二阶导数的意义

二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点

教学目标与要求

通过学习，使学生掌握利用二阶导数的符号判定函数在某一区间上凹凸性的方法，为更好地描绘函数图形打好基础，同时，理解拐点的

定义和意义。

教学重点与难点

教学重点：利用函数的二阶导数判断曲线的凹凸性与拐点。

教学难点：理解拐点的定义和意义。

教学方法与建议

证明曲线凹凸性判定定理时，除了利用"拉格朗日中值定理”证明外，还可用"泰勒定理”来证明；如果利用“拉格朗日中值定理”证

明，则要配合函数图形来分析讲解如何想到需要两次使用“拉格朗日中值定理”的思路，切忌脱离图形，机械证明，让学生领悟不到思想，

摸不着头脑。

在讲函数的凹凸性和曲线拐点的定义时，要强调凹凸性并不是曲线的固有性质，而是函数的性质，与所选的坐标系有关；而拐点是曲

线的固有性质，与所选的坐标系无关。

教学过程设计

1•问题提出与定义

函数的单调性对于描绘函数图形有很大作用，但仅仅由单调性还

不能准确描绘出函数的图形。比如，如果在区间Lr上，丿'■，则我们知道

丿，在区间-'•〔上单调增，但作图（参见图1）的时

候，我们不能判断它增加的方式（是弧V匸U，还是弧二注），即

不能判断曲线的凹凸性，所以研究曲线的凹凸性对于把握函数的性态、作图等是很

有必要的！

在图1中，对于上凸的曲线弧A~-'~，取其上任意两点，不妨取

：1作割线，我们总会发现不论两点的位置，割

线段总位于弧段的下方，这种位置关系可以用不等式

来描述。同理，对于上凹的曲线弧上：匸，总可用不等式

12

来描述。由此，我们想到对曲线的凹凸性做如下定义：

凹凸性定义设在区间I上连续，如果对i上任意两点"，勺，恒有

12

3

则称在I上的图形是（向上）凹的，简称为凹弧；如果恒有

12

则称「I在I上的图形是（向上）凸的，或简称为凸弧。

如果沿曲线从左向右走，则图形是（向上）凸的曲线的几何意义相当于右转弯，图形是（向上）凹的曲线相当于左转弯，而有切线的

凹凸弧的分界点正是曲线转向的点，我们把这样的点称为拐点。

2.凹凸性判定定理的引入

曲线凹凸性的定义自然能判别曲线的凹凸性，但实际使用起来需要取两个点，且两个不等式对于一些表达式较复

杂的函数来说判断起来也不容易。因此，我们就想能否用其它方法来判定曲线的凹凸性。函数的单调性能由f'■-的

符号确定，而对于凹凸性它束手无策，所以我们猜想凹凸性是否和；》有关

经过分析，并利用泰勒公式，可证实我们的猜想是正确的，函数图形的凹凸性的确和f■-的符号有关，于是得到

了判断曲线凹凸性的定理。

定理设J工’在匚丄-上连续,在二?内具有二阶连续导数,那么：

（1）若在匚」•内-’1■>0，则J「在-r上的图形是凹的；

（2）若在匚'•内-’'■<0，则」»在〔上的图形是凸的。

3.判别凹凸性和拐点举例

例1

判断曲线yx3的凹凸性

解y3x2y

6x由y0得x

0

因为当x<0时y<0所以曲线在（0］内为凸的

因为当

x>0时y>0

所以曲线在［0）内为凹的

例2求曲线y2x33x22x14的拐点

解y6x26x12y12x612(x

2）令y0

得

x

1

2

因为当XI；时y

1

0当x2时y

0所以点（1

201)是

曲线的拐点

例3

求函数y3x44x31的凹凸区间和拐点

-

解：函数的定义域为（,)，

且y12x312x2，y

2

36x24x36x(x

2),

令yo,得x10,x2

列表：

x

（,o）

0

（0,|）

2

§3

1

2

y+0一0+

y有拐点有拐点

22

11

由表可知，当为0x时，曲线有拐点A(0,1)和B(—,-

33

27

表中表示曲线是凹的，-表示曲线是凸的•函数的图像如图(

4.确定曲线yf(x)的凹凸区间和拐点的步骤

(1)确定函数yf(x)的定义域⑵求出在二阶导数

(x)

(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点

(4)判断或列表判断确定出曲线凹凸区间和拐点

注根据具体情况(1)(3)步有时省略

5学生黑板练习

练习1•判定下列曲线的凹凸性及拐点•

232

（1）y4xx2，（2）yx36x2x1，（3）6•小结

1在讲授函数单调性时要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特征相结合，加深对判别法的理解。

2对于函数凹凸性、拐点，要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特征相结合，加深对判别法的理解。

作业P75:1,2,3

2

x3。

f'

3

）