法向加速度

1



第4节切向和法向加速度

一、自然坐标系

单位切向量



，沿轨道



V



切线指向质点运动方向

单位法向量

n



，沿轨道

法向指向凹的一侧

n



a



（



，

n



）：自然坐标系

yC

tP

)(t



，

)(tn



)(tt



ttQ)(tt



)(ttn



)(ttn







)()(ttt











：矢量，大小：

2

sin2











SP)(t



0t

时

0

Ox































2

sin2

)(//)(







大小：

，方向：tnt

n





0，

n

n

























limlimn

d

d











dt

ds

ds

d

d

d

dt

d

d

d

dt

d















，

n

d

d











，





d

ds

，

V

dt

ds



n

V

dt

d











二、切向和法向加速度







VV

n

V

dt

dV

dt

d

V

dt

dV

V

dt

d

dt

Vd

a



















2

)(

naaa

nt





2

2

dt

sd

dt

dV

a

t



：切向加速度，速率变化引起的

V，0

t

a，沿



方向，V，0

t

a，与



反方向

0

2





V

a

n

：法向加速度，速度方向变化引起的

沿法线指向曲率中心

t

aa



指向轨迹凹的一侧

a



2

2

222)()(



V

dt

dV

aaa

nt



n

a

tn

aatg/

Q

n













)(tn



)(t







00

2

讨论：（1）直线运动，，0

n

a

（2）匀速率圆周运动，

0

dt

dV

a

t

，

R

V

a

n

2

：向心加速度

（3）一般曲线运动及变速率圆周运动，0

t

a，0

n

a

（4）



2V

a

n



n

a

V2

：计算曲率半径

例：R=800m的圆形轨道，汽车，静止开始，

t

a

速率均匀增加，t=3（分），V=20m/s



求：t=2（分），a



，

t

a，

n

a

解：设

ktV

，t=3（分）=180s，

V

=20m/s

n

aa



k=20/180=1/9，RO

V=t/9

)/(111.09/12sm

dt

dV

a

t



t=2（分）=120s，

V

=120/9(m/s)

R

V

a

n

2

=2/222.0sm

222/248.0smaaa

nt



，

tn

aatg/

=2，4.63

第5节相对运动

PS



相对于

S

作平动运动

0

rrr









r



r





0

rrr









SS



dt

rd

dt

rd

dt

rd

0











O

0

r



O



静系动系

V

dt

rd







：质点在S系中的速度（绝对速度）

V

dt

rd











：质点在S



系中的速度（相对速度）

0

0V

dt

rd





：O



点相对于O点的速度（牵连速度）

0

VVV







：绝对速度=相对速度+牵连速度

AB

AB

VVV





对

3

dt

Vd

dt

Vd

dt

Vd

0











a

dt

Vd





：质点在

S

系中的加速度（绝对加速度）

a

dt

Vd











：质点在

S



系中的加速度（相对加速度）

0

0a

dt

Vd





：

O



点相对于

O

点的加速度（牵连加速度）

0

aaa







：绝对加速度=相对加速度+牵连加速度

如果S



系相对于S系作匀速直线运动，则0

0

a



，aa







AB

AB

aaa





对

例：汽车以20

sm/

速度向东行驶，雨滴

雨滴在空气中以10

sm/

速度下20

sm/

落，求雨滴相对于汽车的速度

解：地面：

S

，汽车：

S



系10

sm/

车对地面的速度为牵连速度

大小smV/20

0



雨滴对地的速度为绝对速度

0

V



大小smV/10

雨滴对车的速度为相对速度

V



V





根据

0

VVV









0

VVV







smVVV/4.222

0

2



20

V

V

tg4.63

第6节圆周运动的角量表示

Rs：角坐标，

rad

y)(t)(tss

P

dt

d

RR

dt

d

dt

ds

V



)(

OAx

dt

d



：角速度，srad/

RV

2

2

dt

d

R

dt

d

R

dt

dV

a

t





2

2

dt

d

dt

d



：角加速度，2/srad

Ra

t

，

R

R

R

R

V

a

n

2

222







R



r



s

4

讨论：1、



不变，匀角速圆周运动

（匀速率圆周运动，匀速圆周运动）

0

dt

d



dt

d

dtd

t

dtd

0

0







角位移：

=t

0

，t

0

2、不变：匀变速圆周运动

dt

d

dtd

，







0

0

t

dtd

t

0

t

0

t

dt

d







0

dttd)(

0











0

0

0

)(

t

dttd

角位移：

=2

002

1

tt

)(2

0

2

0

2

******************************************************

匀速圆周运动匀速直线运动

t

0

Vtxx

0

匀变速圆周运动匀加速直线运动

t

0

atVV

0

2

002

1

tt2

002

1

attVxx

)(2

0

2

0

2)(2

0

2

0

2xxaVV

******************************************************