劣弧

圆心弧弦弦心距之间的关系

［知识要点归纳］

1.圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的

图形重合。

2.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

4.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它

们所对应的其余各组量都分别相等。

注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。

（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、

弦心距不一定相等。

如图，同心圆，虽然，但，而且，弦心







AOBCODABCDABCD距也不相切。

O

C

A

B

D

（2）要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对”一词的含义，从而正确运用

上述关系。

下面举四个错例：

若⊙中，，则，OACDBCEFDCEADFB









这两个结论都是错误，首先CE、FD不是弦，∠CEA、∠BFD不是圆心角，就不可以用圆心角定理推

论证明。

O

B

D

A

C

E

F

（3）同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为

劣弧或优弧，一般选择劣弧。

（4）在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对的圆心角相等”，

在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。

5.1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样

的弧叫做1°的弧。

一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的

弧的度数相等。

注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与弧相等，在书写时要防止出现

“



AOBAB”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧一定是相同度数的弧，

但相同度数的弧却不一定是相等的弧。

6.圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系

（1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，

反之弦心距较小时，则弦较大。

当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，

趋近于半径。

（2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反

之也成立。

注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当

弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。

7.辅助线方法小结：

（1）有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理；另外，

证明两弦相等也常作弦心距。

（2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。

（3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：

（I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。

【典型例题】

例1.已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD的延长线交于P点，PO平分∠APC。

求证：（1）AB＝CD；（2）PA＝PC

O

A

P

C

例3.如图，为⊙的弦，，、交于、。CDOACBDOAOBCDFE







求证：OE＝OF

O

C

D

AB

F

E

例4.如图，⊙O中AB是直径，CO⊥AB，D是CD的中点，DE∥AB。求证：ECEA







2

O

AB

C

D

E

例5.如图，是等边三角形，是⊙直径，，、ABCABOAEEFFBCECF











交AB于M、N。

求证：AM＝MN＝NB

O

C

A

B

E

F

M

N

【模拟试题】

一.选择题。

1.在⊙O与⊙O'中，若

AOBAOB'''

中，则有（）







''







''







''D.

ABAB



与''

的大小无法比较

2.半径为4cm，120°的圆心角所对的弦长为（）

A.5cmB.43cmC.6cmD.33cm

3.在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA等于另一个圆心角∠COD的2倍，则下列式子中能成立的是

（）





















2

4.在⊙O中，圆心角∠AOB＝90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）

A.42B.82C.24D.16

5.在⊙O中，两弦AB＜CD，OM、ON分别为这两条弦的弦心距，则OM、ON的关系是（）

D.无法确定

6.如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，

BAC20

，ADCD







，则∠DAC的度数是（）

D

A

O

B

C

A.70°B.45°C.35°D.30°

二.填空题。

1.一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为____________。

2.一条弦等于其圆的半径，则弦所对的优弧的度数为____________。

3.在半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于____________。

4.在⊙O中，弦CD与直径AB相交于E，且∠AEC＝30°，AE＝1cm，BE＝5cm，那么弦CD的弦心距

OF＝_______cm，弦CD的长为________cm。

5.已知⊙O的半径为5cm，过⊙O内一已知点P的最短的弦长为8cm，则OP＝_______。

6.已知A、B、C为⊙O上三点，若ABBCCA



、、度数之比为1：2：3，则∠AOB＝_______，∠BOC

＝________，∠COA＝________。

7.已知⊙O中，直径为10cm，AB



是⊙O的

1

4

，则弦AB＝_________，AB的弦心距＝_________。

三.解答题。

1.如图：已知，OA为⊙O的半径，AC是弦，OB⊥OA并交AC延长线于B点，OA＝6，OB＝8，求

AC的长。

O

A

C

B

3.已知：如图，在⊙O中，弦AB＝CD，且AB⊥CD于E，BE＝7，AE＝3，OG⊥AB于G，求：OG的

长？

O

A

B

C

D

G

E

5.如图，C是⊙O的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD＝CO，使AD



的度数为40°，求BE



的度

数。

O

C

A

B

D

E