设a

1

一、填空题

1.

111

11

111







x是关于x的一次多项式，该式中一次项的系数是2

11

11

)1(32



。

2.已知四阶行列式D中第三列元素依次为1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，7，4，

则1502)1(

4333233231313

MMMMAaAaAaAaD。

3.已知

abcd

cbda

D

dbca

abdc

，则

14243444

AAAA

1

1

0

1

1

abc

cbd

dbc

abd

。

4.已知矩阵

nsij

cCBA



)(,,满足CBAC，则A与B分别是ns,阶矩阵。

5.已知























400

60

852

bA是奇异阵，则b0。

6.设方阵A满足0322EAA，则1A)2(

3

1

EA。

7.设

































1100

2100

0012

0025

A，则1A







































3

1

3

1

00

3

2

3

1

00

0052

0021

。

8.





















10

11

A，k为自然数，则kA



















10

1k

。

9.若A为

n

阶方阵，且EAAT，则A

11或

。

10.若

n

阶方阵A的秩小于

n

，则A的行列式等于

零

。

11.设A为3阶方阵，且3A，则*1AA

3

64

43111AAA。

12.已知























200

020

002

A，满足BAAB，则BA





















200

020

002

。

13.设A为

n

阶方阵，且2A，则A212n，*A12n。

14.若A为

n

阶方阵，且EAAT，1A则EA

0。

15.设A为5阶方阵，且

2

1

A，试求1*)3(AA

A

A

A

3

2

3

1

)(

3

1

1*。

16.已知矩阵























054

032

100

A，则()rA3。

2

17.设向量组T)1,2,1,1(

1

，T)2,0,0,1(

2

，Tk),8,4,1(

3

线性相关，则参数k=2。

18.设

nm

ij

aA



，若nm，则A的列向量组线性

相关

。

19.设A为

nm

矩阵,非齐次线性方程组bAX有解的充分必要条件是)()()(BrbArAr。

20.线性方程组0

321

xxx的一个基础解系是

















































1

0

1

,

0

1

1

21

。

21.设































5364

4253

1342

1111

A，则齐次线性方程组0AX的基础解系包含的向量个数为1)(Arn。

22.设A是秩为r的

nm

阶矩阵，则齐次线性方程组0AX的任一基础解系所含解向量的个数均为

rn。

二、计算题

1.计算行列式（1）

1333

3133

3313

3331

D；（2）

1001

2473

1322

6184





；

（3）

c

cb

ba

a







1100

110

011

001

；（4）

n...222

...............

2...322

2...222

2...221

。

解：（1）80

2000

0200

0020

1111

10

1333

3133

3313

1111

10

1333

3133

3313

10101010

1333

3133

3313

3331

11

3

4,3,24,3,2



















rr

i

rr

i

iiD

解：（2）45

2922

75

5

1081

29220

35250

1081

123

574

10816

1231

5742

0001

4816

2231

3742

1001

32

31

14

3

4





















rr

rr

cc

解：（3）

c

c

b

c

cb

b

c

cb

b

a

c

cb

ba

a

rrrr





















110

10

01

110

11

01

1100

110

010

001

1100

110

011

001

1212

1

11

1







c

c

3

解：（4）

n...222

...............

2...322

2...222

2...221

)!2(2

2000

0100

2222

0001

2

,,4,3,1













n

n

rr

ni

i













2.设A,B均为n阶矩阵，3||2||B,A，求|2|1BAT。

解：1112

3

11

22|2|nnTnT

B

ABABA

3.设A为3阶方阵，

3

1

A，求行列式1*)2(3AA的值，其中*A为A的伴随矩阵。

解：

8

3

8

27

)

2

3

(

2

3

2

1

3)2(313

*3*1*1*

AAAAAAA

4.已知TA321，

T

B















3

1

2

1

1，TABC，求3C，nC

解：TABC，TTTTTTBABABAABABABC))(())()((3

3

3

2

1

3

1

2

1

1

































ABT,





































































1

2

3

3

3

2

12

3

1

2

1

1

9

3

1

2

1

1

3

2

1

9323TABC





个n

TTTnABABABC)())((





































1

2

3

3

3

2

12

3

1

2

1

1

33])())([(11

1

nTnT

n

TTTABBABABABA





个

5.设

n

阶方阵A和B满足条件EABA2，且已知



























100

110

111

A，求矩阵B。

解：EABA2











































































000

000

120

100

110

211

100

110

111

1AAB

6.设

























101

011

324

A，且有关系式XAAX2，求矩阵X。

解：XAAX2AXEA)2(

AEAX1)2(

4

构造

223423100346

(2)110110~~010236

1

AEA







































742

632

643

X

7.已知

























231

043

210

A，





























251

041

214

B，求X，Y使











BYX

AYX

3

。

解：

















































120

001

101

480

004

404

4

1

)(

4

1

BAX，





























111

042

111

XAY

8.已知矩阵































45532

51101

41322

3211a

A的秩是3，求

a

的值。

解：

























































































02000

23100

04210

51101

~~

3211

45532

41322

51101

~

45532

51101

41322

3211

aa

a

A

所以，当2a时，3)(Ar。

9.设

1234

0123

0012

0001

A















，求1A。

解：

































































10001000

11001100

01101110

00111111

~

10001000

01002100

00103210

00014321

EA





































































10001000

21000100

12100010

11110011

~

10001000

21000100

11100110

10110111

~

5



































10001000

21000100

12100010

01210001

~，所以





































1000

2100

1210

0121

1A

10.设































1

1

1

1

t

，































1

1

1

2

t

，试确定t的范围，使

1

，

2

线性无关。

解：

























































































































00

00

10

11

~

00

10

10

11

~

00

1

1

11

~

11

11

1

1

),(

21

t

t

t

t

tt

t

A，当01t，即1t时，

2)(Ar，从而

1

，

2

线性无关。

11.判别向量组































1

2

0

1

1

，































1

0

2

1

2

，































0

3

1

2

3

，

































4

1

5

2

4

的线性相关性，求它的秩和它的一个最大

线性无关组，并把其余向量用这个最大线性无关组表示。

解：

































4011

1302

5120

2211

A































































0000

2200

5120

2211

~

2200

5120

5120

2211

~

3)(Ar，3),,,(

4321

r，所以

4321

,,,线性相关，

321

,,为一最大无关组。

继续化行阶梯形为最简形

























































































































0000

1100

3010

1001

~

0000

1100

6020

4011

~

0000

1100

5120

2211

~

0000

2200

5120

2211

3214

3

12.讨论对于b的不同取值，向量组T)1,4,3,1(

1

，Tb),5,4,1(

2

，T)3,3,1,2(

3

，

T)0,3,2,1(

4

的秩，并求出对应该值的一个最大线性无关组。

解：











































































1510

1510

1510

1211

~

031

3354

2143

1211

),,,(

4321

bb

A

6





































































0000

2)2(500

1510

1211

~

2)2(500

0000

1510

1211

~

bb

bb

当2b时，3)(Ar，最大无关组:

0

A

321

,,；

当2b时，2)(Ar，而最大无关组:

0

A



21

,。

13.已知向量组

1

，

2

，

3

线性无关，向量组

211

k，

322

，

133

k线性相关，

求k值。

解：考虑0

332211

xxx

0)()()(

332221131

xxxkxkxx，

由向量组

1

，

2

，

3

线性无关



















0

0

0

32

21

31

xx

xkx

kxx

，

而

321

,,线性相关线性方程组有非零解0

110

01

01

k

k

012k1k

14.求齐次线性方程组

1234

1234

1234

0

0

220

xxxx

xxxx

xxxx

















的基础解系及通解。

解：

11100

1111~0022~0011~0011

1122

AA

















由00AxAx，得到12

34

0

0

xx

xx











12

34

xx

xx













取

24

,xx为自由未知量

令2

4

10

,

01

x

x















，1

3

10

,

01

x

x















，得到基础解系

12

10

10

,

01

01















因此，原方程组的通解为：

112212

10

10

,

01

01

xkkkk















其中

12

,kkR。

15.讨论

a

取何值时，线性方程组

















12

2

2

321

321

321

xaxx

xaxx

xxax

（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并求

通解。

7

解：



































































)1(2110

100

211

~

211

1121

211

~

1121

211

211

2aaa

a

a

a

a

a

a

a

a

bA









































































)13)(1()1(00

32110

211

~

100

32110

211

~

32110

100

211

~

aaaa

aa

a

a

aa

a

aa

a

a

（1）当0a且1a时，nBrAr3)()(，原方程组有唯一的解；

（2）当0a时，)(32)(BrAr，原方程组无解；

（3）当1a时，nBrAr32)()(，原方程组有无穷多解，将1a代入阶梯形矩阵，继续化阶

梯形为最简形













































0000

1010

3101

~

0000

1010

2111

同解方程组











1

3

2

31

x

xx

通解





































































0

1

3

1

0

1

3

2

1

k

x

x

x

x

Rk

16.求非齐次线性方程组

xxxx

xxxx

xxxx

1234

1234

1234

243

3623

221

















的通解。

解：



















































































2

1

1000

2

1

0010

2

1

0201

~~

45030

610020

34211

~

11221

32613

34211

13

12

3

rr

rr

rr

bA







































































2

1

0

2

1

2

1

0

1

0

2

kxRk

17.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知

123

,,是它的三个解向量，

且































2

0

1

4

1

，































2

1

0

1

32

，求该方程组的通解。

解：bAx，3)(rAr，4n，0Ax的基础解系只含134rn个解向量。

8

令0

2

1

2

7

2

1

0

1

2

0

1

4

2)(2

321





























































































，

AA022)](2[

321321

bbbAAA

即为0Ax的基础解系。所以通解为Rkkkx





























































,

2

0

1

4

2

1

2

7

1



三、证明题

1．设为n维列向量，1T,2T

n

HE，证明：H是对称的矩阵。

证明：

2T

n

HE，

T

n

TT

n

TEEH2)2(H，所以H是对称的矩阵。

2．设1

2123

3

1

1111

1

x

Axyyy

x













，其中

123123

,,,,,xxxyyy为任意常数，证明0A。

证明：1)(,111

1

1

1























BRB，1)(,

321

3

2

1























CRyyy

x

x

x

C，则CBA

211)()()()(CRBRCBRAR，所以0A

3．设A,B是

n

阶方阵，如果B可逆且满足022BABA，证明A和BA均可逆。

证明：由OBABA222)(BBAA

0)1(2

2BBBAAn

0A，0BA

A和BA均可逆。

4．如果2AAE，证明A可逆并求1A。

证明：2AAEEAA2EEAA)(，所以A可逆，EAA1

5．设向量组

321

,,线性无关，

11

，

212

2，

3213

32，证明

321

,,也

线性无关。

解：考虑

0

332211

xxx

123123233

()(22)30xxxxxx，

由向量组

1

，

2

，

3

线性无关，得到

















03

022

0

3

32

321

x

xx

xxx

0

321

xxx

所以，

321

,,也线性无关。

6．设向量组

1

，

2

，┅，

n

线性相关，且它的任意1n个向量线性无关，证明向量组

1

，

2

，┅，

9

n

中任一向量都可以由其余向量线性表示。

证明：因为向量组

1

，

2

，┅，

n

线性相关，所以存在不全为零的数

n

kkk,,,

21

使得

0

2211



nn

kkk，

从向量组

1

，

2

，┅，

n

任意1n个向量线性无关

),,2,1(,0nik

i



i

n

i

i

i

i

i

i

i

ik

k

k

k

k

k

k

k











1

1

1

1

1

1

),,2,1(ni

因此，向量组

1

，

2

，┅，

n

中任一向量都可以由其余向量线性表示。