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专题复习(六)几何综合题

1．(2016·某某)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．

(1)如图1，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边

形；

(2)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD.点E、F、G、H分别为边AB、BC、

CD、DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；

(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)

图1图2

解：(1)证明：连接BD.

∵E、H分别是AB、AD的中点，

∴EH＝

1

2

BD，EH∥BD.

∵F、G分别是BC、CD的中点，

∴FG＝

1

2

BD，FG∥BD.

∴EH＝FG，EH∥FG.

∴中点四边形EFGH是平行四边形．

(2)中点四边形EFGH是菱形．

证明：连接AC、BD.

∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，即∠BPD＝∠APC.

又∵PA＝PB，PC＝PD，

∴△APC≌△BPD(SAS)．∴AC＝BD.

∵点E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，

∴EF＝

1

2

AC，FG＝

1

2

BD.∴EF＝FG.

又∵四边形EFGH是平行四边形，

∴中点四边形EFGH是菱形．

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图3

(3)当∠APB＝∠CPD＝90°时，如图3，AC与BD交于点O，BD与EF，AP分别交于点M，Q，中点四边形EFGH是正方

形．理由如下：

由(2)知：△APC≌△BPD，∴∠PAC＝∠PBD.

又∵∠AQO＝∠BQP，∴∠AOQ＝∠APB＝90°.

又∵EF∥AC，∴∠OMF＝∠AOQ＝90°.

又∵EH∥BD，∴∠HEF＝∠OMF＝90°.

又∵四边形EFGH是菱形，

∴中点四边形EFGH是正方形．

2．(2016·某某)如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.

(1)如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°.

①求证：AD＝BE；

②求∠AEB的度数；

(2)如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE＝23CM

＋

23

3

BN.

图1图2

解：(1)①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED，∴AC＝BC，CD＝CE.

∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED，

∴∠ACB＝∠DCE.∴∠ACD＝∠BCE.

∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE.

②由①得△ACD≌△BCE，

∴∠ADC＝∠BEC＝180°－∠CDE＝130°.

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3/13

∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°.

(2)证明：在等腰△DCE中，∵CD＝CE，∠DCE＝120°，CM⊥DE，

∴∠DCM＝

1

2

∠DCE＝60°，DM＝EM.

在Rt△CDM中，DM＝CM·tan∠DCM＝CM·tan60°＝3CM，∴DE＝23CM.

由(1)，得∠ADC＝∠BEC＝150°，AD＝BE，

∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝120°.

∴∠BEN＝60°.

在Rt△BEN中，BE＝

BN

sin60°

＝

23

3

BN.

∴AD＝BE＝

23

3

BN.

又∵AE＝DE＋AD，∴AE＝23CM＋

23

3

BN.

3．(2016·东营)如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别

在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．

(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明

理由．

(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H，交AF于点N.

①求证：BD⊥CF；

②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．

图1图2图3

解：(1)BD＝CF成立．

证明：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝θ，AD＝AF，

∴△ABD≌△ACF(SAS)．∴BD＝CF.

(2)①证明：由(1)得，△ABD≌△ACF，

∴∠HFN＝∠ADN.

又∵∠HNF＝∠AND，

∴∠NHF＝∠NAD＝90°.

∴HD⊥HF，即BD⊥CF.

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②连接DF，延长AB交DF于点M.

在△MAD中，∵∠MAD＝∠MDA＝45°，

∴∠BMD＝90°.

∵AD＝32，四边形ADEF是正方形，

∴MA＝MD＝

32

2

＝3，FD＝6.

∴MB＝3－2＝1，DB＝12＋32＝10.

在Rt△BMD和Rt△FHD中，

∵∠MDB＝∠HDF，

∴△BMD∽△FHD.

∴

MD

HD

＝

BD

FD

，即

3

HD

＝

10

6

.∴DH＝

910

5

.

4．(2016·某某)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；

同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为

x秒(0＜x≤3)，解答下列问题：

(1)设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值；

(2)是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由．

解：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝4，CD＝AB＝3.

当运动x秒时，则AQ＝x，BP＝x，

∴BQ＝AB－AQ＝3－x，CP＝BC－BP＝4－x.

∴S△ADQ＝

1

2

AD·AQ＝

1

2

×4x＝2x，

S△BPQ＝

1

2

BQ·BP＝

1

2

(3－x)x＝

3

2

x－

1

2

x2，

S△PCD＝

1

2

PC·CD＝

1

2

·(4－x)×3＝6－

3

2

x.

又S矩形ABCD＝AB·BC＝3×4＝12，

∴S＝S矩形ABCD－S△ADQ－S△BPQ－S△PCD＝12－2x－(

3

2

x－

1

2

x2)－(6－

3

2

x)＝

1

2

x2－2x＋6＝

1

2

(x－2)2＋4，即S＝

1

2

(x－2)2＋4.

∴S为开口向上的二次函数，且对称轴为直线x＝2.

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5/13

∴当0＜x≤2时，S随x的增大而减小；

当2＜x≤3时，S随x的增大而增大，

又当x＝0时，S＝6，当S＝3时，S＝

9

2

.

但x的X围内取不到x＝0，∴S不存在最大值．

当x＝2时，S有最小值，最小值为4.

(2)存在，理由：由(1)可知BQ＝3－x，BP＝x，CP＝4－x.

当QP⊥DP时，则∠BPQ＋∠DPC＝∠DPC＋∠PDC，

∴∠BPQ＝∠PDC.又∵∠B＝∠C，

∴△BPQ∽△CDP.

∴

BQ

PC

＝

BP

CD

，即

3－x

4－x

＝

x

3

，解得x＝

7＋13

2

(舍去)或x＝

7－13

2

.

∴当x＝

7－13

2

时，QP⊥DP.

5．(2016·某某)(1)已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC

＝∠DCE，若∠A＝60°(如图1)，求证：EB＝AD；

(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变(如图2)，(1)的结论是否

成立，并说明理由；

(3)若将(1)中的“若∠A＝60°”改为“∠A＝90°”，其他条件不变，则

EB

AD

的值是多少？(直接写出结论，不要求写

解答过程)

图1图2

解：(1)证明：过D点作BC的平行线交AC于点F.

∵△ABC是等腰三角形，∠A＝60°，

∴△ABC是等边三角形．∴∠ABC＝60°.

∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠ABC＝60°.

∴△ADF是等边三角形．

∴AD＝DF，∠AFD＝60°.

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∴∠DFC＝180°－60°＝120°.

∵∠DBE＝180°－60°＝120°，∴∠DFC＝∠DBE.

又∵∠FDC＝∠DCE，∠DCE＝∠DEC，

∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD.

∴△DBE≌△CFD(AAS)．

∴EB＝DF.∴EB＝AD.

(2)EB＝AD成立．理由如下：

过D点作BC的平行线交AC的延长线于点F.

同(1)可证△ADF是等边三角形，

∴AD＝DF，∠AFD＝60°.

∵∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠DBE＝∠AFD.

∵∠FDC＝∠DCE，∠DCE＝∠DEC，

∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD.

∴△DBE≌△CFD(AAS)．

∴EB＝DF.∴EB＝AD.

(3)

EB

AD

＝2.理由如下：

如图3，过D点作BC的平行线交AC于点G.

图3

∵△ABC是等腰三角形，∠A＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∴∠DBE＝180°－45°＝135°.

∵DG∥BC，

∴∠GDC＝∠DCE，∠DGC＝180°－45°＝135°.

∴∠DBE＝∠DGC.

∵∠DCE＝∠DEC，

∴ED＝CD，∠DEC＝∠GDC.

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∴△DBE≌△CGD(AAS)．∴BE＝GD.

∵∠ADG＝∠ABC＝45°，∠A＝90°，

∴△ADG是等腰直角三角形．

∴DG＝2AD.∴BE＝2AD.∴

EB

AD

＝2.

6．(2016·某某)【探究证明】

(1)在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：

EF

GH

＝

AD

AB

；

【结论应用】

(2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上．若

EF

GH

＝

11

15

，则

BN

AM

的值为________；

【联系拓展】

(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求

DN

AM

的值．

图1图2图3

解：(1)证明：过点A作AP∥EF，交CD于点P，过点B作BQ∥GH，交AD于点Q.

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC.

∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形．∴AP＝EF，GH＝BQ.

又∵GH⊥EF，

∴AP⊥BQ.∴∠QAP＋∠AQB＝90°.

∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°.

∴∠DAP＋∠DPA＝90°.∴∠AQB＝∠DPA.

∴△PDA∽△QAB.∴

AP

BQ

＝

AD

AB

.∴

EF

GH

＝

AD

AB

.

(2)∵EF⊥GH，AM⊥BN，

∴由(1)中的结论可得

EF

GH

＝

AD

AB

，

BN

AM

＝

AD

AB

，

∴

BN

AM

＝

EF

GH

＝

11

15

.故答案为

11

15

.

(3)连接AC，过点D作AB的平行线交BC的延长线于点E，作AF⊥AB交直线DE于点F.

∵∠BAF＝∠B＝∠E＝90°，

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8/13

∴四边形ABEF是矩形．

易证△ADC≌△ABC，∴∠ADC＝∠ABC＝90°.

∴∠FDA＋∠EDC＝90°.

又∵∠EDC＋∠ECD＝90°，∴∠FDA＝∠ECD.

又∵∠E＝∠F，

∴△ADF∽△DCE.

∴

DE

AF

＝

DC

AD

＝

5

10

＝

1

2

.

设DE＝x，则AF＝2x，DF＝10－x.

在Rt△ADF中，AF2＋DF2＝AD2，即(2x)2＋(10－x)2＝100，解得x1＝4，x2＝0(舍去)．

∴AF＝2x＝8.∴

DN

AM

＝

AF

AB

＝

8

10

＝

4

5

.

7．(2016·某某)在△ABC中，P为边AB上一点．

(1)如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；

(2)若M为CP的中点，AC＝2.

①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；

②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．

图1图2图3

解：(1)证明：∵∠ACP＝∠B，∠CAP＝∠BAC，

∴△ACP∽△ABC.

∴

AC

AB

＝

AP

AC

，即AC2＝AP·AB.

(2)①作CQ∥BM交AB的延长线于点Q，则∠PBM＝∠Q.

∵∠PBM＝∠ACP，∴∠ACP＝∠Q.

又∠PAC＝∠CAQ，∴△APC∽△ACQ.

∴

AC

AQ

＝

AP

AC

，即AC2＝AP·AQ.

又∵M为PC的中点，BM∥CQ，∴设BP＝x，则BQ＝x.∴AP＝3－x，AQ＝3＋x.

∴22＝(3－x)(3＋x)，解得x1＝5，x2＝－5(不合题意，舍去)．

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∴BP＝5.

②BP＝7－1.

作CQ⊥AB于点Q，作CP0＝CP交AB于点P0.

∵AC＝2，∴AQ＝1，CQ＝BQ＝3.

设AP0＝x，则P0Q＝PQ＝1－x，BP＝3－1＋x，

∵∠BPM＝∠CP0A，∠BMP＝∠CAP0，

∴△AP0C∽△MPB，∴

AP0

MP

＝

P0C

BP

.

∴MP·P0C＝

1

2

P0C2＝

（3）2＋（1－x）2

2

＝AP0·BP＝x(3－1＋x)．

解得x＝7－3或x＝－7－3(舍去)．

∴BP＝3－1＋7－3＝7－1.

8．(2016·某某)数学活动——旋转变换

(1)如图1，在△ABC中，∠ABC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′.求∠A′B′B

的大小；

(2)如图2，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝3，BC＝5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′.

以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．

①猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；

②连接A′B，求线段A′B的长度；

(3)如图3，在△ABC中，∠ABC＝α(90°＜α＜180°)，AB＝m，BC＝n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度(0°

＜2β＜180°)得到△A′B′C，连接A′B和BB′.以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．问：角α与角β满足什

么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由．并求此条件下线段A′B的长度．(结果用角α或角β的三角函

数及字母m、n所组成的式子表示)

图1图2图3

解：(1)由旋转得：∠A′B′C＝∠ABC＝130°，CB＝CB′，∠BCB′＝50°，

∴∠BB′C＝

1

2

(180°－∠BCB′)＝65°.

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10/13

∴∠A′B′B＝∠A′B′C－∠BB′C＝130°－65°＝65°.

(2)①猜想：直线BB′与⊙A′相切．

证明：由旋转得：∠A′B′C＝∠ABC＝150°，CB＝CB′，∠BCB′＝60°，

∴∠BB′C＝

1

2

(180°－∠BCB′)＝60°.

∴∠A′B′B＝∠A′B′C－∠BB′C＝150°－60°＝90°，即B′B⊥A′B′.

又A′B′为半径，

∴直线BB′与⊙A′相切．

②由旋转得：A′B′＝AB＝3，B′C＝BC＝5，∠BCB′＝60°，

∴△BCB′为等边三角形．∴BB′＝BC＝5.

在Rt△A′B′B中，A′B＝（A′B′）2＋（BB′）2＝32＋52＝34.

(3)满足的条件：α＋β＝180°.

理由：在△BB′C中，∠BB′C＝

180°－2β

2

＝90°－β，

∴∠A′B′B＝α－∠BB′C＝α－(90°－β)＝α＋β－90°.

∵α＋β＝180°，∴∠A′B′B＝α＋β－90°＝180°－90°＝90°，即B′B⊥A′B′.

∴直线BB′与⊙A′相切．

过点C作CD⊥BB′于点D.

∴∠B′CD＝

1

2

∠BCB′＝β.

在Rt△B′CD中，B′D＝B′C·sinβ＝BC·sinβ＝nsinβ，∴BB′＝2B′D＝2nsinβ.

由α＋β＝180°得到△A′B′B为直角三角形，

∴A′B＝（A′B′）2＋（BB′）2＝m2＋（2nsinβ）2＝m2＋4n2sin2β.

9．(2016·某某)在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10.D是△ABC内部或BC边上的一个动点(与B，C不重合)．以D

为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC(相似比k>1)，EF∥BC.

(1)求∠D的度数；

(2)若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH.

①连接GH，AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；

②当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP＝AD，求k的值．

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解：(1)∵AB2＋AC2＝62＋82＝102＝BC2，

∴∠BAC＝90°.

又∵△DEF∽△ABC，∴∠D＝∠BAC＝90°.

(2)①四边形AGDH是正方形．

证明：延长ED、FD分别交BC于点M、N.

∵△DEF∽△ABC，∴∠E＝∠B.

又∵EF∥BC，

∴∠E＝∠EMC.∴∠B＝∠EMC.∴ED∥BA.

同理FD∥AC.

∴四边形AGDH是平行四边形．

又∵∠FDE＝90°，∴四边形AGDH是矩形．

又∵AD⊥GH，∴四边形AGDH是正方形．

②当D点在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大．

其理由是：如图1，点D在内部时，延长GD到D′，过D′作MD′⊥AC于点M，则四边形GD′MA的面积大于矩形

AGDH的面积，∴当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大．

按上述理由，只有当D点在BC边上时，面积才有可能最大．

图1图2

如图2，D在BC上时，易证明DG∥AC，

∴△GDB∽△ACB.

∴

BG

BA

＝

GD

AC

，即

BA－AG

BA

＝

AH

AC

.

∴

6－AG

6

＝

AH

8

，即AH＝8－

4

3

AG.

∴S矩形AGDH＝AG·AH＝AG×(8－

4

3

AG)＝－

4

3

AG2＋8AG＝－

4

3

(AG－3)2＋12.

当AG＝3时，S矩形AGDH最大，此时DG＝AH＝4.

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12/13

即当AG＝3，AH＝4，S矩形AGDH最大．

在Rt△BGD中，BD＝BG2＋DG2＝5，则DC＝BC－BD＝5.

即D为BC上的中点时，S矩形AGDH最大．

∴在Rt△ABC中，AD＝

BC

2

＝5，∴PA＝AD＝5.

延长PA交BC于点Q，∵EF∥BC，QP⊥EF，

∴QP⊥BC.

∴QP是EF、BC之间的距离．

∴D到EF的距离为PQ的长．

在Rt△ABC中，

1

2

AB·AC＝

1

2

BC·AQ，

∴AQ＝4.8.

又∵△DEF∽△ABC，

∴k＝

PQ

AQ

＝

PA＋AQ

AQ

＝

5＋4.8

4.8

＝

49

24

.

10．(2016·某某)(1)发现

如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.

填空：当点A位于CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为a＋b．(用含a，b的式子表示)

图1

(2)应用

点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段BE长的最大值．

(3)拓展

如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，

PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

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图2图3备用图

解：(2)①DC＝BE.理由如下：

∵△ABD和△ACE为等边三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°.

∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB.

∴△CAD≌△EAB.∴DC＝BE.

②BE长的最大值是4.

(3)AM的最大值为3＋22，点P的坐标为(2－2，2)．

提示：如图3，构造△BNP≌△MAP，则NB＝AM，易得△APN是等腰直角三角形，AP＝2，∴AN＝22.由(1)知，当点

N在BA的延长线上时，NB有最大值(如备用图)．∴AM＝NB＝AB＋AN＝3＋22.

过点P作PE⊥x轴于点E，PE＝AE＝2.

又∵A(2，0)，∴P(2－2，2)．