几何级数

数学趣话：用阿基米德面积方法求几何级数和太妙了！

阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学

家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿

基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家。阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬

起整个地球。”

数学大师

阿基米德在数学上也有着极为光辉灿烂的成就，特别是在几何学方面。

阿基米德的数学思想中蕴涵微积分，阿基米德的《方法论》中已经“十分接近现代微积分”，

这里有对数学上“无穷”的超前研究，他所缺的是没有极限概念，但其思想实质却伸展到17

世纪趋于成熟的无穷小分析领域里去，预告了微积分的诞生。

阿基米德将欧几里德提出的趋近观念作了有效的运用。他利用“逼近法”算出球面积、球

体积、抛物线、椭圆面积，后世的数学家依据这样的“逼近法”加以发展成近代的“微积分”。

巧妙解决无穷级数计算

阿基米德在求解抛物线与截线围成的弓形面积时，需要求解下面几何级数

他巧妙地运用几何方法解决了这一问题。

将一个边长为1的正方形分割为如下所示的无数的L形块，每个深色块均占其所在的L

形块面积的三分之一。这些深色正方形块的面积即是所求级数的各项。

显然，其结果为

下面我们应用这一方法来求另一几何级数的和：

取一等边三角形，将其作如下分割

可知蓝色三角形面积依次为的、……

而每个蓝色三角形又占“每层”的，因此可以求得