复数i的平方

数系的扩充和复数概念

1。虚数单位i：它的平方等于—1,即

2.i与－1的关系：i就是－1的一个平方根,即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－；

3。i的周期性：

4.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部,叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示复

数通常用字母z表示，即

5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R）是实数a；当b

≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯

虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

5。复数集与其它数集之间的关系：N___Z___Q___R___C.

6。两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，

d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小当两个复

数不全是实数时不能比较大小

7。复平面、实轴、虚轴:

点Z的横坐标是a,纵坐标是b，复数z=a+bi（a、b∈R)可用点Z（a,b）表示,这个建立了直角坐标系来表示复数

的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数

（1）实轴上的点都表示____________

(2）虚轴上的点都表示____________

（3）原点对应的有序实数对为（0,0）

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，

8．复数z1与z2的加法运算律：z1+z2=(a+bi）+(c+di）=（a+c）+(b+d)i。

9。复数z1与z2的减法运算律：z1-z2=(a+bi）-(c+di）=(a—c）+（b—d)i。

10。复数z1与z2的乘法运算律：z1·z2=(a+bi）（c+di)=（ac－bd)+(bc+ad)i.

11.复数z1与z2的除法运算律：

12。共轭复数：

通常记复数的共轭复数为。例如=3＋5i与=3－5i互为共轭复数

13.共轭复数的性质

（1）实数的共轭复数仍然是它本身

（2）

（3)两个共轭复数对应的点关于实轴对称

14.复数的两种几何意义：15几个常用结论

（1）,（2）

（3）,（4）

16。复数的模：（5）

复数的模（6）

特别地：1的立方根

【复数高考题选（2011——2012）】

1、（2012辽宁理）复数(）(A）(B）（C)（D）

2、复数=(）A2+iB2-IC1+2iD1-2i

3、(2012海南文）复数z＝错误!的共轭复数是（）（A）2+i（B）2－i（C)－1+i（D）－1－i

4、(2012全国卷理)下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（）

的共轭复数为的虚部为

（C)

5、(2012陕西理）设,是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（）

(A）充分不必要条件(B）必要不充分条件（C)充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

6、（2012天津理）是虚数单位,复数=（)(A）（Ｂ）（Ｃ）(Ｄ)

7、（2012安徽文）复数满足，则=()（A）（B）(C）（D）

8、(2012山东理)若复数x满足z(2—i)=11+7i（i为虚数单位)，则z为（）A3+5iB3-5iC-3+5iD-3—5i

9、（2012四川理)复数（)A、B、C、D、

10、（2012天津理）i是虚数单位，复数=（）（A)2+i（B）2–i（C）-2+i（D）-2–i

11、（2012重庆理）若，其中为虚数单位，则；

12、(2011重庆理)复数（)(A)（B）（C)(D）

13、（2011全国卷理)复数的共轭复数是（）A．B．C．D．

14、（2011陕西理）设集合M=｛y｜x—x|,x∈R｝,N=｛x|｜x—｜〈,i为虚数单位，x∈R},则M∩N为（）（A）

（0，1）（B)(0，1］（C）［0,1)(D）[0，1］

15、（2011辽宁理）a为正实数，i为虚数单位,，则a=(）（A）2（B）（C)（D)1

16、（2011山东理）复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为

（A)第一象限（B）第二象限（C)第三象限（D)第四象限

17、（2011安徽理）设是虚数单位,复数为纯虚数，则实数a为_(A）2（B)-2（C)—（D)

18、(2011江苏理）设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是_________

19

、（

2011

广东理）（）

A

．

B

．

C

．

D

．

20、(2010山东理)已知,则()（A）-1（B）1（C）2(D）3

21、（2010辽宁理）设a,b为实数,若复数，则（)

（A）（B）（C）(D）

22、（2010全国卷理)已知复数,是z的共轭复数，则=（）A.B。C。1D.2

23、(2010北京理）在复平面内，复数对应的点的坐标为.

24、(2010安徽理）（）（A）（B）（C）（D)

25、(2010江苏理)设复数满足（其中为虚数单位）,则的模为。

26、（2010广东理)若复数z

1

=1+i，z

2

=3—i，则（)A。4+2iB。2+iC。2+2iD.3+i

27、（2009四川理）复数的值是_______________Ａ.－１Ｂ.１Ｃ。－Ｄ。

28、（2009陕西理）已知z是纯虚数,是实数，那么z等于()(A）2i（B)i（C）—i(D）

-2i

点

向量

一一对应

一一对应

一一对应

复数

29、（2009广东理)设是复数，表示满足的最小正整数，则（)Ａ．８Ｂ．６Ｃ．４Ｄ．２

30、（2008广东理）已知，复数的实部为，虚部为1,则的取值范围是(）

A．B．C．D．

31、（2008辽宁理）复数的虚部是（）A．B．C．D．

32、（2008山东理）设z的共轭复数是，若z+=4，z·＝8,则等于(）（A)i(B）—i（C)±1（D）±i

33、（2008陕西理）复数等于（）A．B．C．1D．

34、（2008北京理）已知,其中是虚数单位，那么实数．

35、(2007北京理）

36、（2007四川理）复数的值是(）（A)0(B）1（C)-1（D)1