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三角学的起源与发展

三角学之英文名称Trigonometry，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono(三角)和

metrein(测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系

为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围

逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且

为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。

西方的发展

三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的

三角学知识，主要用于测量。例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象

等。公元前600年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方

三角测量的肇始。公元前2世纪后希腊天文学家希帕霍斯（HipparchusofNicaea）为了天文观测

的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，即在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的

表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。

公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165)

继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13卷，包括从0°到90°每隔半度的

弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。

约同时代的梅内劳斯（Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》，内容包球面

三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。他

的工作使希腊三角学达到全盛时期。

(二)中国的发展

我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。据《周

髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重

差术」。1631西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启(p20)合编

的《大测》为代表。同年徐光启等人还编写了《测量全义》，其中有平面三角和球面三角的论

述。1653年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编《三角算法》，以「三角」取代「大测」，确立了

「三角」名称。1877年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探讨。

现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等，多发展于20世

纪中。

贰、三角函数的演进

正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数统称为三角函数（Trigonometric

function）。

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尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉(p16)（1707-1783）在《无

穷小分析引论》一书中首次给出的。在欧拉之前，研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进

行的。如古希腊的托勒密定半径为60；印度人阿耶波多（约476-550）定半径为3438；德国

数学家里基奥蒙特纳斯（1436-1476）为了精密地计算三角函数值曾定半径600,000；后来为制

订更精密的正弦表又定半径为107。因此，当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长。

意大利数学家利提克斯（1514-1574）改变了前人的做法，即过去一般称AB为的正弦，把

正弦与圆牢牢地连结在一起（如下页图），而利提克斯却把它称为∠AOB的正弦，从而使正弦

值直接与角挂勾，而使圆O成为从属地位了。

到欧拉(Euler)时，才令圆的半径为1，即置角于单位圆之中，从而使三角函数定义为相应的线段

与圆半径之比。

正弦、余弦

在△ABC中，a、b、c为角A、B、C的对边，R为△ABC的外接圆半径，则有

称此定理为正弦定理。

正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔.威发(940-998)首先发现与証明的。中亚细亚人阿

尔比鲁尼﹝973-1048﹞(p15)给三角形的正弦定理作出了一个証明。也有说正弦定理的証明是

13世纪的那希尔丁在《论完全四边形》中第一次把三角学作为独立的学科进行论述，首次清楚

地论証了正弦定理。他还指出，由球面三角形的三个角，可以求得它的三个边，或由三边去求

三个角。这是区别球面三角与平面三角的重要标志。至此三角学开始脱离天文学，走上独立发

展的道路。

托勒密（ClaudiusPtolemy）的《天文学大成》第一卷

除了一些初级的天文学资料之外，还包括了上面讲的弦表：

它给出一个圆从（

2

1

）°到180°每隔半度的所有圆心

D

C

B

0

A

P

.

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角所对的弦的长度。圆的半径被分为60等分，弦长以每一等分为单位，以六十进制制表达。这

样，以符号crda表示圆心角ａ所对的弦长，例如crd36°=37p4'55"，意思是：36°圆心角

的弦等于半径的60

37

（或37个小部分），加上一个小部分的60

4

，再加上一个小部分的

3600

55

，从下图看出，弦表等价于正弦函数表，因为

120

2

O

sin





crdAB

OA

AB



的直徑圓

公元6世纪初，印度数学家阿耶波多制作了一个第一象限内间隔3°45'的正弦表，依照巴比伦人

和希腊人的习惯，将圆周分为360度，每度为60分，整个圆周为21600份，然后据2πr=216000，

得出r=3438﹝近似值﹞，然后用勾股定理先算出30°、45°、90°的正弦之后，再用半角公式算

出较小角的正弦值，从而获得每隔3°45'的正弦长表；其中用同一单位度量半径和圆周，孕育着

最早的弧度制概念。他在计算正弦值的时候，取圆心角所对弧的半弦长，比起希腊人取全弦长

更近于现代正弦概

念。印度人还用到正矢和余弦，并给出一些三角函数的近似分

数式。

2.正切、余切

著名的叙利亚天文学、数学家阿尔一巴坦尼﹝850-929﹞于920年左右，制成了自0°到90°相隔

1°的余切[cotangent]表。

公元727年，僧一行受唐玄宗之命撰成《大行历》。为了求得全国任何一地方一年中各节

气的日影长度，一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表，而太阳天顶距和日影

长度的关系即为正切﹝tangent﹞函数。而巴坦尼编制的是余切函数表，而太阳高度﹝角﹞和

太阳天顶距﹝角﹞互为余角，这样两人的发现实际上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。

14世纪中叶，中亚细亚的阿鲁伯﹝1393-1449﹞，原是成吉思汗的后裔，他组织了大规模

的天文观测和数学用表的计算。他的正弦表精确到小数9位。他还制造了30°到45°之间相隔为

1'，45°到90°的相隔为5'的正切表。

在欧洲，英国数学家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁﹝1290？-1349﹞首先把正切、余切引入他的三

角计算之中。

3.正割、余割

正割﹝cant﹞及余割﹝cocant﹞这两个概念由阿布尔

─威发首先引入。c这个略号是1626年荷兰数基拉德

A

M

αα

α

B

A

O

.

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﹝1595-1630﹞在他的《三角学》中首先使用，后经欧拉采用

才得以通行。正割、余割函数的现代定义亦是由欧拉给出的。

欧洲的「文艺复兴时期」，﹝14世纪-16世纪﹞伟大的天文学家哥白尼﹝1473-1543﹞提倡地

动学说，他的学生利提克斯见到当时天文观测日益精密，认为推算更精确的三角函数值表刻不

容缓。于是他定圆的半径为1015，以制作每隔10"的正弦、正切及正割值表。当时还没有对数，

更没有计算机。全靠笔算，任务十分繁重。利提克斯和他的助手们以坚毅不拔的意志，勤奋工

作达12年之久，遗憾的是，他生前没能完成这项工作，直到1596年，才由他的学生鄂图

﹝1550-1605﹞完成并公布于世，1613年海得堡的彼提克斯﹝1561-1613﹞又修订了利提克斯

的三角函数表，重新再版。后来英国数学家纳皮尔发现了对数，这就大大地简化了三角计算，

为进一步造出更精确的三角函数表创造了条件。

4.三角函数符号

毛罗利科早于1558年已采用三角函数符号，但当时并无

函数概念，于是只称作三角线（trigonometriclines）。他以sinus1marcus表示正弦，以sinus

2marcus表示余弦。

而首个真正使用简化符号表示三角线的人是T.芬克。他于1583年创立以“tangent”（正切）及

“cant”（正割）表示相应之概念，其后他分别以符号“sin.”,“tan.”,“c.”,“”,“”,

“”表示正弦，正切，正割，余弦，余切，余割，首三个符号与现代之符号相同。后来

的符号多有变化，下列的表便显示了它们之发展变化。

使用者年代正弦余弦正切余切正割余割备注

罗格蒙格斯1622S.R.T.(Tang)

吉拉尔1626tanc.

杰克.

欧拉(tg).

谢格内.Ⅰ

巴洛ecⅠ

施泰纳1827tgⅡ

皮尔斯ccoc

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奥莱沃尔1881sincostancotccscⅠ

申弗利斯1886tgctgⅡ

万特沃斯1897sincostancotccscⅠ

舍费尔斯1921sincostgctgccscⅡ

注：Ⅰ－现代（欧洲）大陆派三角函数符Ⅱ－现代英美派三角函数符号

我国现正采用Ⅰ类三角函数符号。

1729年，丹尼尔．伯努利是先以符号表示反三角函数，如以AS表示反正弦。1736年欧拉以

At表示反正切，一年后又以Asin

c

b

表示于单位圆上正弦值相等于

b

c

的弧。

1772年，C．申费尔以.表示反正切；同年，拉格朗日采以

1

1

表示反正弦函

数。1776年，兰伯特则以表示同样意思。1794年，鲍利以表示反正弦函数。其

后这些记法逐渐得到普及，去掉符号中之小点，便成现今通用之符号，如arcsinx，arccosx等。

于三角函数前加arc表示反三角函数，而有时则改以于三角函数前加大写字母开头Arc，以表示

反三角函数之主值。

另一较常用之反三角函数符号如sin-1x，tan-1x等，是赫谢尔于1813年开始采用的，把反三角

函数符号与反函数符号统一起来，至今亦有应用。

三、三角函数的和差化积公式

下列公式

称为三角函数的和差化积公式。

法国著名数学家韦达﹝1540-1603﹞(p18)在他的著名的三角学著作《标准数学》中收集并整

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理了有关三角公式并给予补充，其中就有他给出的恒等式:

【后记】三角函数名称的由来和补充

想知道为何三角函数要叫做sin，cos这些名字吗？经过了多方的查取资料，找到了下图：

上面这个图称为三角圆（半径＝1），是用图形的方式表达各函数。其中我们可以看到，sinθ为

PM线段，也就是圆中一条弦（对2θ圆周角）的一半，所以称为「正弦」。而cosθ是OM线段，

但OM＝NP，故我们也可以将cosθ视为NOP（90°-θ）的正弦值，也就是θ的余角的正弦值，

故称之为「余弦」。其余类推。

另外，除了课本中教的六种三角函数外，我们还查到了其他的三角函数，如上图中的versθ、

coversθ和excθ。事实上，在历史上曾出现过的三角函数种类超过十种呢！但最后只剩下这六

种常用的。其他的还有如半正矢（havθ）、古德曼函数和反古德曼函数等。

【补充：小历史】

大部分的三角函数一开始都是由于天文上的需要而造出来的。在三角函数传入中国时，正、余

矢函数还未废弃，故徐光启将八种三角函数称为「八线」。后来因为矢类函数废弃不用，故八线

之名渐被「三角」取代，但统一的名称还是到了民国以后才确立的。

泰勒斯﹝TalesofMiletus﹞

约公元前625-前547，古希腊

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古希腊哲学家、自然科学家。生于小亚细亚西南海岸米利都，早年是商人，曾游历巴比

伦、埃及等地。泰勒斯是希腊最早的哲学学派──伊奥尼亚学派的创始人，他几乎涉猎

了当时人类的全部思想和活动领域，被尊为『希腊七贤』之首。而他更是以数学上的发

现而出名的第一人。他认为处处有生命和运动，并以水为万物的本源。

泰勒斯在数学方面的划时代贡献是开始引入了命题证明的思想，它标志着人们对客观事

物的认识从经验上升到理论。这在数学史上是一次不寻常的飞跃，其重要意义在于：

保证命题的正确性，使理论立于不败之地；

揭露各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；

使数学命题具有充份的说服力，令人深信不疑。

数学自此从具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，逐渐形成一门独立的、演译的科

学。

证明命题是希腊几何学的基本精神，而泰勒斯是希腊几何学的先驱。在几何学中，下列的基本

成果归功于他：

圆被任一直径所平分；

等腰三角形的两底角相等；

两条直线相交，对顶角相等；

已知三角形两角和夹边，三角形即已确定；

对半圆的圆周角是直角；

相似三角形对应边成比例等等。

泰勒斯在埃及时还曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，说明相似形已有初步认识。

在天文学中他曾精确地预测了公元前585年5月28

日发生的日食，还可能写过《航海天文学》一书，并已知按春分、夏至、秋分、冬至划分四季

是不等长的。

阿尔-比鲁尼al-Biruni﹝973-1050﹞

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比鲁尼生于今乌兹别克的一个城市，毕生从事科学研究和写作，共写了大约146部著作，但留

传至今的只有22部。按已知其页数的著作估算，比鲁尼写出的手稿当有13000页之多，当中几

乎涉及到当时所有科学领域，如天文学、历史学、地理学、数学、力学、医学、葯物学、气象

学等。比鲁尼特别偏重于那些易受数学影响的学科，其大部份之著作均是天文学和占星术有关。

他在数学的应用，尤其在数学的传播、东西方数学的交流方面，做出了突出的贡献。

欧拉（EulerLeonhard，1707－1783）

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欧拉，瑞士数学家及自然科学家。在1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年

9月18日于俄国的彼得堡去逝。欧拉出生于牧师家庭，自幼已受到父亲的教育。13岁

时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。

欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣的是数学。在上大学时，他已受到约翰第一．

伯努利的特别指导，专心研究数学，直至18岁，他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数

学，于19岁时（1726年）开始创作文章，并获得巴黎科学院奖金。

1727年，在丹尼尔．伯努利的推荐下，到俄国的彼得堡科学院从事研究工作。并在1731

年接替丹尼尔第一．伯努利，成为物理学教授。

1735年，他因工作过度以致右眼失明。在1741年，他受到普鲁士腓特烈大帝的邀请

到德国科学院担任物理数学所所长一职。他在柏林期间，大大的扩展了研究的内容，如

行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等，这些工作与他的数学研究互相推

动着。与此同时，他在微分方程、曲面微分几何及其他数学领域均有开创性的发现。

1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。在1771年，一场重病使他的左眼

亦完全失明。但他以其惊人的记忆力和心算技巧继续从事科学创作。他通过与助手们

的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的最后一刻。

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欧拉是数学史上最多产的数学家，我们现在习以为常的数学符号很多都是欧拉所发明介

绍的，例如：函数符号f(x)、圆周率π、自然对数的底e、求和符号Σ、logx、sinx、

cosx以及虚数单位i等。乔治西蒙曾称他为数学界的莎士比亚。

韦达FrancoisViète（1540-1603）

法国数学家。亦译维埃特。因其著作均用拉丁文发表，故名字当用拉丁文拼法，译为韦达（Vi

ta）。1540年生于普瓦图地区丰特奈－勒孔特，1603年12月13日卒于巴黎。早年在普瓦捷

大学学习法律，1560年毕业后成为律师，后任过巴黎行政法院审查官，皇家私人律师和最高法

院律师。1595-1598年对西班牙战争期间破译截获的西班牙密码，卓有成效。他业余研究数学，

并自筹资金印刷和发行自己的著作。

主要著作有：《应用三角形的数学定律》（1579），给出精确到5位和10位小数的6种三角

函数表及造表方法，发现正切定律、和差化积等三角公式，给出球面三角形的完整公式及记忆

法则：《截角术》（1615年出版），给出sinnx和cosnx的展开式；《分析术入门》（1591），

创设大量代数符号，引入未知量的运算，是最早的符号代数专著；《论方程的识别与订正》（1615

年出版），改进了三、四次方程的解法，给出三次方程不可约情形的三角解法，记载了著名的

韦达定理（方程根与系数的关系式）；《各种数学解答》（1593）中给出圆周率π值的第一个

解析表达式，还得到π的10位精确值等等。

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徐光启﹝公元1562-1633年﹞

徐光启，字子先，号玄扈，生于上海，于1604年考中进士，相继任

礼部右侍郎、尚书、翰林院学士、东阁学士等，最后官至文渊阁大学

士，他毕生致力于介绍西方科学，同时注意总结中国的固有科学遗产，

编成巨著《农政全书》，成为我国近代科学的启蒙大师。

徐光启除与利玛窦合译《几何原本》前六卷外，还有《测量全义》﹝公元1631年﹞，这是西方

三角学及测量术传入我国之始。公元1629年﹝崇祯二年﹞，徐光启首次应用西方天文学和数学

正确推算日蚀。同年七月，礼部决定开设历局，由徐光启组建，于是，一些西方传教士如龙华

尼﹝意大利人﹞、郑玉函﹝瑞士人﹞、汤若望﹝德国人﹞、罗雅谷﹝意大利人﹞先后参与了中

国的历法改革工作。从公元1629至1643年，明亡止，共完成了《崇祯历书》137卷，主要介

绍当时欧洲天文学家第谷﹝﹞的地心学说，数学方面则以平面几何与球面三角据

多。