判别式

第四讲一元一次方程式的判别式00

【学习目标】001.体验一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac判根的作用。00

2.探索一元二次方程的各种情况。00【知识框图】00

不解方程判根00ax2+bx+c=oΔ=b2－4ac应用已知方程根的情况确定方程的字母系数

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求证方程有根产状况

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典型例题00例1.不解方程判定下列方程是否有实数根。00（1）2x2+x-1=0（2）3x2+=x00（3）y(2y+5)=2(y-1)（4）1998m2-2002m-2003=000解：（1）∵Δ=12-4×2×(-1)=9＞000∴方程有两个不相等的实数根。00（2）方程可化为3x2-x+=000∵Δ=6-3×4×=000∴方程有两个相等的实数根。00（3）方程可化为2y2+3y+2=000∵Δ=9-4×2×2=-7＜000∴方程没有实数根。00（4）∵ac＜0∴b2-4ac＞000∴方程必有两个不相等的实数根。00评注：（1）判定方程是否有实数根，只要通过计算Δ的值，就能确定；00（2）当一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a,c异号时，必有b2－4ac＞0。00

例2：当k为何值时，关于x的方程x2+(1-2k)x+k2-1=000（1）有两个相等的实数根；（2）有两个不相等的实数根；（3）没有实数根。00

解：∵Δ=（1-2k）2-4（k2-1）=-4k+500（1）∵方程有两个相等的实数根00∴Δ=0即-4k+5=0∴k=00当k=时方程有两个相等实数根。00（2）∵方程有两相不相等的实数根00∴Δ＞0即-4k+5＞0∴k＜00当k＜时方程有两个不相等的实数根。00（3）∵方程没有实数根00∴Δ＜0即-4k+5＜0∴k＞00当k＞时方程没有实数根00评注：若已知方程根的情况，则可通过Δ已确定的符号（Δ＞0或Δ=0或Δ＜0等）列式，

计算待定系数的值或确定取值范围。00例3：求证：不论k取什么实数，方程x2-(k+6)x+4(k-3)=0一定有两个不相等的实数根。

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证明：∵Δ=k2-4k+8400=(k-2)2+8000∵(k-2)2≥0∴(k-2)2+80＞0∴Δ＞000∴不论k取什么实数，方程一定有两个不相等的实数根。00评注：（1）要证明方程根的情况，只需通过判断Δ的符号即可；00（2）判定Δ的符号却常常使用配方技巧或因式分解等。00例4：当k取何值时，方程(k-1)x2-x+1=0有实根。00解：（1）当k=1时方程可化为-x+1=0,x=100（2）当k≠1时，Δ≥000Δ=k-4(k-1)=-3k+4≥0∴k≤00又要使有意义∴k≥000∴0≤k≤且k≠100综合所述当0≤k≤时方程有实数根。00评注：（1）本题中对于“方程有实数根”的含义的理解是关键，应分类讨论；00

（2）解题时要注意方程中待定系数本身的取值范围：这里k≥0。00【选讲例题】00

例5：方程++=0只有一个实数根（等根视为一根），求a的值。

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解：方程化简x2+(x-2)2+2x-a=0002x-2x+4-a=000（1）若Δ=0,Δ=4-2×4×(4-a)=000即2a-7=0,a=00

此时方程为2x2-2x+=0,此时方程的根为x

1

=x

2

=符合题意。00

（2）若Δ＞0则要使原方程只有一个实数根，必须是方程2x2-2x+4-a=0中有一根为增根

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<1>当增根为x=0时，a=4，此时方程2x2-2x=000x

1

=0,x

2

=1，符合原方程只有一个实数根。00<2>当增根为x=2时，2×4-2×2+4-a=000∴a=800此时方程为2x2-2x+4=000∴x

1

=2,x

2

=-1,符合原方程只有一个实数根。00综上所述a的值为、4或8。00评注：（1）本题主体思想是通过方程的根进行分类讨论；00（2）对化简后方程有两个不相等的实数根，通过增根求出待定系数后再检验；00

（3）若化简后二次项系数是有关a的代数式，则还要进行方程类别的讨论。00

【课堂小结】00本节内容主要学习了一元二次方程的根的判别式Δ及其作用，主要体现在Δ＞0，Δ=0

和Δ＜0时，对方程的解的影响。只要涉及到方程解的情况讨论时，Δ是主要讨论的内容，

同时也不可忽视Δ使用的前提：二次项系数不能为零。00【基础练习】001.选择题00（1）若方程x2-2x+m=0没有实数根，则m的取值范围是（）00A.m＞1B.m=1C.m＜1D.任何实数00

（2）若一元二次方程根的判别式Δ=(m-1)2,则下列说法不正确的是（）00

A.一定有两个实数根B.一定有两个不相等的实数根00C.当m＜1没有实数根D.以上说法都不正确002.填空题00（1）方程x2-3x-4=0的判别式Δ=__________.00（2）若方程（x+2)2+(y-2)2=0,则x+y=_________.003.m为何值时，一元二次方程2mx2+(8m+1)x+8m=0有两个不相等的实数根。00

4.已知a、b、c为三角形三边长，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根。

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求证：三角形是直角三角形。005.已知二次函数y=x2-2(m+1)x+m2-1与x轴有两个交点，求m的取值范围。00

【巩固练习】001.选择题00（1）方程x2+3x+6=0与x2-6x+3=0的所有实根的乘积等于（）00A.-18B.18C.-3D.300（2）若关于x的方程x2-2x-1=0有两个不相等的实根，则k的取值范围是（）

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A.k≥0B.k＞0C.k＞-1D.k≥-100

2.填空题00（1）一元二次方程x2-3x-m=0有两个相等的实根，则m的值为____________。00

（2）若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k-1=0有两个实数根，则k的取值范围是

____________。003.已知关于x的方程(k-2)x2-2(k-1)x+k+1=0且k≤300（1）求证：此方程总有实根；00（2）当方程有两实数根，且两实根的平方和等于4时，求k的值。004.已知等腰三角形的两边长a、b是方程x2-kx+12=0的两根，另一条边长c=4，求k的值。

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5.已知方程组有两组不相等的实数解，求a的取值范围。00

6.若方程x2+2px-q=0（p、q是实数）没有实数根。00

（1）求证：p+q＜00

（2）试写出上述命题的逆命题；00

（3）判断（2）中的逆命题是否正确，若正确请加以证明，若不正确，请举一反例。00