初等矩阵的逆矩阵

1

考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法

来源：文都教育

在考研数学线性代数中，初等变换是一种非常重要的方法，被广泛地用于很

多题型的求解之中，如行列式的计算、矩阵的求逆、线性方程组的求解、矩阵秩

的计算、化二次型为标准型等。初等变换包括初等行变换和初等列变换，具体说

有三种：互换两行（列）、某行（列）乘以一个非零数、某行（列）乘以一个数

加到另一行（列）。下面我们对初等变换在矩阵求逆及乘积中的应用做些分析总

结，供各位考研的学子参考。

一、用初等变换求逆矩阵及乘积的方法

1、用初等行变换求逆矩阵1A：对(,)AE作初等行变换，将其中的A变为单

位矩阵E，这时单位矩阵E就变为1A，即1(,)(,)

r

AEEA，由此即求得1A；

2、用初等列变换求逆矩阵1A：求1A也可用初等列变换，对

A

E







作初等列

变换，将其中的A变为单位矩阵E，这时单位矩阵E就变为1A，即

1

cAE

EA









，

由此即求得1A；

3、用初等行变换求1AB：对(,)AB作初等行变换，将其中的A变为单位矩

阵E，这时矩阵B就变为1AB，即1(,)(,)

r

ABEAB，由此即求得1AB；

4、用初等列变换求1BA：对

A

B







作初等列变换，将其中的A变为单位矩阵

E，这时矩阵B就变为1BA，，即

1

cAE

BBA









，由此1BA此即求得1BA.

2

上面的1）和2）实际上是3）和4）的特殊情况，只要取BE即得1）和

2）。

下面只要证明3）和4）即可。

证：3）由于作一次初等行变换相当于左乘一个初等矩阵，所以对A作一系

列的初等行变换得到单位矩阵E相当于A左乘一个可逆阵P，使PAE，这时

1PA

，1(,)(,)(,)(,B)PABPAPBEPBEA，即1(,)(,)

r

ABEAB；

4）同3）类似，由于作一次初等列变换相当于右乘一个初等矩阵，所以对A

作一系列的初等列变换得到单位矩阵E相当于A右乘一个可逆阵P，使APE，

这时1PA

，

1

AAPE

P

BBPBA









，即

1

cAE

BBA









.

二、典型实例

例1.设

011

111

112

A

















，求1A.

解：作初等行变换：

(,)0

1

rr

AE

















1

2

(,)

rr

EA

















，故

1

312

111

211

A

















.

例2.解矩阵方程

211

113

210

432

111

X

























.

3

解：记上面的方程为XAB，因为0A，所以A可逆，1XBA

，

对

A

B







作初等列变换得：

211121100

210120101

111111130

113113132

432342325

cccA

B

































100100

100

110010

110

101001

103

121221

123

282

352

355

333

ccc

















































，故1

221

82

5

33

XBA

















.

矩阵的逆运算是一种最基本最重要的运算，而初等变换是求逆矩阵的一种最

常用的方法，大家一定要熟练掌握。在上面计算1AB和1BA的方法中，我们分

别通过初等行变换和列变换一次性求出其结果，这显然比先求出1A然后求乘积

1AB和1BA要简捷方便，在考试中也能节省时间和提高解题速度。最后祝愿各

位考研成功。