切线支距法

曲线桥坐标计算方法--最终版

郑宏征

武九项目部测量室2014年在岗培训

——《平分中矢架梁线偏法》

摘要：在铁路桥梁施工前，其各部位坐标计算工作至关重要。现施工应用

中曲线桥坐标计算方法纷繁复杂，精准程度也参差不齐。本文介绍的方法依

据为平分中矢法，适用于梁按平分中矢法架设的曲线桥计算，主要是根据设

计已给出梁工作线交点与线路中线偏移距及梁作业线转角等要素来计算曲

线桥梁各部位坐标。

关键词：铁路；曲线桥；坐标计算；平分中矢

一.概述

桥梁设计图纸通常是给定了曲线桥桥位要素：ZH(HZ)点、HY(YH)点里

程；交点坐标；曲线要素；梁缝里程；偏移距；梁工作线转角等。因此在施

工前，需要详细的计算出墩位平面控制坐标，以此结合现场导线点控制点进

行放样。曲线桥施工平面控制要素主要是承台墩台中心坐标及轴线的坐标方

位角，以此为依据确定桩位及架梁支座预留孔等位置。

主体思路为：

1．计算线路中线处梁工作线交点对应里程点的坐标；

2．计算梁工作线交点坐标；

3．确定墩（承台）轴向方位角；

4．确定墩（承台）中心坐标；

5．确定桩位坐标。

二.计算公式介绍

(一)直线部分计算公式

在平面坐标系中，已知点A坐标、线段

AB的长度及坐标方位角（图1所示），则可

求得点B坐标为：

cos

01

dXX

sin

01

dYY

(二)曲线部分计算公式

带有缓和曲线的圆曲线上各点坐标计算思路：根据设计给定的交点坐标

及坐标方位角可按公式1计算出ZH(HZ)点坐标；然后计算曲线各点相对

ZH(HZ)点的坐标；根据相对的角度和距离计算曲线上点的大地坐标。

1.切线支距法计算相对坐标

切线支距法是以ZH(HZ)点为坐标原点，以过原点的切线为x轴，过原

点的曲率半径方向为y轴，计算缓和曲线及圆曲线上各点相对于原点的x、y

坐标（图2所示）。

(1)缓和曲线上各点坐标

22

5

40

s

lR

l

lx

s

Rl

l

y

6

3



式中：

s

l

—缓和曲线全长（m）;

R

—圆曲线半径（m）;

图1点坐标示意图

图2切线支距法

公式1

公式2

l

—缓和曲线上任一点P到原点的曲线长（m）；



—缓和曲线上任一点的切线角

s

Rll2/2

（rad）。

(2)圆曲线上各点坐标

qRxsin

pRy)cos1(

其中:0

180











R

l

；

R

l

ps

24

2

；

2

3

2402R

ll

qss

式中：

R

—圆曲线半径（m）;

l

—该点到HY或YH点的圆曲线长度（m）。

p

—在直线与圆曲线间插入缓和曲线时圆曲线的内移值（m）;

q

—在直线与圆曲线间插入缓和曲线时切线增长值（m）;

2.偏角法计算绝对坐标

根据P点相对于ZH(HZ)点的坐标x，y可计算出弦长c和偏角δ。

x

y

arctan

22yxc

根据ZH(HZ)点坐标及ZH→JD坐标方

位角

0



，可计算出弦线的坐标方位角



0

，结合弦线长c利用公式1便可计算

曲线上任一点P的坐标（图3所示）。

三.计算实例

(一)设计资料

XX单线大桥（15×32m）曲线要素（曲线示意如图4所示）：

公式3

图3偏角法示意图

公式4

z

=-11°25′09″（左偏）；

R—800m；

s

l

—80m；

T=120.02；

ZH—ZD1K1+841.82；

HY—ZD1K1+921.82；

YH—ZD1K2+001.26；

HZ—ZD1K2+081.26；

ZJD4（X=2760633.91，Y=503885.10）；

ZJD5（X=2760315.55，Y=503308.25）；

ZJD6（X=2760078.42，Y=503028.77）。

其中，0#台～6#墩、14#墩、15#台均在直线上；7#、8#、9#、12#、13

#墩位于缓和曲线上；10#、11#墩位于圆曲线上。直线、缓和曲线和圆曲线上

墩台，分别以以典型为例。

表1曲线布置表

墩台号梁缝里程

偏距E

（cm）

梁缝

（cm）

偏角(α)

交点距

(m)

所处位置

0#台尾

K1+616.03

000°00′00″7.95直线

7#墩

K1+855.70

060°20′60″32.71缓和曲线

10#墩

K1+954.02

8102°20′57″32.80圆曲线

(二)计算步骤

1.线路中桩坐标计算

ZJD5→ZJD4坐标方位角

2760315.55-2760633.91

503308.25-503885.10

arctan

45







=61.11°

ZJD5→ZJD6坐标方位角

2760315.55-2760078.42

503308.25-503028.77

arctan

65







=229.69°

图4曲线示意图

切线长T=120.02m，则可得：

ZH点坐标：11.61cos02.12055.2760315X=2760373.543

11.61sin02.12025.503308Y=503413.329

HZ点坐标：69.229cos02.12055.2760315X=2760237.901

69.229sin02.12025.503308Y=503216.733

(1)直线上线路中桩坐标

直线上，根据ZH（HZ）点坐标、坐标方位角

45



(

65



)及点间距离，

利用公式1，可求得梁缝里程处线路中桩坐标。以0#台尾坐标为例：

11.61cos)03.161682.1841(543.2760373X=2760482.642

11.61sin)03.161682.1841(329.503413Y=503611.011

同理，可计算其他墩台梁缝里程处线路中桩坐标。

(2)缓和曲线上线路中桩坐标

缓和曲线上根据ZH（HZ）点坐标、坐标方位角

45



(

65



)及曲线要素，

利用公式2及公式4，可求得梁缝里程处线路中桩坐标。以7#墩坐标为例：

22

5

8080040

)82.184170.1855(

)82.184170.1855(





x=13.880

808006

)82.184170.1855(3





y=0.007

880.13

007.0

arctan

=0.03°

22007.088.13c

=13.9m

弦线坐标方位角



54#7

=61.11+180-0.33=241.08°

08.241cos9.13543.2760373X=2760366.830

08.241sin9.13329.503413Y=503401.181

同理，可计算其他墩台梁缝里程处线路中桩坐标。

(3)圆曲线上线路中桩坐标

圆曲线上根据ZH（HZ）点坐标、坐标方位角

45



(

65



)及曲线要素，

利用公式3及公式4，可求得梁缝里程处线路中桩坐标。为了方便复核，我

们以QZ点为分界点把圆曲线分成两段，并从ZH（HZ）分别向QZ点计算，

在QZ点复核闭合情况。以10#墩坐标为例：





























180

8002

80

800

)82.192102.1954(

=5.157°

80024

802



p

=0.333

2

3

800240

80

2

80



q

=39.997

97.939157.5sin800x=112.099

33.30)57.15cos1(800y

=3.589

99.0112

89.53

arctan

=1.83°

22589.3099.112c

=112.2m

弦线坐标方位角



54#10

=61.11+180-1.83=239.27°

27.239cos2.112543.2760373X=2760316.235

27.239sin2.112329.503413Y=503316.919

同理，可计算其他墩台梁缝里程处线路中桩坐标。

2.梁工作线交点坐标计算

(1)直线上梁缝里程处线路中桩点即为梁工作线交点。

(2)缓和曲线及圆曲线上梁工作线交点较线路中桩点沿曲线法线方向外

移偏距E。

缓和曲线上任一点的切线角为

s

Rll2/1802

；

圆曲线上任一点的切线角为0

180











R

l

。

以7#墩为例：

切线角为：

808002/)82.184170.1855(2

#7



=0.002rad=0.1146°

则该点处切线方位角为

#754





，由曲线左偏可计算出梁缝里程处线路

中心的法线坐标方位角：90

#754







=61.11+180-0.1146+90=330.995°。

其它任意墩上梁作业线交点坐标的均可按公式1计算：

cos

01

EXX

sin

01

EYY

其中

0

X

、

0

Y

为对应的线路中桩坐标；E为设计给出的偏移距；为中

桩点处的法线坐标方位角。

3.承台纵轴线方位角计算

(1)根据梁两端的工作线交点坐标，可计算出该跨梁作业线的坐标方位

角α′；

(2)根据设计给定的偏角(α)，可求得承台纵轴向（即梁工作线交角平分

线）的坐标方位角α轴=α′±α/2。承台中心坐标与墩台中心坐标一致。

4.桩位坐标计算

根据已知的承台中心坐标及轴线方位角，建立相对坐标系，桩位中心可

轻易求得，此处不赘述。

5.注意事项

(1)高低跨桥墩梁缝与墩横轴线不重合，计算时先得出梁缝坐标，然后根

据纵向偏心距及墩台纵轴线方位角来计算墩中心坐标；

(2)曲线位置上桥台计算方法与桥墩有所不同。它是根据台尾、台前偏距

E值，分别计算台尾、台前对应坐标，然后连成直线，此直线即为桥台纵向

轴线。

参考文献：

[1]许娅娅，雒应．测量学（第二版）．北京：人民交通出版社，2002．3

[2]XXX特大桥施工图

邮箱：57759412@）