割线定理

切割线定理

定理

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与

圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。

几何语言：

∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线

∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）

推论：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线

段长的积相等

几何语言：

∵PBA，PDC是⊙O的割线

∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）

由上可知:PT的平方=PA·PB=PC·PD

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证明

切割线定理证明:

设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则

PT²=PA·PB

证明：连接AT,BT

∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)

∠P=∠P(公共角)

∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)

则PB：PT=PT：AP

即：PT²=PB·PA

编辑本段

比较

切割线定理与割线定理，相交弦定理统称为圆幂定理

一.教学内容：

相交弦定理和切割线定理

二.重点、难点：

1.相交弦定理的使用特征。

2.切割线定理的使用特征。

【典型例题】

[例1]已知P为⊙O内一点，，⊙O半径为，过P任作一弦AB，设，

，则关于的函数关系式为。

解：由相交弦定理得，即，其中

[例2]如图，AC=BD，CE、DF切⊙O于E、F两点，连EF，求证：CM=MD。

证明：

作DN∥EC，交MF于N，则∠1=∠2，∠C=∠4

由弦切角定理得：∠3=∠1∴∠2=∠3∴DN=DF

由切割线定理，

∵AC=DB∴CB=DA∴CE=DF

∴CE=DN又∵∠5=∠6∴（AAS）∴CM=MD

[例3]已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，

求PB长。

解：

设TD=，BP=，由相交弦定理得：

即，（舍）

由切割线定理，由勾股定理，

∴∴

∴

[例4]两圆交于A、B，AC、AD切两圆于A，交两圆于C、D，连CB，延长交AD于E，

圆于F，若BC=9，AE=6，DE=2，求AC长。

解：

连AB，DF∵∴∠1=∠F∵AD与⊙O相切

∴∠1=∠C∴∠C=∠F∴AC∥DF

∴设BE=，EF=，则①

由相交弦定理得②由①、②解得：，

由切割线定理得：

∴AC=12

[例5]P为弦AB上一点，C在圆O上，OP⊥PC，求证：

（1）

（2）若CM=MO=3，OP=4，求AP

证明：

（1）延长CP交⊙O于D，∵OP⊥CD∴PC=PD

由相交弦定理，∴

解：

（2）易知，设，

由相交弦定理，，即①

由垂径定理，CP=PD，故在中有

∴由（1）结论，②

由①—②得：代②得，

∴，（舍负）

∴AP长为

[例6]如图，AB切⊙O于B，OB交割线ACD于E，AC=CE=3，OE=，求AB长。

解：

设⊙O半径为，DE=，延长BO交⊙O于K

由相交弦定理，，故①

由AB切⊙O于B知，故

∴②

由②—①得：，，（舍）

∴，AB=

[例7]如图，⊙O中直径AE⊥BF，M为OE中点，BM延长交⊙O于C，连AC，求

中三个内角的正切值。

解：易知∴

连CF、CE∵BF为直径∴

又∵∴

∴

∵∴

作MH⊥AC于H点则

[例8]如图，已知中，以C为圆心，作圆与AB相切于点D，且AD=9，

BD=16

（1）求⊙C的半径

（2）求的值

解：连CD、ED，则CD⊥AB，

（1）由射影定理，

∴∴EF=24∴⊙C半径为12

（2）由弦切角定理，，故

∴

设，由得：，故

，（舍）∴

【模拟试题】（答题时间：45分钟）

一.选择题：

1.如图，PT切⊙O于T，PBA、PDC为⊙O的割线，则下列等式成立的是（）

A.B.

C.D.

2.已知PA切⊙O于A，PBC交⊙O于B、C，且PB=BC，若PA=6，则PB长为（）

A.B.C.3D.

为⊙O的割线，PO交⊙O于C，若PC=CO，则PA=4，AB=5，则OC=（）

A.B.C.D.6

4.如图，PA、PB切⊙O于A、B，AO延长线与PB延长线相交于C，若⊙O半径为3，

BC=4，则（）

A.B.C.D.

5.已知PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于B，若PA=cm，PB=5cm，那么

⊙O半径为（）

二.填空题：

1.已知⊙O的弦AB与CD交于P点，AP=3cm，BP=6cm，CD=11cm，则CP=cm。

2.半径为5的⊙O内有点A，OA=2，过A点的弦CD恰被A点平分，则AC=。

3.已知⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B，，OP=5，

则⊙O半径长为。

4.如图，若⊙O的半径为OA=5，P在OA上，PA=2，MN过P点，使，

则弦心距OQ的长为。

5.如图，在中，两条直角边AC=6cm，BC=8cm，以AC为直径的圆与斜边AB

交于点D，OE为弦心距，则OE=cm。

三.解答题：

1.如图，BG切⊙O于B，弦CD∥AB，交BG于G点，PA、PB交CD于E、F，求证：

切⊙O于A，AC平分，若NB=4，AN=6，求AB长。