齐次方程的通解

1

创作编号：BG7531497SX

创作者：别如克*

第二讲一阶微分方程

【教学内容】

齐次微分方程、一阶线性微分方程

【教学目的】

理解齐次微分方程的概念，掌握齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法。

【教学重点与难点】

齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法

【教学过程】

一、齐次微分方程：

形如

()

dyy

f

dxx

的微分方程；叫做齐次微分方程

对它进行求解时，只要作变换

y

u

x

原方程便化为可分离变量的微分方程来求解。

于是有,

dydu

yuxux

dxdx

，从而原方程可化为()

du

uxfu

dx

，

即

()dufuu

dxx





此方程是可分离变量的微分方程。按可分离变量微分方程的解法，求出方程的通

解，再将变量u还原为

y

x

，所得函数就是原方程的通解。

例1、求微分方程22()2xydxxydy，满足初始条件

1

0

x

y



的特解。

解：方程可化为

2

221()

2

2()

y

dyxy

x

y

dxxy

x







2

它是齐次方程。令

y

u

x

，代入整理后，有

21

2

duu

dxxu





分离变量，则有

2

1

12

u

dudx

ux





两边积分，得

2

111

()ln(1)()ln()ln

222

uxc

即2(1)1cxu

将

y

u

x

代入上式，于是所求方程的通解为

222()cxyx

把初始条件

1

0

x

y



代入上式，求出1c，故所求方程的特解为

22yxx

二、一阶线性微分方程

形如

()()yPxyQx





的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)、Q(x)都是连续函数。

当Q(x)=0时，方程

()0yPxy





称为一阶线性齐次微分方程；

当Q(x)≠0，方程称为一阶线性非齐次微分方程。

1.一阶线性齐次微分方程的解法

将方程

()0yPxy





分离变量得

()

dy

Pxdx

y



3

两边积分得

ln()lnyPxdxC





方程的通解为

()Pxdx

yCe





(C为任意常数)

例2、求微分方程20yxy



的通解。

解法1（分离变量法）

所给方程是一阶线性齐次方程

变量分离得2

dy

xdx

y



两边积分得

2

ln

1

yxC

即

2

1

xC

ye





令

1

C

Ce方程的通解为

2

x

yCe





解法2（公式法）

将P(x)=2x代入通解公式，得通解

2

()2Pxdxxdx

x

yCeCeCe









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创作者：别如克*

2.一阶线性非齐次微分方程的解法

非齐次方程与齐次方程的差异仅是方程右边的项Q(x)。从齐次方程的通解

()Pxdx

yCe







的结构及导数运算的规律,我们有理由推测非齐次方程的解形如

4

()

()

Pxdx

yCxe







(C(x)是关于x的函数）

代入非齐次方程，得

()

()()

Pxdx

CxQxedxC







一阶非齐次线性方程通解的公式为：

()()

[()]

PxdxPxdx

yeQxedxC







或

()()()

()

PxdxPxdxPxdx

yCeeQxedx









齐次方程

非齐次方程

的通解

的特解

()()()

()

PxdxPxdxPxdx

yCeeQxedx









齐次方程

非齐次方程

的通解

的特解

上述求解方法称为常数变易法.

用常数变易法求一阶非齐次线性方程通解的步骤为：

（1）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解；

（2）利用常数变易法设出非齐次线性方程的一个特解；

（3）将所设特解代入非齐次线性方程，解出C(x)，写出非齐次线性方程的通解.

例3、求微分方程2

x

yye



的通解.

解法1（常数变易法）

原方程变形为:

11

22

x

yye





对应的齐次方程为：

1

0

2

yy





得通解为

11

()

22

dxx

Pxdx

yCeCeCe









设原方程的解为

5

1

2

()

x

yCxe

从而

11

1

22

()()

2

xx

yCxeCxe





代入原方程得

111

111

222

()()()

222

xxx

x

CxeCxeCxee





化简得

1

()

2

x

Cxe





两边积分，得

2

()

x

CxeC

所以，原方程的通解

1

22

()

x

x

x

yCxeCee

解法2（用公式法）

11

(),()

22

x

PxQxe

把它们代入公式得

1

1

()

1

2

2

2

dx

dx

x

yeeedxC





























1

22

()

2

xx

x

eeedxC







6

22

()

xx

eeC

例4、已知曲线过点（0，0），且该曲线上任意点p（x，y）处的切线的斜率为该点的

横坐标与纵坐标之和，求此曲线方程。

解法1（采用常数变易法求解）设所求的曲线方程为y=y（x），由导数的几何意义有

yxy





即

yyx





初始条件为下(0)0y

由0yy



分离变量并积分，得

xyce

令()xyuxe，则()()xxyuxeuxe



，把y，y



代入方程中，于是有

()xuxxe



两端积分后，得

()(1)xuxxec（c为任意常数）

将上式代入

()xyuxe，从而方程的通解为

(1)xycex

再把初始条件(0)0y代入上式，解出c=1，因此方程的特解为

1xyex

这就是所求的曲线方程。

解法2（采用公式法求解）原方程中的()1px，()qxx，把它们代入公式得

(1)(1)()dxdxyexedxc



()xxexedxc

()xxxexeec

7

1xxce

把(0)0y代入上式得1c，于是所求的曲线方程为

1xyex

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