2x的导数

.

复合函数的导数

●教课目的

(一)教课知识点

复合函数的求导法那么.

(二)能力训练要求

能够利用复合函数的求导法那么，求解一些复杂的函数的导数

.

(三)德育浸透目标

1.培育学生灵巧运用知识的能力.

2.培育学生综合运用知识的能力.

●教课要点

利用复合函数的求导法那么求函数的导数.

●教课难点

怎样设中间变量，弄清复合函数是由哪些基本函数复合而成，把哪一部分当作一个整体

.求导的序次是由外

向内.经过练习，能够娴熟地掌握复合函数的求导法那么.

●教课方法

讲练联合，以练为主.

●教课过程

Ⅰ.课题导入

［师］复合函数的求导法那么是什么？

［生］复合函数对自变量的导数，等于函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数

.

［师］用公式怎样表示？要注意什么？

［生］y′x=y′u·ux′.利用复合函数的求导法那么求导数后，要把中间变量换成自变量的函数

.

［师］这节课我们还是来看一下利用复合函数的求导法那么怎样求一些复杂函数的导数

.

Ⅱ.讲解新课

(一)课本例题

［例2］求y=(1

1

的导数.3x)4

［师生共析］这道题怎样设中间变量呢？能够设

u=(1－3x)

4

.这时u还是复合函数，再设

v=1－3x.或许能够

把y当作y=(1－3x)－4

这时只需设u=1－3x就能够了.

(方法一)：解：令y=

1

，u=(1－3x)

4

.

u

再令u=v

4

.v=1－3x

∴y′x=y′u·u′x=y′u·u′v·v′x=(

1)′u·(v

4

)′v·(1－3x)′x=1·4v

3

·(－3)=－1

·4·(1

uu2

(13x)8

－3x)

3

(－3)=

12

3x)5(1

－4

－3x.(方法二)解：令y=u，u=1

xux－4

x－5－3x)－5

u·(－3)=12(1.

y′=y′·u′=(u)′(1－3x)′=－4u

［师］上述两种方法都求得正确结论，可是选用的中间变量不一样，求导过程就有难易之分

.因此求复合函

.专业.

.

数的导数，要点在于剖析清楚函数的复合关系，选好中间变量.假如你们已经娴熟掌握复合函数的求导法那么

了，那么中间步骤能够省略不写.

［板书］解:y′x=［(1－3x)－4

］′=－4(1－3x)－5

(－3)=12(1－3x)－5

.

［例3］求y=

5

1

x

的导数.

x

解：y=(

x1

)5

1x

y′=

1

(

x4

1(x

4

)5(

x

))51xx(1)

51x1x51x(1x)2

4

461x511

5(1x)

55

(1

4

x)2

x

x)5(15

(二)优选例题

［例1］求y=(ax－bsin

2

ωx)

3

对x的导数.

［学生板演］解：y′=3(ax－bsin

2

ωx)

2

·(ax－bsin

2

ωx)′

=3(ax－bsin

2

ωx)［a－(bsin

2

ωx)′］

=3(ax－bsin

2

ωx)［a－b2sinωx·(sinωx)′］

=3(ax－bsin

2

ωx)［a－b2sinωx·cosωx·ω］

=3(ax－bsin

2

ωx)(a－bω·sin2ωx)

［例2］求y=sin

n

xcosnx的导数.

［学生板演］解：y′=(sin

n

x)′cosnx+sin

n

x(cosnx)′

n－n

=nsin

n－1

xcosnx－sin

n

xsinnx.

［学生评论］做得不正确；在第二步时还要对sinx求导，以及对nx也求导.

［学生更正］解：y′=(sin

n

x)′cosnx+sin

n

x(cosnx)′

n－n

=nsin1

x·(sinx)′cosnx+sinx·(－sinnx)(nx)′

n－n

=nsin1

xcosxcosnx－nsinxsinnx

n－1

=nsinx(cosxcosnx－sinxsinnx)

n－

=nsin1

xcos(n+1)x.

［师］不要忘了对中间变量还要进行求导.

［例3］求函数y=－x

2

(3x－2)(3－2x)的导数.

［学生剖析］这是三个函数乘积的导数，只需依据公式

(uvω)′=u′vω+uv′ω+uvω′就能够求了.

［学生板演］解：y′=(－x

2

)′(3x－2)(3－2x)+(－x

2

)(3x－2)′(3－2x)+(－x

2

)·(3x－2)(3－2x)′=－2x(3x－

2)(3－2x)－x

2

·3(3－2x)－x

2

(3x－2)(－2)=24x

3

－39x

2

+12x.

(x1)(x2)

［例4］求函数y=的导数.

(x3)(x4)

［学生剖析］先把y当作幂函数y=[

(x

1)(x

2)]2

1

，里面的函数的求导要用到商的导数法那么，和积的

(x3)(x4)

.专业.

.

导数法那么.

1

解：y′={[

(x1)(x

2)

]2}′

1[(x1)(x2)]2

1[(x1)(x2)]1[(x1)(x2)]

2(x3)(x4)(x3)(x4)2(x3)(x4)

(x2x1)(x3)(x4)(x1)(x2)(x4x3)

(x3)2(x4)2

1

2

1

1(x1)2(x2)

12

(x3)2(x4)

1

2

24x20x22

1(x3)2(x4)2

2

11

(2x2(x1)2(x2)210x11)

33

(x3)2(x4)2

2x210x11

(x3)(x4)(x1)(x2)(x3)(x4)

［例5］求y=(3x+1)

25

x21

5x

的导数.

1

［剖析］y能够当作两个函数u、v的乘积，而u、v都是复合函数.

解：y′=［(3x+1)

2

］′

5x21x21

5x1

+(3x+1)

2

［(

15x

1

)

5

］′

5

x211x2

15

4x21

=2(3x+1)

·(3x+1)′5x

1+(3x+1)

2()(

5x

)

55x11

5

x211x2142x(5x1)(x21)5

=2(3x+1)

·3·

+(3x+1)

2

·

(5

5x155x

)

(5x1)21

=6(3x+1)5x21

+

1

(3x+1)2·

(x

2

1)

5x15

(5x1)

4

5

5x22x5

4(5x1)2

5

x21(3x1)2(5x22x5)

=6(3x+1)

5

5x15(5x1)5(x21)4(5x1)

［例6］求y=(x

2

－3x+2)

2

sin3x的导数.

解：y′=［(x

2

－3x+2)

2

］′sin3x+(x

2

－3x+2)

2

(sin3x)′

=2(x

2

－3x+2)(x

2

－3x+2)′sin3x+(x

2

－3x+2)

2

cos3x(3x)′

=2(x

2

－3x+2)(2x－3)sin3x+3(x

2

－3x+2)

2

cos3x.

Ⅲ.讲堂练习

1.求下函数的导数.

.专业.

.

1

(1)y=

(2x21)3

(2)y=

4

1

3x1

(3)y=sin(3x－)

6

(4)y=cos(1+x

2

)

(1)解：y=

1

2－3

2

1)3

=(2x－1)

(2x

y′=［(2x

2

－1)－3

］′

=－3(2x

2

－1)－4

(2x

2

－1)′

－

=－12x(2x

2

－1)－4

1111

)4(3x1)4

(2)解：y=

4

1

(

3x3x1

1

y′=［(3x+1)

4

］′

=－

=－

1

4

1

4

5

(3x+1)

4

(3x+1)′

5

3

5

(3x+1)

4

·3=－

(3x+1)

4

.

4

［师］有的函数要先进行变形，化成幂函数的形式，这样求导起来会比较方便.

(3)解：y′=［sin(3x－)］′

6

=cos(3x－)(3x－)′

66

=cos(3x－)·3=3cos(3x－)

66

(4)解：y′=［cos(1+x

2

)］′=－sin(1+x

2

)(1+x

2

)′

=－sin(1+x

2

)·2x=－2xsin(1+x

2

).

2.以下函数中，导数不等于

1

sin2x的是(D)

2

11

A.2－cos2xB.2+sin

2

x

42

.专业.

.

C.

11

sin

2

xD.x－cos

2

x

22

解：A：(2－

1

cos2x)′=0－1(－sin2x)(2x)′

44

11

=sin2x·2=sin2x.

4

1

2

111

B:(2+sin

2

x)′=0+2sinx·(sinx)′=·2·sinx·cosx=sin2x.

2222

C:(

1sin

2

x)′=12sinx(sinx)′=

1

·2sinxcosx=1

sin2x

2222

D:(x－

1111

cos

2

x)′=1－2cosx(cosx)′=1－2cosx(－sinx)=1+sin2x.

2222

3.函数y=xcosx－sinx的导数为(B)

B.－xsinx

D.－xcosx

解：y′=(xcosx－sinx)′=(xcosx)′－(sinx)′=x′cosx+x(cosx)′－

cosx=cosx－xsinx－cosx=－xsinx

4.求y=

x

的导数.

1x2

解：y′=(

x

)′

x1x2x(1x2)

1x2(1x2)2

x

11

1x2(1x2)2(1x2)

2

x21

1x2x

2

1(2x)

1x2

1x2

1x2x2

1x2

1x2

1x2x21

1x2(1x2)

3

(1x2)2

3

(1x2)2

Ⅳ.课时小结

这节课主要复习稳固了怎样运用复合函数的求导法那么进行求导.求复合函数的导数，要点在于剖析清楚函数的复合

关系，选好中间变量.一些根式函数或分母上是幂函数，分子为常数的分式函数，往常经过变形，

转变成幂函数，这样求导起来会比较方便，利用幂函数的求导公式.

Ⅴ.课后作业

(一)课本P125~126.习题3.4.1.(3)(4)、2.(3)(4)、3(1).

.专业.

.

(二)1.预习内容：课本P126对数函数的导数.

2.预习纲要

11

考虑证明过程，可用结论lim(1x)x

=e.

(1)(lnx)′=

xx0

a

1

a

(2)(logx)′=

x

loge.

●板书设计

§3.4.2复合函数的导数(二)

例2.求y=(1

1

的导数.(两种方法)3x)4

例3.求y=

5x

的导数.

1x

优选例题

例1.求y=(ax－bsin

2

ωx)

2

对x的导数.

例2.求y=sin

n

xcosnx的导数.

例3.求y=－x

2

(3x－2)(3－2x)的导数.

(x1)(x2)

例4.求y=

(x3)(x4)

的导数.

例5.求y=(3x+2)25

x

2

1

的导数.

5x1

例6.求y=(x

2

－3x+2)

2

sin2x的导数.

讲堂练习

1.求以下函数的导数.

11

(1)y=

1)3

(2)y=

4

1(2x23x

(3)y=sin(3x－)

(4)y=cos(1+x

2

)

6

2.以下函数中，导数不等于

1

)

sin2x的是(

2

11

2x

A.2－cos2xB.2+sin

42

1

D.x－

1

2

xcos

2

x

22

3.函数y=xcosx－sinx的导数为()

B.－xsinx

.专业.

.

.－xcosx

4.求y=

x

的导数.

1x2

课时小结

课后作业

.专业.