排列数

排列及排列数的计算

3.1.1排列及排列数的计算

课型：新授课

课时：1课时

教材分析

排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，

并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与

顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求

解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中

学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.

分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，

也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，

这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两

个原理入手带有根本性.

教学目标

1、知识与技能目标

理解排列、排列数的概念;掌握排列数公式；正确理解排列、排列数的概念，

能够解决一些与排列有关的问题.

2、过程与方法

通过本节课的学习，是学生体验从特殊到一般的思维方式，并进一步了解化

归的数学思想，进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力.

3、情感态度与价值观

培养学生学会透过现象抓住本质，通过对事物，现象本质的进一步分析得出

一般规律；通过小组合作增强学生的协助能力和创新意识，进而提高学生的综

合素质.

教学重点、难点

重点：排列数公式的理解与运用；排列应用题常用的方法有直接法，间接法。

难点：排列数公式的推导。

教学过程

一、复习引入：

1．分类计数原理;2．分步计数原理.

分类计数原理和分步计数原理，都是研究做一件事共有多少种不同方法的

问题，区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独

立，每一种方法都可以做完这件事，用的是加法;分步计数原理针对的是“分步”

问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事，我

们用的是乘法

二、讲解新课：

1．提出问题：

问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1人

参加上午的活动，1人参加下午的活动，有多少种不同的方法?

分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选出2名同学，按照参

加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排成一列，共有多少种不同的排

法的问题.

利用分步计数原理:

第一步从3名同学中任选一名参加上午的活动，有3种选择,

第二步从余下的2名同学中任选一名参加下午的活动，有2种选择，

共有3×2=6种不同的方法.

用动画把甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙六种排法给展示出来.

甲乙、乙甲这两种安排方法，都是甲和乙参与活动，由于我们对甲和乙两

人的安排是有顺序的，顺序不同，意义也就不同.

其中被选取的对象叫做元素.

刚才的排序,如果经过数学抽象，实质上是从已知的3个不同元素中每次

选出2个，再按照一定的顺序排成一列.

问题2：从

a,b,c,d

这四个字母中，每次取出3个按由左向右的顺序排成一

列，共有多少种不同的排法？

分析：解决这个问题分三个步骤：

第一步先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；

第二步确定中间的字母，从余下的3个字母中任取1个，有3种方法；

第三步确定右边的字母，从余下的2个字母中任取1个，有2种方法

根据分步计数原理共有：4×3×2=24种不同的方法.用树型图排出：

2．排列的概念：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，

叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

注：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同

练习：判断下列问题是不是排列问题：

（1）从6名同学中选出4名去天安门参观的问题;

（2）从6名同学中选出4名分别担任语、数、外、体育课代表的问题;

3．排列数的定义：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个

元素中取出m元素的排列数，用符号m

n

P表示

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取

m个元素按照一定的顺序

．．．．．

排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，

任取m（mn）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m

n

P只表示排列

数，而不表示具体的排列

4．排列数公式及其推导：

求3

n

P可以按依次填3个空位来考虑，∴3

n

P=

(1)(2)nnn

，

求m

n

P以按依次填m个空位来考虑(1)(2)(1)m

n

PnnnnmL，

排列数公式：

(1)(2)(1)m

n

PnnnnmL

（,,mnNmn）

注：（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个

少1，最后一个因数是1nm，共有m个因数；

（2）全排列：当nm时即n个不同元素全部取出的一个排列

全排列数：(1)(2)21!n

n

PnnnnL（叫做n的阶乘）

另外，我们规定0!=1.

!

()!

n

m

n

n

nm

nm

P

n

P

Pnm







.

例:1：计算2

5

P和4

4

P

解：24

54

54204!；

例2：某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各

队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？

解：任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素

中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是2

14

P=14×13=182.

例3：(1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，有多

少种不同的送法？

(2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不

同的送法？

解：(1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不

同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是3

5

P=5×4×3=60.

(2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方

法，因此送给3名同学每人各1本书的不同方法种数是5×5×5=125.

注：(1）是从5本不同的书中选出3本分送3名同学，各人得到的书

不同，属于求排列数问题；而（2）中，由于不同的人得到的书可能相同，因

此不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算．

例4：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分

析：在本问题的。到9这10个数字中，因为。不能排在百位上，而其他数可

以排在任意位置上，因此。是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素

的排列位置人手来考虑问题

解法1：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是O，因此

可以分两步完成排列．第1步，排百位上的数字，可以从1到9这九个数字中

任选1个，有1

9

P种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从余下的9个

数字中任选2个，有2

9

P种选法．根据分步乘法计数原理，所求的三位数有

12

99

PP=9×9×8=648（个）.

解法2：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为3

10

P，其中O在

百位上的排列数是2

9

P，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位

数的个数，

3

10

P-2

9

P=10×9×8-9×8=648.

三、课时小结

1、排列的概念、排列数的概念；

2、排列数公式；

3、正确理解排列、排列数的概念，在排列公式的推导过程中，要透过现象

抓住本质,通过对事物本质的进一步分析，不断提高我们的数学思维能力与计算

能力.

四、作业练习3.1.1第2、3题

板书设计（略）

教学反思：

排列的特征：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”,“一定

顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根

据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的

排列顺序也相同.了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会

“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。