n边形的内角和

1

11.3.2多边形的内角和

一、学情分析：

学生在上本节课前刚刚用两节课学习了《三角形的内角和》和《多边形》，而

这两节课的学习是本节学习多边形内角和的基础。特别是对《三角形的内角和》这

一节课的学习，学生只有真正能领悟探究三角形内角和时添加辅助线对问题进行转

化的方法才能对本节课进行类比探究，从而对多边形的内角和采用多种方法进行探

究。但是，授课的这个班级的学生在探究三角形的内角和时，多数学生的表现是只

会用书上例题的方法进行探究，更多的探究方法无法很好的掌握，可见这个班级的

学生的思维不够活跃，若本节课采用自主探究与小组合作的方式让学生完成多种方

法探究多边形内角和公式是有困难的，因此在讲授本节课时，教师只能采用适当的

引导，让学生明白多边形的内角和有不同的方法，拓展学生的解题思路，并不要求

学生能在本节课内通过充分的探究得出多边形内角和的公式，只要学生能理清一种

方法探究得出多边形内角和公式并能应用它解决一些简单的问题。

二、教学目标

1.知识与技能：

（1）掌握多边形的内角和与外角和的计算方法，并能用其解决一些简单的问题；

（2）通过多边形内角和计算公式的推导，体验转化和类比的数学思想方法

2.过程与方法：

（1）让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语

言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法；

（2）通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体会从

特殊到一般的认识问题的方法；

（3）通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题

的方法,并能有效地解决问题

3.情感态度价值观：

通过探究四边形内角和多种方法的引导铺垫，进一步激发学生课后学习探究多边

形内角和公式的热情和求知欲望。同时，体验猜想得到证实的成就感，在解题中感

受生活中数学的存在，体验数学充满探索和创造

三、教学重点：多边形的内角和公式与多边形的外角和公式的应用

四、教学难点：多边形的内角和定理的推导

2

五、教学方法：情境教学法、启发性教学法

六、教学过程设计

问题与情境设计师生活动设计设计意图

创

设

情

境

，

导

入

新

课

（一）创设情境，引出新知

问题1：某位同学将为年段设计一

个段徽，他知道年段共有540名

同学，他就在想，如果能设计一

个多边形，使它的内角和等于540

度，那该多有意义呀，但是这是

几边形呢？同学们能回答这个问

题吗？

问题2：

（1）三角形的内角和是多少？

（2）正方形、长方形的内角和是

多少？

（3）一般四边形的内角和是多

少?你是怎样得到的？

学生思考后回答问题

有的同学能说出是五边形，但是不

能很好的解释为什么是五边形；有的

同学不能回答，陷入思考。

老师适时地点出，本节课我们就来学

习多边形的内角和，看看它是几边形。

板书：

§11.3.2多边形的内角和

教师从学生已有认知出发，提出思考

问题。学生根据认知回答。

生：三角形的内角和等于180°。

生：正方形、长方形的内角和是

360°。一般四边形的内角和是

360°。

通过贴近生活

的例子提出问

题，提高学生

学习兴趣。

唤醒学生已有

知识——“三

角形内角和等

于180°”将

有助于后继问

题的解决。

由特殊的四边

形内角和，进

而猜测出四边

形的内角和等

于360°。让

学生体验从猜

想到验证，再

到得出结论的

过程。

（二）探究四边形的内角和

师：四边形的内角和为360°

仅仅是同学们的猜想，要想验证

这一猜想，我们需要有较为严格

的几何推理对它进行说明．任意

画一个四边形，你能否利用已学

教师引导学生回忆并类比探究三

角形内角和的过程，添加辅助线，验

证自己的猜想。并重点关注学生能否

借助辅助线将多边形转化为三角形。

生：如图，画出任意一个四边形

从一个顶点出

发引对角线的

方法是书中的

重点.让学生

明确解题思

路：将多边形

问题转化为三

角形问题来求

3

启

发

引

导

，

探

索

新

知

过的知识验证你的猜想呢?的一条对角线，都能将这个四边形分

为两个三角形。这样，任意一个四边

形的内角和，都等于两个三角形的内

角和，即360°。

生2：添加两条对角线转化为四个

三角形。内角和等于180°×4-360°

=360°。

教师充分引导学生用多种方法来求

四边形的内角和

解，体现了转

化的思想，也

为下一活动做

好铺垫。

为课后用多种

方法探究多边

形的内角和作

好铺垫。

（三）探究五边形、六边形的内

角和

师：你能用从一个顶点引对角线

的方法来探究五边形的内角和？

师：你能用类似的方法来探究六

边形的内角和？

生：如图，从五边形的一个顶点

出发，可以引2条对角线，它们将五

边形分为3个三角形，五边形的内角

和等于180°×3=540°。

生：如图，从六边形的一个顶点

出发，可以引3条对角线，它们将六

边形分为4个三角形，六边形的内角

和等于180°×4=720°。

让学生通过探

究五边形与六

边形内角和的

过程，再一次

感受深入领会

转化的数学思

想和数形结合

的思想。

图1

4

教

师

引

导

，

归

纳

总

结

（四）探究归纳，得出多边形内

角和公式

填表（见PPT）

师：通过以上问题，你能发现多边形

的内角和与边数的关系吗?

四边形内角和为360°=2×

180°=（4-2）×180°

五边形内角和为540°=3×

180°=（5-2）×180°

六边形内角和为720°=4×

180°=（6-2）×180°

师生共同填表，由学生归纳小结

得出：过n边形的一个顶点可以做（n

－3）条对角线，将多边形分成（n－2）

个三角形，每个三角形内角和180°。

故n边形的内角和等于180°×（n－

2）。

板书：

一、多边形的内角和公式:

n

边形的内角和等于

180)2(n(n3的整数)

感受由特殊到

一般的数学推

理过程和数学

思考方法.同

时在探索归纳

的过程中再一

次发展学生的

推理能力和表

达能力。

课

堂

练

习

，

巩

固

新

知

（五）例题讲解

【例1】已知四边形ABCD，

∠A+∠C=180°，求∠B+∠D.

教师组织学生分析问题，解决问题，

并及时评价。

生：如图，四边形ABCD中，∠A

＋∠C＝180°。

因为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝（4

—2）×180°＝360°，

所以∠B＋∠D＝360°－（∠A＋

∠C）=360°－180°=180°。

师：从本题的求解过程，你可以

归纳出什么结论？

生：如果四边形的一组对角互补，

那么另一组对角也互补。

活学活用，通

过练习进一步

优化学生思

维，提高能力

A

B

C

D

5

（六）联系生活、学以致用

1、小明有一块十边形的手表，他

很想知道这块表的内角和，你能

帮他算出来吗？

2、在某超市的柜台上摆着一个灯

罩。从正面看不到灯罩顶是几边

形。但知道它的内角和为1080º，

你能知道它是几边形吗？

（七）巩固新知

1、七边形的内角和是

（）。

2、十二边形的内角和是

（）。

3、一个多边形的内角和是

720º，则此多边形是（）边

形。

生：(n-2)×180º=(10-2)×

180º=1440º

生：设它是n边形，由题意可得：

(n-2)×180°=1080°

n=8

答：它是八边形。

生：1、900°；

2、1800°；

3、六

通过不同层次

的问题设置，

给学生提供展

示自己能力的

机会，提高学

生对问题的分

析解决能力。

例

题

讲

解

，

探

索

新

知

（八）例题讲解

【例2】如图，在五边形的每个顶

点处各取一个外角，这些外角的

和叫做五边形的外角和．五边形

的外角和等于多少？

师：1、出示例题

2、引导分析：考虑以下问题：

（1）任何一个外角同与它相邻的内角

有什么关系?

（2）五边形的5个外角加上与它们相

邻的内角，所得总和是多少?

（3）上述总和与五边形的内角和、外

角和有什么关系?

生：五边形的任何一个外角加上

与它相邻的内角，都等于180°。5

个外角连同它们各自相邻的内角的总

和等于5×180°。这个总和就是五边

形的外角和加上内角和。所以外角和

等于5×180°－（5－2）×180°＝2

×180°＝360°。

利用多边形内

角和的知识探

索多边形的外

角和，进一步

体会由特殊到

一般的解决问

题的思想。

6

（九）拓展探究：

在n边形的每个顶点处各取一个

外角，这些外角的和叫做n边形

的外角和．你知道n边形的外角

和等于多少？

（十）学以致用

如图，一个小朋友沿着公园的小

道在练习跑步，请问他从A点出

发，沿各边走过各点之后回到点

A.最后再转回出发时的方向时，

在行程中所转的各个角的和是多

少？

师：出示探究题，引导学生思维由特

殊问题向一般性问题过渡，关注学生

能不能顺利拓延和得出正确结论。

生：n边形的任何一个外角加上与它

相邻的内角，都等于180°。n个外角

连同它们各自相邻的内角的总和等于

n×180°。这个总和就是n边形的外

角和加上内角和。所以外角和等于n

×180°－（n－2）×180°＝2×180°

＝360°。

小结：任意多边形的外角和等于

360°。

板书：

二、任意多边形的外角和等于360°。

师：这就说明多边形的外角和与它的

边数无关．

教师适时引导本题实际上这是一道求

多边形外角和的问题。故他所转的各

个角的和是360°。

师：对此，我们也可以想象一下，

理解为什么多边形的外角和等于

360°？由于走了一周，所转的各个角

的和等于一个周角，所以多边形的外

角和等于360°。

利用形象思

维，更直观的

理解多边形的

外角和，加强

学生的认知。

7

课

堂

练

习

，

巩

固

新

知

（十一）课堂练习

1．下列命题是假命题的是（）

A．三角形的内角和是180°

B．多边形的外角和都等于360°

C．五边形的内角和是900°

D．三角形的一个外角等于与它不

相邻的两个内角的和

2．一个多边形的内角和是外角和

的2倍，则这个多边形是（）

A．四边形B．五边形

C．六边形D．八边形

3.如果一个正多边形的内角等于

120°，则这个多边形的边数是

___?

4.在四边形ABCD中，∠A=120°，

∠B:∠C:∠D=3:4:5，求∠B，∠

C，∠D的度数.

教师出示练习，根据学生回答，进行

适当评价。

生：1、C

2、C

3、六

4、设∠B，∠C,∠D的度数分别

是3x°,4x°,5x°，

∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°

∴120+3x+4x+5x=360

∴x=20

∴3x=60，

4x=80，

5x=100.

答：∠B,∠C，∠D的度数分别为

60°,80°,100°.

通过练习的分

析与解决，为

学生提供展示

自己聪明才智

的机会，在此

过程中教师也

能发现学生对

问题的分析与

理解，以及思

维中存在的误

区，特别是第

4题的板演，

可以提升学生

的书写表达能

力。

课

堂

总

结

本节课你有什么收获与感悟？学生反思学习和解决问题的过程。

教师鼓励学生大胆表达，并对学生的

进步给予肯定，根据学生回答，教师

做适当补充。

让学生自己归

纳小结，发表

见解，从中可

以培养学生的

归纳总结能

力，另外，可

以发现学生对

本节课的理解

程度。

布

置

作

作业：

（1）必做题：校本作业一张

（2）选做题：

你可以用其他的方法分割多边

形，得到n边形的内角和公式吗？

学生抄好作业内容分层作业有利

于不同层次的

学生获得学习

数学的成就

感。

8

业

板

书

设

计

§11.3.2多边形的内角和

一、多边形的内角和公式

二、多边形的外角和等于360°

七、教学反思：

在本节课的教学中，我严格遵循学生的认知规律，由感性到理

性，由抽象到具体，让学生通过交流、合作、讨论的方式积极探索，

成为学习的主人，在情感上，由好奇到疑惑，由解决单个问题的满

足感，到解决整个问题串的成就感，产生了强烈的学习激情。使不

同层次的学生都能得到发展。教师稍加点拨，把更多的探究空间留

给学生在课后探究，尽量让学生在课堂上掌握住重点的知识与方法

而且课后又能有所拓展提升。学生在课堂上表现得比较活跃，在教

师的指导和启示下，积极思考，能够主动地、富有个性地参与数学

活动，尝试着用自己的方式去解决问题，勇于发表自己的观点。