n的单位

1

n次单位根

一.复数的几何表示-----关于模和辐角

1.复数z=a+bi的表示

(1)我们可以作为平面上以a和b为坐标的点来画出每一个复数=(a,b).这个

用它的点来代表复数的平面称为复数平面.对应于数0的坐标原点简称为原点.

在这样的复数表示法下,横轴上的点代表实数.而纵轴上的点表示纯虚数.因

此横轴称为实轴,纵轴称为虚轴.

(2)复数还可以用从原点出发的矢量表示.在这样的复数表示法下,实数部

分a与虚数部分的系数b就称为该矢量的分量.

2.复数加法的几何意义

设和是两个复数,于是:

和数+可以表为它的分量等于矢量和的对应分量之和的矢量.

也就是说,数+可以用以矢量与为相邻边的平行四边形的对角形表示.

3.模与辐角的概念

设复数bia

,

22bar

这个正数r叫做复数的模,记作||.与r为半径原点为中心的圆周上的点所表示

的具有同一个模r.数0是唯一的以零为模的复数.

矢量的方向是由Ox轴正方向与该矢量的方向间的交角确定的,用表示.

这个称为复数的辐角.记作arg.有:

2

a

b

tan.

对于每一个复数,它的辐角可以有无穷多个,彼此间各差2的若干倍.数0

是唯一的数,其辐角没有定义.我们有sin,cosrbra,因此

).sin(cossincosirirrbia

4.复数的乘法----关于模和辐角的定理

作两个复数

)sin(cos

),sin(cos





i

ir





的乘积可得:))sin()(cos(ir.于是有如下性质:

argarg)arg(|,|||||

就是说,两个复数的乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数的乘积的辐角等于

它们的辐角之和.

把上述的乘积推广到n个复数的乘积:

|;|||||||

argargarg)arg(.

特别地,arg)arg(,||||nnnn.我们得到如下的隶莫佛尔公式:

)sin(cos)]sin(cos[ninrirnn.

[(cossin)][cos()sin()]nnrirnin.

二.关于复数的n次根

设)sin(cosirbia,我们定义n为一个自乘n次后等于的复

数.这个数的模显然等于nr,它的辐角等于

n

k2

,其中k是任意的整数.令

k=0,1,2，…,n-1,就得到表达式n的n个不同的辐角值;所以n按照下列公式

3

有n个不同的值:

)1,...,2,1,0()

2

sin

2

(cos







nk

n

k

i

n

k

rn

n





.

从几何意义来看:n的这n个值显然可以用一个内接于以原点为中心nr为

半径的圆周的正多边形的顶点来表示.

特别地,当=1时,上述论述中的r=1，=0，于是得到了n1的n个值,即多

项式1nx的n个根,它们称为n次单位根.

三.n次单位根

1.n1的n个值

)1,...,2,1,0()

2

sin

2

(cosnk

n

k

i

n

k

k





就是多项式1nx的n个根,它们称为n次单位根.

2.n次单位根的性质

(1)令

n

i

n





2

sin

2

cos

1

,由上面关于复数辐角的讨论可知:

.1,...,2,1,0,

2

sin

2

cosnk

n

k

i

n

k

k

k





(2)对于每一个单位根01:12n

kkkk

.

事实上,因为)1)(1(112nnxxxxx,令

k

x,则

0)1)(1(112n

kkkk

n

k

.

当k0时,,01

k

所以

.1,...,2,1,0112nkn

kkk



(3)对于每一个单位根













m0

|

1:)1(2

不整除当

当

n

mnn

mn

k

m

k

m

kk



.

3.n次单位根的几何解释

由于1的模是1，所以n次单位根的这n个值显然可以用一个内接于以原点

为中心1为半径的圆周的正n边形的顶点来表示.且

1



的辐角是

n

2

,

的辐角是k

k



n

k2

.

4

4.本原单位根

n个n次单位根12,...,,,1n中,k

k

称为本原单位根,如果每一个单位根

都可以表示成k

k

的方幂.

按照如上定义,显然是一个本原单位根.

k

k

是本原单位根的充要条件是(k,n)=1(互素).

例:8次单位根中,本原单位根就是以与8互素的那些小于8的正整数为下标

的单位根:

7531

,,,,其中

8

2

sin

8

2

cos

1



i.

四.n次单位根的指数表示

由复数的Taylor展式,

xixeixsincos,

所以由

ikekik22sin2cos1.

于是

n

k

i

n

k

eei

n

k

n

ik

k









2

sin

2

cos)(

21

2

,k=0,1,2….,n-1

满足.1,...,2,1,0,1nkn

k

为多项式1)(nxxf的n个根.