函数最大值最小值公式

1/4

xX

2

oa

X

3b

x

1

y

函数的最大与最小值（5月8日）

教学目标：1、使学生掌握可导函数

)(xf

在闭区间ba,上所有点（包括端点

ba,

）处的函数中的最大（或最小）值；

2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法

教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法

教学难点：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力

一、复习：

1、___________/nx

；2、_____________)()(/xgxfC

3、求y=x3—27x的极值。

二、新课

在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小

观察下面一个定义在区间ba,上的函数

)(xfy

的图象

发现图中____________是极小值，_________是极大

值，在区间ba,上的函数

)(xfy

的最大值是______，最小值是_______

在区间ba,上求函数

)(xfy

的最大值与最小值的步骤：

1、函数

)(xfy

在

),(ba

内有导数

．．．

；

．

2、求函数

)(xfy

在

),(ba

内的极值

3、将

．

函数

)(xfy

在

),(ba

内的极值与

)(),(bfaf

比较，其中最大的一个为最大

值，最小的一个为最小值

三、例1、求函数5224xxy在区间2,2上的最大值与最小值。

解：先求导数，得xxy443/

令/y＝0即0443xx解得1,0,1

321

xxx

导数/y的正负以及)2(f，)2(f如下表

X

－2（－2，－

1）

－1（－1，0）0（0，1）1（1，2）2

y/0＋0－0＋

y1345413

从上表知，当2x时，函数有最大值13，当1x时，函数有最小值4

在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，

效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。

例2用边长为60CM的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分

别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，问水

箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？

2/4

例3、已知某商品生产成本C与产量P的函数关系为C＝100＋4P，价

格R与产量P的函数关系为R＝25－0.125P，求产量P为何值

时，利润L最大。

四、小结：

1、闭区间ba,上的连续函数一定有最值；开区间

),(ba

内的可导函数

不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。

2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可

能不止一个，也可能没有一个。

3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数

在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即

可，不必再与端点的函数值进行比较。

五、练习及作业：：

1、函数452xxy在区间1,1上的最大值与最小值

2、求函数33xxy在区间3,3上的最大值与最小值。

3/4

3、求函数5224xxy在区间2,2上的最大值与最小值。

4、求函数155345xxxy在区间4,1上的最大值与最小值。

5、给出下面四个命题

（1）函数452xxy在区间1,1上的最大值为10，最小值为－

4

9

（2）函数1422xxy（2＜X＜4）上的最大值为17，最小值为1

（3）函数xxy123（－3＜X＜3）上的最大值为16，最小值为－16

（4）函数xxy123（－2＜X＜2）上无最大值也无最小值。

其中正确的命题有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

6、把长度为LCM的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形

的面积最大。

7、把长度为LCM的线段分成二段，围成一个正方形，问怎样分法，所围成正

方形的面积最小。

8、某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件X元出售，可以卖出

(200-X)件，应该如何定价才能使利润L最大？

4/4

9、在曲线Y=1—X2(X0，Y0)上找一点了(

00

,yx)，过此点作一切线，与

X、Y轴构成一个三角形，问X

0

为何值时，此三角形面积最小？

10、要设计一个容积为V的圆柱形水池，已知底的单位面积造价是侧面的单位

面积造价的一半，问：如何设计水池的底半径和高，才能使总造价最少？

(提示：

2

/11

x

x















)