整式的定义

第二章整式

一、知识频道概念内涵概念外延概念缘由

1、代数式的有关概念

代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母

连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。

说明：当系数是1或－1时，1省略不写，如－ab，2a等。

2、整式的有关概念

（1）单项式的定义：都是数与字母的积的代数式叫做单项式．特别地，单独的一个数

或单独的一个字母也都是单项式

说明：判断一个代数式是不是单项式，主要是根据代数式中数字和字母间是否都是乘法

运算关系．

（2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．

说明：单项式的次数，是指这个单项式中将所有字母指数相加得到的和．

（3）单项式的系数：单项式中的数字因数即为单项式的系数．

说明：在单项式中，系数只与数字因数有关；次数只与字母有关．

（4）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．

说明：多项式是由几个单项式相加得到的，每一个单项叫做项，如多项式x2－2x－1是

由单项式x2，－2x和－1相加而得到的．在多项式中，－2x和－1前的“+”省略了，简写

而成，所以注意项的符号．

（5）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．

说明：在确定多项式的次数时，应先计算出多项式的每一项的次数，然后再确定多项式

的次数，即取次数最大的项的次数作为该多项式的次数．

（6）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项．每一个单项式就是一项。

说明：多项式的项，包括符号．如多项式5－3x2中，二次项是－3x2．

（7）常数项的定义：在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。

（8）降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做

把多项式按这个字母降幂排列．

（9）升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做

把多项式按这个字母升幂排列．

说明：把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看

这个字母的指数，而后按照加法交换律交换项的位置．对于不同的字母，排列后的顺序往往

不同，切记重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置．

（10）整式的定义：单项式和多项式统称整式．

（11）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项

说明：同类项只与字母部分有关，与系数的大小无关，判断同类项的要点：一是看字母

是否一样，二是在字母一样的前提下看相同字母的指数是否一样．

二、方法频道由解题理解知识，由知识学会解题

1.对单项式、多项式、整式进行判断

例1判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式．

(1)－3xy2；(2)2x3＋1；(3)

2

1

(x＋y＋1)；(4)－a2；(5)0；

(6)

y

x2

；(7)

3

2xy

；(8)

x2

1

；(9)x2＋

x

1

－1；(10)

1

1

x

；

解：单项式有：(1)－3xy2，(4)－a2，(5)0，(7)

3

2xy

；

多项式有：(2)2x3＋1，(3)

2

1

(x＋y＋1)；

不是整式的有：(6)

y

x2

，(8)

x2

1

，(9)x2＋

x

1

－1，(10)

1

1

x

．

知识体验：只有数字与字母的乘积，这样的代数式是单项式，几个单项式的和组成多项

式，单项式和多项式都是整式。在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法（可转化为加

法）的运算，这样的代数式就是整式。没有出现2÷x即

x

2

,或x÷2即

2

x

这样的式子，那么

2

x

,

x

2

是整式吗？

2

x

可以写成

2

1

·x,所以

2

x

是单项式，而

2

x

是数字与字母的商，所以不是单项式，

更不是整式，所以整式最显著的特征是字母不能作分母。所以(6)

y

x2

；(8)

x2

1

；(9)x2＋

x

1

－

1；(10)

1

1

x

；这几个代数式分母中含有字母，就不是整式。

易错提示：(6)

y

x2

和(7)

3

2xy

这两个代数式常会误以为都是单项式，（7）可以看

成

xy

3

2

，所以是单项式，而（6）是2x÷y，所以不是单项式也不是整式。(3)

2

1

(x＋y＋

1)；会误以为是单项式，其实

2

1

(x＋y＋1)＝

2

1

x+

2

1

y+

2

1

，所以是三个单项式的和，是一

个多项式。

2、说出单项式、多项式的次数和项

例2指出下列各单项式的系数与次数：

（1）;

8

32ab

（2）-mn3;（3）

3

432yx

（4）－34；

解：（1）

8

32ab

的系数是

8

3

，次数是3.

（2）-mn3的系数是-1，次数是4.

（3）

3

432yx

的系数是

3

4

，次数是5.

（4）－34的系数是－34，次数是0。

知识体验：单项式的系数，包括前面的符号，当单项式的系数是1或－1时，“1”省略

不写，如-nm3中，系数是－1，则把“1”省略不写；圆周率只是一个常数符号，不能把它

作为字母，如：

3

432yx

的系数是

3

4

，次数是5。另外，像－3，

2

1

，0等这样的常数，是

零次单项式．

易错提示：-nm3的系数是-1；

3

432yx

的系数是

3

4

，次数是5，如写成系数是

4

3

，

次数是6就不对了.

例3、填空：

（1）多项式2x4-3x5-2π4是次项式，最高次项的系数是

，四次项的系数是，常数项是，补足缺项后按字母x升幂排列得

；

（2）多项式a3-3ab2+3a2b-b3是次项式，它的各项的次数都是

，按字母b降幂排列得.

解：（1）五，三，-3，2，－2π4，-2π4+0x+0x2+0x3+2x4-3x5;

（2）三，四，3，-b3-3ab2+3a2b+a3.

应用体验：－2π4是常数项，不是4次项。确定多项式项时不要漏掉前面的符号，移动

多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动，这些都是容易犯错误的地方，要引

起高度重视。另外，第（2）小题所给多项式各项次数都等于3，一般称这样的三次多项式

为三次齐次式.

解题技巧：多项式应看作是省略括号的和的形式．因此，当确定多项式的项时，应包括

符号．另外，圆周率π是一个常数．回答多项式是几次几项式时，数字要大写.如五次三项

式，不能写成5次3项式.；补足缺项，是把升（或降）幂排列中缺少次数的项的系数用零

表示补入式中.，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动.，对含有两个

以上字母的多项式，一般按其中的某一个字母的指数大小顺序排列，本题是按规定的字母指

数大小排列。

三、例题频道

（一）题型分类全析

1、与代数式有关的题型

例1.用代数式表示：

（1）把温度是t℃的水加热到100℃，水温升高了___________℃。

（2）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数可表示为___________。

（3）用字母表示两个连续奇数为___________。

（4）若正方体的棱长是a－1，则正方体的表面积为___________。

（5）如图，亮亮家装饰新家，他为自己的房间选了一款窗帘（上方阴影固定），请你帮

他计算可以射进阳光的面积为___________米2。

b米

a米

思维直现：（1）温度差别就是末了温度－初始温度；（2）一个两位数的表示方法：十

位数字×10＋各位数字；（3）连续奇数之间相差2；（4）正方体的表面积＝棱长×棱长×6；

（5）射进阳光的面积＝长方形面积－阴影部分的面积。

解：（1）（100－t）

（2）10b＋a

（3）2n－1，2n＋1（n为整数）

（）4612a

（）

·

53

6

2

3

23624

2

2

2ab

b

ab

b

abb



















阅读笔记：用代数式表示，要仔细读题，找到题目中的等量关系，将需要表示的量表达

出来，书写代数式时要注意：（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在

字母前面，如10b＋a；数字因数是1或－1时，“1”省略不写，如（100－t）；（2）带分数

与字母相乘时要化成假分数，如：

ab

2

1

1要写成ab

2

3

的形式；（3）除号要改写成分数线，

如：a÷b要写成

b

a

；（4）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（

1

2

ab＋2R）平方米。

题评解说：列代数式是学习整式的基础，有代数式才能研究整式，而列代数式用到的知

识很多，比如面积公式、温差等生活知识，对学生能力要求较高，难度视题目而定，可能很

简单也可能比较难。列代数式是后续学习列方程解决实际问题的基础，所以要掌握好。

建议：对列代数所用到的知识要努力回忆和复习，要多练才能熟练。

例2.用语言叙述下列代数式的实际意义。

（）；（）；（）；（）1323120%)4

9

222

2

aabxa

a

(

思维直现：列代数式要有一定的问题背景，用语言叙述下列代数式，就是要再现列出代

数式的问题背景，问题背景可能设计的不同，只要能解释即可。

解：（1）如果用a表示一支铅笔的价格，那么3a表示3支铅笔的价格。

（2）如果用a，b分别表示两个正方形的边长，那么a2＋b2表示这两个正方形面积之和。

（3）如果用x表示过去的产量，那么（1－20%）x表示减少20%以后的产量。

（）如果用表示圆的半径，正方形的边长是它的，那么表示4

1

39

2

2

aa

a



圆面积与正方形面积之差。

阅读笔记：要解释代数式，就要熟悉代数所能表示的问题背景，如2a可表示边长为a

的正方形的面积，2a可表示半径为a的圆的面积等。这样才能写出合理的代数式的意义。

题评解说：用语言叙述下列代数式是列代数式的逆向，要根据代数式写出问题的背景，可

以写出不同的问题背景，只要合理即可。

建议：要仔细体会本题的解答，理解这类问题的解题思路。

2、单项式、多项式的概念有关的题型

例3一个五次多项式，它的任何一项的次数都

A．小于5B．等于5C．不小于5D．不大于5

思维直现：由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，因此五次多项式中，

次数最高的项是五次的，其余的项的次数可以是五次的，也可以是小于五次的，却不能是大

于五次的．因此，五次多项式中的任何一项都是不大于5次的．

解答：选D。

阅读笔记：多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，如果直接问是几次多项式，

要先求出每一项的次数，找出最高次作为多项式的次数，而本题是告诉是五次多项式，想象

一下多项式中每一项的次数情况，这里有一个逆向思维的问题。

题评解说：本题是一个关于多项式次数问题，但不是给多项式问是几次多项式，而是给

多项式的次数是五次，想象一下每一项的次数情况，因为没有见到具体的每一项，所以有一

定的难度。

例4说出下列各多项式分别是几次几项式．

(1)3x－23；(2)a2b＋2a－3b－4；(3)

2

822xx

；

(4)(a3－b3＋1)×

3

5

；(5)x6－x5＋3x2－12x＋a；(6)2(xy＋

3

1

x3－y＋π4)．

思维直现：需要找出多项式的每一项，算出每一项的次数，然后回答是几次几项式。

解：(1)多项式3x－23是一次二项式；

(2)多项式a2b＋2a－3b－4是三次四项式；

(3)因为

2

822xx

＝

2

1

x2－x＋4，所以多项式

2

822xx

是二次三项式；

(4)因为(a3－b3＋1)×

3

5

＝

3

5

a3－

3

5

b3＋

3

5

，所以多项式(a3－b3＋1)×

3

5

是三次三项式；

(5)多项式x6－x5＋3x2－12x＋a是六次五项式；

(6)因为2(xy＋

3

1

x3－y＋π4)＝2xy＋

3

2

x3－2y＋2π4，所以多项式2(xy＋

3

1

x3－y＋π4)

是三次四项式．

阅读笔记：当所给的多项式不能直观地辨别其次数和项数时，就需要对其整理变形，使

其成为标准形式的多项式．如第(3)、(4)、(6)小题，变形后便容易多了．另外，常数项中的

指数，不能做为多项式的次数．如第(1)、(6)小题中23、π4，不影响多项式的次数．

题评解说：判断多项式是几次几项式的问题，是理解多项式概念中的常规题，具体在解

答时会遇到具体困难，如多项式给出不规范要先变形，有常数项中有指数的干扰，这增加了

本题的难度。

建议：要概念清晰，排除干扰。

例5若23yxk与13pyx是同类项，则kp＝。

（二）思维重点突破

例5若－3axym是关于x、y的单项式，且系数为－6，次数为3，则a＝________，m＝

________．

思维直现：“关于x、y的单项式”说明只有x、y才是单项式中的字母，a只是系数的一

部分，所以－3a是系数，也就是－6，即－3a＝－6，解得：a＝2．而单项式的次数是x、y

的指数和：（1＋m），也就是3．因此1＋m＝3得m＝2．

解：a＝2，m＝2

阅读笔记：单项式是数与字母的积，数字因数是单项式的系数，所有字母的指数和是单

项式的次数。在本题中x、y才是单项式中的字母，a只是系数的一部分，这两点一定要理

解到位。

题评解说：本题是已知单项式的系数和次数，求参数的值。这样的参数问题，不理解题

意的人不知道该如何下手，其实只要搞清说代表单项式的系数，谁代表单项式的次数，就可

列出方程解决，虽然学生还没有学习解一元一次方程，但简单的一元一次方程，学生在小学

是见过并会解的。

建议：正确理解多项式的系数和次数，不要受字母参数的影响。

例6当x为何值时，下列多项式可化简为关于y的一次单项式．

(1)

3

2

x－5y－5；(2)

2

43yx

＋6．

思维直现：把一个多项式转化为关于某一字母的单项式，就是指除符合题目要求的项保

留外，其余各项的和等于0．如(1)中，要使多项式

3

2

x－5y－5化简为关于y的一次单项式，

只保留－5y这一项，其余各项的和为0，即使

3

2

x－5＝0的x的值即为所要求的x的值．

解：(1)由

3

2

x－5＝0，即

3

2

x＝5，得x＝

2

15

．

所以当x＝

2

15

时，多项式

3

2

x－5y－5可化简为关于y的一次单项式．

(2)多项式

2

43yx

＋6可化为

2

1

x＋

2

3

y＋4．由

2

1

x＋4＝0，即

2

1

x＝－4，得x＝－8．

所以当x＝－8时，多项式

2

43yx

＋6可化简为关于y的一次单项式．

阅读笔记：理解题意很重要，本题把一个多项式转化为关于某一字母的单项式，就是指

除符合题目要求的项保留外，其余各项的和等于0．这是解此题的关键。

题评解说：本题理解题意后就是一个整理代数式，构造一元一次方程的过程，所以理解

把一个多项式转化为关于某一字母的单项式，就是指除符合题目要求的项保留外，其余各项

的和等于0，这是本题的关键。

建议：要多项式可化简为关于y的一次单项式，就要能够将含y的项从多项式中分离出

来，其它部分的和是0即可。

四、习题频道

对应例题例1例2例3例4例5例6

变式练习1、2、3、4、141711、13、165、8、9、126、10、157

1.长方形的长为a厘米，宽为b厘米，该长方形的周长为____________厘米，面积为

____________平方厘米。

2.一桶汽油倒出30%还剩a千克，则这桶汽油原有____________千克。

3.如果用C表示摄氏温度，f表示华氏温度，研究表明华氏温度比摄氏温度的

9

5

还多32，

则f____________。

4．商场中某牌子的电视机有A，B，C三种型号，售价分别为3000元，3500元，4000元，

三月份商场出售的这三种型号的电视机数量分别是：A型的a台，B型的b台，C型的c台，则

该商场三月份这三种电视的销售额是元.

5、在x2，

2

1

(x＋y)，

1

x

，



1

，－3，

100

3

x

中，单项式是_________，多项式是

_________，整式是_________．

6、单项式

7

532cab

的系数是____________，次数是____________．

7、当a____________时，整式x2＋a－1是单项式．

8、多项式xy－1是____________次____________项式．

9、多项式5x3－xy2＋1－y按字母y的降幂排列是____________．

10、系数是－3，且只含有字母x和y的四次单项式共有_____个，分别是____________．

11、组成多项式1－x2＋xy－y2－xy3的单项式分别是____________．

12、下列说法正确的是（）.

A．

2

1

不是单项式；B．

a

b

是单项式；

C．x的系数是0；D．

2

23yx

是整式.

13、如果一个多项式是五次多项式，那么（）

A．这个多项式最多有六项；

B．这个多项式只能有一项的次数是六；

C．这个多项式一定是五次六项式；

D．这个多项式最少有二项，并且最高次项的次数是五.

14、小红和小兰房间窗户的装饰物如图1－3所示，它们分别由两个四分之一圆和四个

半圆组成（半径分别相同）.

图1－3

（1）窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少？（窗框面积忽略不计）

（2）你能指出其中的单项式或多项式吗？它们的次数分别是多少？

15．如果单项式3a2b43m的次数与单项式

3

1

x3y2z2的次数相同，试求m的值。

16、请你写出一个四次项系数为-1的四次多项式，并指出其余各项的次数和系数．

17、用语言叙述下列代数式的实际意义。

(1)ab（2）2ba(3)4c

18．若yxyxba33

3

2

2

1

与是同类项，那么a=，b=。

19．若322315ymyxyxab和是同类项，则mab=.

答案：

1.2abab，。分析：长方形的周长＝2（长＋宽）；面积＝长×宽。

点拨：要熟记小学学过的面积、周长公式，在列代数式时会经常用到。

2.

10

7

a；分析：倒出30％，就剩70％，剩的70％是a千克，所以原有a÷70％，书写

代数式时要把除号用分数线代替，所以原有

10

7

a千克。

点拨：书写代数式要注意：数字与字母相乘乘号省略不写，数字写在字母前面，带分数

要化成假分数；除号要改写成分数线；多项式后面带单位的，要给多项式加括号。

3.

9

5

32c；分析：华氏温度比摄氏温度的

9

5

还多32，说明华氏温度＝

9

5

摄氏温度＋

32。

点拨：注意代数式书写规范的要求，数字写在字母的前面。

4，3000a+3500b+4000c；分析：销售额＝单价×销售量，本题，商场一共销售三种型号的电

视，所以销售额是三种型号电视销售额之和。

点拨：每种型号的单价要与销售量对应，代数式的书写要规范，因为后面有单位，所以

要给多项式加括号。

5、x2，



1

，－3；

2

1

(x＋y)；x2，

2

1

(x＋y)，



1

，－3分析：单项式中只有数与字

母的积，几个单项式的和是多项式，单项式和多项式统称整式，根据定义做出判断。

点拨：



1

是常数，所以是单项式，也是整式。但

1

x

，

100

3

x

，分母中含有字母就即

不是单项式、多项式，也不是整式。

6、

7

5

，6；分析：单项式中数字因数是单项式的系数，所有字母的指数和是单项式的

次数。点拨：要能把数字因数分离出来，尤其是系数为分数时。

7、＝1；分析：代数式中只有数与字母的积，这样的代数式是单项式，整式x2＋a－1

是单项式，就要只含有x2，其它项的和为零，所以a－1＝0，就得a＝1。

点拨：单项式中只有乘法没有加减运算，只能有一项，所以其它项的和要为0。

8、二，二；分析：多项式中每个单项式都是多项式的一项，有几个多项式就有几项。

多项式的次数是次数最高项的次数，这里只有两项：xx和－1，xy项是二次项，－1是零次

项，所以xx－1是二次二项式。

点拨：判断多项式的次数，要先求出多项式中每一项的次数，然后找最高次做多项式的

次数。

9、－xy2－y＋5x3＋1；分析：要求按字母y的降幂排列，就要看每一项中y的字数，

由高到低排列。

点拨：不含y的项和常数项都是y的0次幂，可以并列排在最后，一般把常数项排在最

后。

10、3，32233,3,3xyyxyx；分析：单项式的次数是所有字母的指数和，这里要求

只含字母x和y，所以它们的指数和应该是4，能够组成4的加数有：3和1，2和2，1和3，

所以系数是－3，且只含有字母x和y的四次单项式共有3个，它们是：

32233,3,3xyyxyx。

点拨：考虑指数和是4时，要固定字母的顺序，然后确定指数；第一个加数是x的指数，

第二个加数是y的指数，指数和是4的加数情况只有3和1，2和2，1和3，这样就不会遗

漏和重复了。

11、1，－x2，xy，－y2和－xy3；分析：多项式中的每个单项式都是多项式的一项，有

几个单项式就有几项。

点拨：写多项式项的时候要连同前面的符号一起作为多项式的一项，不要漏掉符号。

12、D;分析：单独一个数字和字母也是一个单项式，所以A不对；

a

b

分母中含有字母

不是整式，也就不是单项式；x的系数是1不是0，这样用排除法选D。

点拨：其实D中，

2

23yx

可以化简为

yxyx

2

3

)23(

2

1

，是两个单项式的和，

所以是

2

23yx

多项式，也该选D。

13、D；分析：多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，与多项式有几项无关。如

果一个多项式是五次多项式，那么这个多项式的最高次项是五次，至于有几项不能确定，但

因为是多项式，所以至少要有两项。所以选D。

点拨：多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，与多项式有几项无关，不要把多项

式的项和次数搞混淆了。

14、分析：窗户中能射进阳光的部分的面积分别是长方形的面积减去图中阴影部分的面

积。解：左图小红房间的装饰物所占的面积相当于半径为

2

b

的圆的面积的一半，即

8



b2.窗

户中能射进阳光的部分的面积为ab－

8



b2.

右图小兰房间的装饰物所占面积是半径为

8

b

的两个小圆的面积，即2×

64



b2=

32



b2.窗户

中能射进阳光的部分的面积是ab－

32



b2.

ab－

8



b2和ab－

32



b2它们都是多项式，且次数都是2次。

点拨：左图阴影部分面积是两个四分之一圆，就相当于半个圆，右图中阴影部分的面积

是四个小半圆，相当于二个小圆的面积。两个圆的半径不同，左图的大圆两个半径是b，所

以大圆的半径是

2

b

，右图的小圆四个直径是b，小圆的半径是

8

b

。

15、分析：单项式3a2b43m的次数是3m-2，单项式

3

1

x3y2z2的次数是7，两个单项式次

数相同，就得3m-2＝7，利用小学学过的方程知识解得m=3。解：因为单项式3a2b43m的次数

是3m-2，单项式

3

1

x3y2z2的次数是7，两个单项式次数相同，所以得3m-2＝7，m=3。

点拨：单项式的次数是所有字母的指数和。所以可根据两个单项式次数相同列方程，然后

解方程就得m的值。

16、分析：本题只要求四次项系数为-1，其它都没要求，所以这个四次多项式可以有多

种写法，是一道开放题，答案不唯一，只要满足条件即可。如：,11224abbax，或－

等。解：,14，x除四次项外，只有一项，是常数项1，是0次项。

,122abba－除四次项外有两项，一项是二次项ab，系数是1，另一项是常数项1，

次数是0次。

点拨：这种开放题，只要写出一个满足条件即可。

17、分析：用语言叙述代数式的实际意义，就是要给代数式一个实际问题的背景，使

这个实际问题所列的代数式是已知的代数式。

解：（1）如果用a，b分别表示长方形的长和宽，ab就是这个长方形的面积。

（2）如果用a+b表示正方形的边长，那么2ba就表示这个正方形的面积。

（3）如果用c表示正方形的边长，那么4c就表示这个正方形的周长。

点拨：在考虑如何用语言叙述代数式意义时，要联想已经学过的面积、周长、体积等公

式，还要会把这些知识与已知的代数式联系起来。