右连续

二、函数在一点单侧连续的概念

【导语】

函数在一点单侧连续指的是函数在一点左连续或右连续。当研究分段函数在分端点，或

研究函数在其定义区间的端点的连续性时，都会碰到单侧连续的问题。本讲将介绍左连续和

右连续的概念，并给出函数在一点连续与左、右连续的关系。

【正文】

定义2设函数()fx在区间

000

(,]xx内有定义，若

0

0

lim()()

xx

fxfx





成立，则称函数

()fx在

0

x处左连续；

设函数()fx在区间

00

[,)xx内有定义，若

0

0

lim()()

xx

fxfx





成立，则称函数()fx在

0

x处

右连续．左连续与右连续统称为单侧连续．

对于分段函数，在分段点处我们只能首先讨论它的单侧连续性；对于定义在区间[,]ab上

的函数，在区间端点我们也只能讨论它的单侧连续性．

若函数()fx在区间(,)ab内的每一点都连续，就说()fx在该区间内连续．一般地，用

(,)Cab表示所有在区间(,)ab内连续的函数，即()(,)fxCab表示函数()fx在区间(,)ab内

的每一点都连续．

若函数()fx在区间(,)ab内的每一点都连续，且在x

a处右连续，在xb处左连续，

则说()fx在区间[,]ab上连续．一般地，用[,]Cab表示所有在区间[,]ab上连续的函数．

定理1(连续与单侧连续的关系）函数()fx在

0

x

处连续的充分必要条件是：()fx在

0

x

处既是左连续又是右连续．

例1判断取整函数[]yx在整数点的单侧连续性．

解对任意的整数n，当(1,)xnn时，根据取整函数的定义可知

[]1yxn，

所以

lim[]1

xn

xn





．

当[,1)xnn时，有[]yxn，所以

lim[]

xn

xn





．

因为[]nn，所以

lim[][]

xn

xn





，

lim[][]

xn

xn





．

故取整函数[]yx在整数点右连续，但并不左连续．

例2已知函数

2

ln(1)

,0

()

1,0,

x

x

fx

x

xx



















,

≥

判断()fx在0x处的连续性．

解因为(0)1f，且

000

ln(1)

lim()limlim1

xxx

xx

fx

xx





，

所以

0

lim()(0)

x

fxf





．即()fx在0x处左连续．

又因为

2

00

lim()lim(1)1

xx

fxx





，

所以

0

lim()(0)

x

fxf





．即()fx在0x处右连续．

由于()fx在0x处既是左连续又是右连续，所以()fx在0x处连续．

例3当常数,ab取什么值时，函数

,0,

e1

(),0,

5,0

ax

xbx

fxx

x

x























在0x处连续？

解因为

000

e1

lim()limlim

ax

xxx

ax

fxa

xx





，且(0)5f，

所以当且仅当5a时函数()fx在0x处左连续．

又因为

00

lim()lim()

xx

fxxbb





，

所以当且仅当5b时函数()fx在0x处右连续．

综上可知，当且仅当5a，5b时，函数()fx在0x处连续．

【本讲总结与下讲预告】

本讲介绍了函数在一点左连续和右连续的概念；给出了函数在一点连续与左、右连续的

关系；了解了利用左、右连续处理相关问题的常用方法。下一讲将介绍函数间断点的分类情

况。