x,u，进而22yx1y)(x,z

~

v)z(u,z，因此，变量z与变量x,

y函数相关.

一般地，考察n阶微分方程(*)0,)x,,x'x,F(t,(n)，若有解)c,,c,cφ(t,x

n21

，其

中n

n21

R)c,,c,(c，我们知道初始条件)(tx,),(tx'),x(t

0

1)(n

00

应该是n个独立变

量，可以任意选取，就像落体那个例子所呈现的.下面的问题是考虑任意初始条件能否对应

于确定的)c,,c,(c

n21

呢？

这就看在某个邻域内

)c,,c,(c

)x,,x'(x,

n21

1)-(n









是否行列式不为零.若行列式不为零，则称解

)c,,c,cφ(t,x

n21

中常数)c,,c,(c

n21

是独立的，称具有n个独立常数的解为n阶方程

（*）的通解.

例14.验证

21

2ctc/2gtx为二阶方程gx



的通解.

解：

21

2ctc/2gtx，

1

cgtx'，01

01

1t

)

)c,(c

)x'(x,

det(

21







,因此，)c,(c

21

是

独立的,因此，

21

2ctc/2gtx为二阶方程的通解.

练习12.验证教材P27习题2中(5)和(6)都是二阶方程0yω

dx

yd

2

2

2

的通解.

4.方向场、积分曲线、等倾线

(1)方向场：考察方程y)f(x,

dx

dy

，在f(x,y)定义区域G内每一点(x,y)作小直线段，其中斜

率为k=f(x,y),箭头方向表示x增加的方向，称所得的小切线段为线素，称画出所有线素后

所得到图像为方程所定义的方向场；称所有具有相同斜率k的点全体为等倾线.

(2)设y=y(x)为方程y)f(x,

dx

dy

一个特解，则其图像称为方程的一条积分曲线，若y=y(x,c)

为方程的通解，则其图像为一族积分曲线.

(3)由上述定义知，方程y)f(x,

dx

dy

任一条积分曲线上每点切线与该点线素重合；反过来，

如果在G内一条光滑曲线y=y(x)满足曲线上每点切线与线素重合，则该曲线一定是积分曲

线.

例15.画出(1)方程2x

dx

dy

的方向场;(2)方程y

dx

dy

的方向场；(3)

y

x

dx

dy

的方向场.

解：(1)(2)(3)

3210123

3

2

1

0

1

2

3

3210123

3

2

1

0

1

2

3

3210123

3

2

1

0

1

2

3

等倾线：(1)2x=k;(2)y=k;(3)-x=ky.

例16.考察Riccati方程xy

dx

dy

2.画出等倾线xyk2,特别地取k=-1,k=0,k=1.

解：当初始点落在两抛物线之间，当x趋于正无穷大时，y趋于抛物线x=y^2.

51015

4

2

2

4

练习13.（1）画出方程

x

y

dx

dy

的方向场.（2）研究方程1)y(y

dx

dy

2不同初始

条件下解当x趋于正无穷大时的性态.

5.应用题

例17.将某物体放置在空气中，在时刻t=0时，测得它温度为o

0

C150T，10分钟后测得

它温度为o

1

C100T，现假定空气温度保持为o

e

C24T，试问20分钟后，物体的温度为

多少？

解：设在t时刻物体温度为T(t)，则由牛顿冷却定律知，0kT),k(T

dt

dT

e

.

分离变量得到

1e

ee

ckt|TT|ln,dtk

T)(T

dT

dt,k

T)(T

dT









，

改写为1

c

kt

e

ec,ecTT.再由初始条件T(0)=150知，

e0

TTc.

于是，物体温度变化规律为kt

e0e

e)T(TTT(t).

由T(10)=100知，k10

e0e

e)T(TTT(10);(还有一种方法由此方程求出k)

10k

e0

k20

e0

e

e

)eT(T

e)T(T

TT(10)

TT(20)















,再次改写为

2

e0

e

210k20k

e0

e

TT

TT(10)

)(ee

TT

TT(20)



























.

解得T(20)oC70.

答：20分钟后物体的温度约为oC70.

作业14.根据实验，在一年里每克镭衰变了0.44毫克，经过多少年镭将衰变到原来数量的

一半？假定放射性元素衰变率与自身质量成比例.

练习15.竖直放置的圆柱形水桶底部有一个小孔，在5分钟内可流出全水桶水的一半，问再

经过多长时间水桶内水全部流完？

思考16.一条铁链长10米，一口井深30米，假定在时刻t=0时，铁链一端A落入井口1

米，其余部分放置在水平井沿处，然后放开手让铁链无摩擦地沿井口下滑，也不受空气阻力，

问铁链一端A需经过多长时间才能落到井底？