二倍角公式推导

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1

二倍角公式的应用，推导万能公式

教材：续二倍角公式的应用，推导万能公式

目的：要求学生能推导和理解半角公式和万能公式，并培养学生综合分析能力。

过程：

一、解答本章开头的问题：（课本P3）

令

AOB=



,

则

AB=acos



OA=asin



∴

S矩形

ABCD=acos

×

2asin



=a2sin2

≤a2

当且仅当

sin2



=1

，

即

2



=90

，

=45

时

,

等号成立。

此时，

A,B

两点与

O

点的距离都是

a

2

2

二、半角公式

在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的

例一、求证：

















cos1

cos1

2

tan,

2

cos1

2

cos,

2

cos1

2

sin222

证：

1

在

2sin212cos

中，以代

2

，

2



代即得：

2

sin21cos2





∴

2

cos1

2

sin2







2

在

1cos22cos2

中，以代

2

，

2



代即得：

1

2

cos2cos2





∴

2

cos1

2

cos2







3

以上结果相除得：









cos1

cos1

2

tan2

注意：

1

左边是平方形式，只要知道

2



角终边所在象限，就可以开平方。

2

公式的“本质”是用角的余弦表示

2



角的正弦、余弦、正切

3

上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆）

















cos1

cos1

2

tan,

2

cos1

2

cos,

2

cos1

2

sin

BC

a



AOD

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2

4

还有一个有用的公式：















sin

cos1

cos1

sin

2

tan

（课后自己证）

三、万能公式

例二、求证：

2

tan1

2

tan2

tan,

2

tan1

2

tan1

cos,

2

tan1

2

tan2

sin

22

2

2



























证：

1



2

tan1

2

tan2

2

cos

2

sin

2

cos

2

sin2

1

sin

sin

222























2



2

tan1

2

tan1

2

cos

2

sin

2

sin

2

cos

1

cos

cos

2

2

22

22





























3



2

tan1

2

tan2

2

sin

2

cos

2

cos

2

sin2

cos

sin

tan

222

























注意：

1

上述三个公式统称为万能公式。（不用记忆）

2

这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切

即：

)

2

(tan



f

所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，

可以使解题过程简洁

3

上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小

例三、已知

5

cos3sin

cossin2







，求

3cos2



+4sin2

的值。

解：∵

5

cos3sin

cossin2







∴

cos



0(

否则

2=



5)

∴

5

3tan

1tan2







解之得：

tan



=2

∴原式

5

7

21

224

21

)21(3

tan1

tan24

tan1

)tan1(3

22

2

22

2



























四、小结：两套公式，尤其是揭示其本质和应用（以万能公式为主）

五、作业：《精编》P7316

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3

补充：

1

．已知

sin



+sin



=1

，

cos



+cos



=0

，试求

cos2



+cos2

的值。

(1)

（《教学与测试》

P115

例二）

2

．已知





2

，

0

，

tan



=

3

1



，

tan



=

7

1



，求

2



+

的大小。

)

4

3

(

3

．已知

sinx=

5

4

，且

x

是锐角，求

2

cos

2

sin

xx



的值。

)

5

5

,

5

53

(

4

．下列函数何时取得最值？最值是多少？

1



xxy2cos2sin)

2

1

,

2

1

(

minmax

yy

2



xxy2cossin2)

2

1

,

2

3

(

minmax

yy

3



)

7

cos(2)

7

2

2cos(







xxy)

2

3

,3(

minmax

yy

5

．若、、为锐角，求证：

+



+



=

4



6

．求函数

xxxfsincos)(2

在

]

4

,

4

[





上的最小值。

)

2

21

(

