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第２１卷第１期

２０１８年１月

高等数学研究

ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ

Ｖｏ１．２１。Ｎｏ．１

Ｊａｎ．，２０１８

ｄｏｉ：１０．３９６９’／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８‘１３９９．２０１８．Ｏ１．０１０

ＭＡ（１）模型偏自相关函数计算公式的证明

王红军，杨 丹

（西安电子科技大学数学与统计学院，西安７１００７１）

摘要基于ＭＡ（１）模型的Ｙｕｌｅ－Ｗａｌｋｅｒ方程组，本文利用克兰姆法则以及递推关系求解的方法证明了ＭＡ（１）

过程偏自相关函数计算公式．

关键词 ＭＡ（１）模型，偏自相关函数，Ｙｕｌｅ－Ｗａｌｋｅｒ方程，克兰姆法则

中图分类号 Ｏ１７２．２ 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８—１３９９（２０１８）０１—００３９—０２

Ｐａｒｔｉａｌ Ａｕｔ０ｃ０ｒｒｅｌａｔｉ０ｎ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ＭＡ（１）Ｍｏｄｅｌ

ＷＡＮＧ Ｈｏｎｇｊ ｕｎ ａｎｄ ＹＡＮＧ Ｄａｎ

（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｘｉｄｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’８ｎ ７１００７１，ＰＲＣ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｙｕｌｅ—ｗａｌｋｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ。ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａ ｐｒｏｏｆ ｆｏｒ ｔｈｅｐａｒｔｉａｌ ａｕｔｏｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｆｕｎｃ—

ｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ＭＡ（１）ｍｏｄｅｌ ｂｙ ｕｓｉｎｇ Ｃｒａｍｅｒ’Ｓ ｒｕｌｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｅｕｒｓｉｖｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ＭＡ（１）ｍｏｄｅｌ，ｐａｒｔｉａｌ ａｕｔｏｃｏｒｒｅｌａｔｉ０ｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，Ｙｕｌｅ—ｗａｌｋｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ，Ｃｒａｍｅｒ’Ｓ ｒｕｌｅ

１ ＭＡ（１）模型统计性质简介

在时间序列分析中，模型的选择、定阶是建模

的关键步骤之一．自相关函数（ＡＣＦ）和偏自相关函

数（ＰＡＣＦ）是时间序列分析中的基本概念，ＭＡ（ｑ）

模型的偏自相关函数（ＰＡＣＦ）类似于ＡＲ（ｐ）模型的

自相关函数（ＡＣＦ）均具有拖尾性．ＭＡ（ｑ）模型的自

相关函数（ＡＣＦ）具有ｑ步截尾而ＡＲ（夕）模型偏自

相关函数（ＰＡＣＦ）具有ｐ步截尾的特征是研究者正

确选择ＡＲ或ＭＡ模型的重要参考．Ｔｓａｙ（１９８４）提

出的扩展自相关函数法（ＥＡＣＦ）是ＡＲＭＡ（户，ｑ）模

型定阶的有效方法［１］．

本文着重讨论ＭＡ（１）模型：

Ｙｔ—ｅ 一 一１． （１）

ＭＡ（１）模型具有下面一些统计性质

收稿日期：２０１６—０９—０９ 修改日期：２０１６—１２一Ｏ８

基金项目：西安电子科技大学教改项目（ＪＧ１５１３，ＪＧ１６Ｏ９，Ｂ１６３１），

示范性特色课程建设项目（统计计算，ＭＳ５０３１）

作者简介：作者简介：王红军（１９７５一），男，陕西汉中人，博士，副

教授，主要从事概率论与数理统计、时间序列分析、统计

计算与软件和高等数学等课程的教学工作，以及动态数

据的建模分析研究．Ｅｍａｉｌ：ｈｉｗａｎｇ８０＠１６３．ＣＯＩＴＩ

Ｅ（ ）一０ ］

７ｏ：Ｖａｒ（ｙ ）一口 （１＋ ）ｌ

７ 一一 ｝－ （２）

ＩＤ 一－０／（￣＋ ） ｌ

一 一０ ≥２ Ｊ

其中｛ｓ ）是白噪声序列，ｙ＾和｜Ｄ 分别是时间序列

｛ ）的自协方差函数和自相关函数，且ＭＡ（１）模

型的偏自相关函数（ＰＡＣＦ）有如下计算公式Ⅲ：

（是≥１）．（３） 似一一 （宠

本文综合利用一些数学工具对（３）进行证明．

２预备知识

ａ）克兰姆（Ｃｒａｍｅｒ）法则 。］

若线性方程组

Ａｘ—Ｂ （４）

的系数矩阵的行列式Ｄ—ＩＡＩ≠０，则线性方程组

（４）有解，且解唯一，可以表示为

ｚ 一告，ｚ。一告，…，ｚ －ｎ 一 ２一 ，… 一一

式中Ｄ 是将Ｄ中第Ｊ列换作方程组（４）中列向量

Ｂ所得的行列式（ ：１，２，…， ）．

４０ 高等数学研究 ２０１８年１月

ｂ）线性常系数齐次递推关系求解

设序列｛ｎ ）满足如下递推关系：

ａ ＝＝＝ｃ１ ｃｔ 一１＋Ｃ２ａ 一２＋…＋Ｃ ａ 一 （ ≥忌，Ｃ ≠０）

其中Ｃ ，Ｃ。，… 为常数，称此递推关系为ｋ阶常系

数线性齐次递推关系．

ａ —ｃｌａ 一１一ｃ２ａ 一２一…一ｃｋａ＂一 一０

满足上述递推关系的ａ 的解称为通解．

如果ｎｏ—ｄｏ，口１一ｄ１，…，ａ 一１一ｄ 一１（其中ｄ 是

常数Ｏ≤ ≤ｋ－－１），则称为初始条件．将满足初始条

件的递推关系的解称为特解，令

ｃ（ ）一ｚ 一Ｃ１ 一 一ｃ２．７Ｃ ～一…一Ｃ （５）

称为递推关系的特征多项式．

定理 当ｆ（ｚ）一０在复数域内无重根，设ａ ，

ａ ，…，ａ 是Ｃ（Ｘ）一０的全部根，则递推关系的通

解为

ａ 一Ｈ１ａ ＋Ｈ２ｄｎ２＋…＋Ｈ ａ：

（其中Ｈ 是常数１≤ ≤是）． （６）

３ ＭＡ（１）过程偏自相关函数计算公式的

证明

由ＭＡ（１）模型性质式（２）可知偏自相关函数

满足Ｙｕｌｅ—Ｗａｌｋｅｒ方程组

＋ｌＤｌ似２＋ｏ‘伫３＋…＋０。似一 ＋ｏ’似一１０１ ］

ｆＤｌ １＋ ２＋ＩＤ１ ＋…＋ｏ‘似＿１＋ｏ‘似一０ ｌ（７） ｌ

０·似１＋ｏ·伫２＋ｏ· ＋…＋ｌＤｌ·似 ＋似一０ Ｊ

系数矩阵为

Ａ＝＝

显然Ｄ—ｌＡ ｌ≠０，则线性方程组（７）有唯一解，从而

由克兰姆法则

Ｄ 一

１ ｐ１ ０

１０１ １ ｌＤ１

０ ｌ０１ １

● ● ●

： ： ：

０ ０ ０

Ｏ Ｏ ０

０ ０ ｐｌ

０ ０ ０

０ ０ ０

： ： ：

● ● ●

ｐ１ １ ０

０ Ｐ１ ０

一（＿Ｐ】 一一（ ） ．

易得递推关系

Ｄ—ｌ Ａ １ 一ｌ Ａ Ｉ 一 一 ｌ Ａ ｌ —ｚ．

从而为求解上述递推关系由式（５）得递推关系的特

征多项式

ｃ（ｚ）一ｚ －－ｘ￣ｐ ．

令ｃ（ｚ）一０解得

ｚ 一丢＋√丢一ｌ０｛一 ，

１几——＿＝＿ ｆ９

ｚｚ一 一√ 一ｌＤｉ一—１ｑ－—Ｏ２’

则由式（６）得递推关系的通解为

Ｄ—ＩＡ ｌ —Ｈ ‘ ）ｋ＋Ｈ

ｚ

‘ｒ ）ｋ

·

（９） １ 日２

初始条件：

ｆ Ｉ Ａ ｌ 一Ｈ （ ）＋Ｈ ‘而０２）一１

ｌ ｌ Ａ ｌ。一Ｈ （ ２＋Ｈ （ ２—１－ｐ｝一１一

联立解得

Ｈ 一 ，Ｈ。一 ．

从而将Ｈ 和Ｈ 代入通解式（９）得

Ｄ—Ｉ ａ ·ｃ ＋ ·ｃ ，

进而得到ＭＡ（１）模型的偏自相关函数 为

一一 （惫≥１）． 一一 惫 ）’

注意到，ＭＡ（１）模型的偏自相关函数系数始终

不等于零，但是随着滞后的增加，会指数级地快速衰

退至零，这与ＡＲ（１）过程的自相关函数非常相似．

（８） ４ 小结

本文综合利用一些数学工具分析证明了ＭＡ

（１）过程偏自相关函数计算公式（３）．根据ＡＲ（Ｐ）

模型的统计性质，容易证明ＡＲ（Ｐ）模型偏自相关函

数具有Ｐ阶截尾特征．但一般情形下，Ｌｅｖｉｎｓｏｎ

（１９４７）和Ｄｕｒｂｉｎ（１９６０）分别给出的ＡＲＭＡ（Ｐ，ｑ）

模型的偏自相关函数的递推计算公式的结论更复

杂＿４］，证明方法有待进一步的探索和研究．

（下转第４３页）

一

ｌＱ

一

０ ０ ０；

Ｏ Ｏ Ｏ；１

Ｏ Ｏ ０；

● ● ● ●

● ● ● ●

● ● ● ●

０ １；Ｏ

ｌ ；０

１ Ｏ；ｏ

第２１卷第１期 贾璐，姚光同：矩阵代数上的几种线性变换及其相互关系 ４３

同理ｄｉｍＬ￣一（２ｋ＋１）（愚＋１）． 定理３证毕．

定理４ Ｌ号与Ｌ一吾分别是逆时针旋转变换和

顺时针旋转变换，则

ｆ ｋ０ 一２ｋ ｄｉｍＬ＝ｄｉｍＬｎ－￣＝ｊ愚 ＋忌＋１ ：２忌＋１’

证明 Ｌ罢是把矩阵的第一行变为第一列，第

一列变为第 行，第 行为第 列，第／，／列变为第一

行，这称为最外一圈层，依次这样，我们把Ｌ掣中的矩

阵分为偶数阶和奇数阶按圈层来考虑把其基底刻

画出来．

当 ＝２ｋ时，最外圈层有２志一１个

Ｅｌ１＋Ｅ ，１＋Ｅ２ｌ，２Ｉ＋Ｅ１。２ ，

Ｅ１２＋Ｅ２＾一１．１＋Ｅ２＾，２Ｉ一１＋．Ｅ２。２＾，

…●

Ｅ１ 一２＋Ｅ３１＋Ｅ２ ＋Ｅ２卜２，２＾矩阵构成；

第二圈层有２愚一１个

Ｅ２，２ 一１＋Ｅ２ｌ＋Ｅ２ ，２＋Ｅ２＾一１．２

２＋Ｅ２ 一ｌ，２＋Ｅ２ 一１，２ ～ｌ＋ ．２ 一１，

…

●

Ｅ２．２＾一３＋Ｅ４２＋Ｅ２ 一１．４＋Ｅ２ｌ一３。２ 一１，

Ｅ２．２ 一２＋Ｅ３２十Ｅ 一ｌ。３＋Ｅ２＾～２。２ 一１矩阵构成；

以此类推，最内第二圈由这三个矩阵

Ｅ 一１． 一１＋Ｅ＾＋２．＾一１＋Ｅ＾＋２，＾＋２＋ Ｉ—１． ＋２，

Ｅ 一１． ＋Ｅ＾＋１． 一ｌ＋Ｅ＾＋ｔ，★＋１＋Ｅ 。 ＋２，

＿ｌＩ…＋ ，㈩＋Ｂ＋ｚ．＾＋ 十１．Ｉ＋２构成；

最内第一圈由Ｅ艟＋Ｅ＋ ，＾＋Ｅ＾＋１Ｉ ＋１＋Ｂ， ＋ 一个

矩阵构成．

如上各层圈共（２ｋ一１）＋（２ｋ一２）＋…＋３＋

１＝愚 个矩阵，它们是Ｌ掣空间中的线性无关的矩

阵，且Ｌ掣中的每个矩阵均可由它们线性表出．故而

它们是Ｌ掣中的一个基底．即ｄｉｍＬｙ—ｋ。．同理可证

ｄｉｍＬＮ＿￣＝ ．

当 一２ｋ＋１时，与上面分析相同，可以验证

Ｅｌｌ＋Ｅ２ ＋１。１＋Ｅ２＾＋１，２ｌ＋１＋Ｅ１．２外１，

Ｅ１２＋Ｅ２＾．１＋Ｅ２计１．２ ＋Ｅ２．２抖１，…，

Ｅ１，２ ＋Ｅ２ｌ＋Ｅ２抖１，２＋Ｅ２量，２ｋ－Ｆ１；

Ｅ２２＋Ｅ２ ．２＋Ｅ２ ．２ ＋Ｅ２．２

Ｅ２３＋Ｅ２＾一１，２＋Ｅ２＾，２＾一１＋Ｅ３，２ ，·一，

Ｅ２，２＾一ｌ＋Ｅ３２＋Ｅ２ ，２＋Ｅ２＾一１，２ ；

’…，

．＾＋１

＋ ＋１。 ＋ ＋２，＾＋１＋ ＋ｌ， ＋２，

Ｅ衄＋Ｅｌ＋２，＾＋Ｅ ＋２． ＋２＋Ｅ＾，＾＋２，Ｅ＾＋１， ＋１是Ｌ掣中

Ｅ（Ｚｋ＋１）一２×０～１］＋［（２忌＋１）一２×１－１］＋…＋

Ｅｚｋ＋１—２（忌一１）一１］＋１一

ｋ（２ｋ－［－１）一２［ ］一（ 一１）一

２愚 ＋ｋ一（是一１）愚一ｋ＋１一ｋ ＋ｋ＋１

个线性无关的矩阵，且Ｌ掣中的每个矩阵均可由如上

是。＋是＋１线性无关矩阵线性表出，从而它们是Ｌ

中的一个基底，故而有ｄｉｍＬｙ＝ｋ ＋ｋ＋１．同理可

证，ｄｉｍＬＥ￣一点。＋ ＋１定理４证毕．

参考文献

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］ ］ 口