弧长公式扇形面积公式

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【本讲教育信息】

一.教学内容：

弧长及扇形的面积

圆锥的侧面积

二.教学要求

1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。

2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。

三.重点及难点

重点：

1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。

2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。

难点：

1、弧长公式、扇形面积公式的推导。

2、圆锥的侧面积、全面积的计算。

［知识要点］

知识点1、弧长公式

因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是

，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，

说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，

例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。

（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。

知识点2、扇形的面积

如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积

是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角

为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。

又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积

的另一个计算公式：。

知识点3、弓形的面积

（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。

（2）弓形的周长＝弦长＋弧长

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（3）弓形的面积

如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把

扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。

当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，

当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，

当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，

例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是（）

（结果用表示）

分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以

∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以

，

所以

注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。

圆周长弧长圆面积扇形面积

公

式

（2）扇形与弓形的联系与区别

（2）扇形与弓形的联系与区别

图

示

面

积

知识点4、圆锥的侧面积

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圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，

那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全

面积

说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并

明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。

知识点5、圆柱的侧面积

圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，

若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积，圆柱的全面积

知识小结：

圆锥与圆柱的比较

名称圆锥圆柱

图形

图形的形成过程

由一个直角三角形旋转得到

的，如Rt△SOA绕直线SO

旋转一周。

由一个矩形旋转得到的，如矩形

ABCD绕直线AB旋转一周。

图形的组成一个底面和一个侧面两个底面和一个侧面

侧面展开图的特征扇形矩形

面积计算方法

【典型例题】

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例1.（2003.辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2，1，∠AOB＝120°，

则阴影部分的面积是（）

A.B.C.D.

分析：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为，

所以

故答案为：B.

例2.（2004·陕西）如图所示，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC，BC，AB＝10

厘米，tan∠BAC＝，求阴影部分的面积。

分析：本题考查的知识点有：（1）直径所对圆周角为90°，（2）解直角三角形的知

识（3）组合图形面积的计算。

解：因为AB为直径，所以∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，AB＝10，tan∠BAC＝，而tan∠BAC＝

设BC＝3k，AC＝4k，（k不为0，且为正数）

由勾股定理得

所以BC＝6，AC＝8，，而

所以

例3.（2003.福州）如图所示，已知扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇

形AOB，点C，E，D分别在OA，OB及AB弧上，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F，

垂足为F，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为（）

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分析：连接OD，由正方形性质可知∠EOD＝∠DOC＝45°，在Rt△OED中，OD＝

，

因为正方形的边长为1，所以OE＝DE＝1，所以，设两部分阴影的面积中的

一部分为M，另一部分为N，则，阴影部分面

积可求，但这种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部分空白面积为P，

因为∠BOD＝∠DOC，所以

所以M＝P，所以

答案：。

例4.如图所示，直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AB＝2，BC＝7，AD＝3，

以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积。

分析：将直角梯形ABCD绕BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组

成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。

解：作DH⊥BC于H，所以DH＝AB＝2

CH＝BC－BH＝BC－AD＝7－3＝4

在△CDH中，

所以

例5.（2003.宁波）已知扇形的圆心角为120°，面积为300平方厘米

（1）求扇形的弧长。

（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？

分析：（1）由扇形面积公式，可得扇形半径R，扇形的弧长可由弧长

公式求得。（2）由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形

ABC，（1）问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为C＝2r，底面圆

半径r即CD的长可求，圆锥的高AD可在Rt△ADC中求得，所以可求。

解：（1）设扇形的半径为R，

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由，得，解得R＝30.

所以扇形的弧长（厘米）。

（2）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝R＝30，BC＝2r，底面圆周长C＝

2r，因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以

在Rt△ADC中，高AD＝

所以轴截面面积（平方厘米）。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一、选择题

1.若一个扇形的圆心角是45°，面积为2л，则这个扇形的半径是（）

A.4B.2C.47лD.2л

2.扇形的圆心角是60°，则扇形的面积是所在图面积的（）

A.B.C.D.

3.扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（）

A.90°B.C.D.180°

4.两同心圆的圆心是O，大圆的半径是以OA，OB分别交小圆于点M，N．已知大圆半

径是小圆半径的3倍，则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的（）

A.2倍B.3倍C.6倍D.9倍

5.半圆O的直径为6cm，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积是（）

A.B.

C.D.

6用一个半径长为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm

7.圆锥的全面积和侧面积之比是3：2，这个圆锥的轴截面的顶角是（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

8.已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1∶

2，则它们的高之比为（）

A.2：1B.3：2C.2：D.5：

9.如图，在△ABC中，∠C＝Rt∠，AC>BC，若以AC为底面圆半径，BC为高的圆锥

的侧面积为S

1

，以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥的侧面积为S

2

，则（）

A.S

1

＝S

2

B.S

1

>S

2

C.S

1

2

D.S

1

、S

2

的大小关系不确定

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二、填空题

1.扇形的弧长是12лcm，其圆心角是90°，则扇形的半径是cm，扇形的面积

是cm2.

2.扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是.

3.已知扇形面积是12cm2，半径为8cm，则扇形周长为.

4在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一

个圆锥，其全面积为S

1

；把Rt△ABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S

2

，则

S

1

：S

2

＝。

5.一个圆柱形容器的底面直径为2cm，要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形

的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有cm。

6.如图，扇形AOB的圆心角为60°，半径为6cm，C，D分别是的三等分点，则阴

影部分的面积是。

7.如图正方形的边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴

影部分面积为。

三、计算题

1.如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，以A为圆心画弧，交AB于点D，交AC延长

线于点F，交BC于点E，若图中两个阴影部分的面积相等，求AC与AF的长度之比（л

取3）。

2.一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是S

1

，另一个圆锥的侧面积是S

2

，

如果圆锥和圆柱等底等高，求．

3.圆锥的底面半径是R，母线长是3R，M是底面圆周上一点，从点M拉一根绳子绕圆

锥一圈，再回到M点，求这根绳子的最短长度．

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【试题答案】

一、选择题

1.A

2.B

3.C

4.D

5.B

6.B

7.B

8.C

9.B

二、填空题

1、24144

2、40°

3、19cm

4、3：4

5、3

6、2

7、2－4

三、计算题

1、连接AE，则，所以

2、

3、连接展开图的两个端点MM'，即是最短长度。

利用等量关系得出∠MAM′＝120°，∠AMD＝30°，AD＝，