最小二乘法公式

最小二乘法的基本原理和多项式拟合

一最小二乘法的基本原理

从整体上考虑近似函数同所给数据点

(i=0,1,…,m)误差

(i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下

三种：一是误差(i=0,1,…,m)绝对值的最大

值，即误差向量

的∞—范数；二是误差绝对值的和

，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和

的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前

两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2—范数的平方，

因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量

误差(i=0，1，…，m)的整体大小。

数据拟合的具体作法是：对给定数据

(i=0,1,…，m)，在取定的函数类中,求

,使误差

(i=0,1,…,m)的平方和最小，即

=

从几何意义上讲，就是寻求与给定点

(i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线

（图6-1）。函数称

为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数

的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方

法.

6—1

二多项式拟合

假设给定数据点(i=0,1,…,m)，

为所有次数不超过

的多项式构成的函数类，现求一

,使得

(1)

当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的

称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1

时，称为线性拟合或直线拟合。

显然

为的多元函数，因此上述问题即为求

的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，

得

(2)

即

(3)

（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为

(4)

式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。

可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式

（4）中解出(k=0,1,…，n)，从而可得多项

式

(5)

可以证明，式（5）中的满足式（1），即

为所求的拟合多项式。我们把

称为最小二乘拟合多项式

的平方误差，记作

由式(2)可得

(6)

多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：

(1)由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；

(2)列表计算和

；

(3)写出正规方程组，求出；

(4)写出拟合多项式。

在实际应用中，或

；当时

所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。

例1测得铜导线在温度(℃)时的电阻

如表6-1，求电阻R与温度T的近似函数关系。

i0123456

(℃)

19.125.030.136.040.045.150.0

76.3

0

77.879.2

5

80.882.3

5

83.985.1

解画出散点图（图6-2），可见测得的数据接近一条直线，故取n=1，拟合函数为

列表如下

i

019.176.30364.811457.330

125.077.80625.001945.000

230.179.25906.012385.425

336.080.801296.002908.800

440.082.351600.003294.000

545.183.902034.013783.890

650.085.102500.004255.000

245.3565.59325.8320029.445

正规方程组为

解方程组得

故得R与T的拟合直线为

利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由R=0得T=-242.5，

即预测温度T=-242.5℃时，铜导线无电阻。

6-2

例2????已知实验数据如下表

i012345678

1345678910

1054211234

试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。

解设拟合曲线方程为

列表如下

I

5

244

352251256251050

4636

5749

682645

793843

810040400

53323813025

得正规方程组

解得

故拟合多项式为

*三最小二乘拟合多项式的存在唯一性

定理1设节点互异，则法方程组（4）的解

存在唯一。

证由克莱姆法则，只需证明方程组（4）的系数矩阵非奇异即可。

用反证法，设方程组（4）的系数矩阵奇异，则其所对应的齐次方程组

（7）

有非零解。式(7)可写为

（8）

将式（8）中第j个方程乘以(j=0,1,…，n)，

然后将新得到的n+1个方程左右两端分别相加，得

因为

其中

所以

(i=0,1,…,m)

是次数不超过n的多项式，它有m+1＞n个相

异零点，由代数基本定理，必须有，与齐次方

程组有非零解的假设矛盾。因此正规方程组（4）必有唯一解。定理2设

是正规方程组（4）的解，则

是满足式（1）的最小二乘拟合多项式。

证只需证明，对任意一组数组成的多项

式，恒有

即可。

因为(k=0,1,…，n)是正规方程组（4）的解，

所以满足式（2），因此有

故为最小二乘拟合多项式。

*四多项式拟合中克服正规方程组的病态

在多项式拟合中，当拟合多项式的次数较高时，其正规方程组往往是病态的。而且

①正规方程组系数矩阵的阶数越高，病态越严重；

②拟合节点分布的区间偏离原点越远，病态越

严重；

③(i=0,1,…，m)的数量级相差越大，病态越

严重。

为了克服以上缺点，一般采用以下措施：

①尽量少作高次拟合多项式，而作不同的分段低次拟合；

②不使用原始节点作拟合，将节点分布区间作平移，使新的节点

关于原点对称，可大大降低正规方程组的条

件数，从而减低病态程度。

平移公式为：

(9)

③对平移后的节点(i=0,1,…，m),再作压缩或

扩张处理：

（10）

其中,（r是拟合次数）（11）

经过这样调整可以使的数量级不太大也不太

小，特别对于等距节点，作式（10）和式（11）

两项变换后，其正规方程组的系数矩阵设为A，则对1～4次多项式拟合，条件数

都不太大，都可以得到满意的结果。

变换后的条件数上限表如下：

拟合次数1234

=1<9.9<50.3<435

④在实际应用中还可以利用正交多项式求拟合多项式。一种方法是构造离散正交多

项式；另一种方法是利用切比雪夫节点求出函数值后再使用正交多项式。这两种方

法都使正规方程组的系数矩阵为对角矩阵，从而避免了正规方程组的病态。我们只

介绍第一种，见第三节。

例如m=19,=328,h=1,

=+ih，

i=0,1,…，19，即节点分布在［328,347］，作二次多项式拟合时

①直接用构造正规方程组系数矩阵

，计算可得

严重病态，拟合结果完全不能用。

②作平移变换

用构造正规方程组系数矩阵

，计算可得

比降低了13个数量级，病态显着改善，拟合

效果较好。

③取压缩因子

作压缩变换

用构造正规方程组系数矩阵

，计算可得

又比降低了3个数量级，是良态的方程组，拟

合效果十分理想。

如有必要，在得到的拟合多项式中使用原来节

点所对应的变量x，可写为

仍为一个关于x的n次多项式，正是我们要求的拟合多项式。