非负数

数学中国，lhnen整理-1-

非负数的性质专题训练

1．若

31x

+│1+y│=0，则x2+y2=_______．

2．若（b-2）2+

26a

=0，试解关于x的方程（a+2）x+b2=a-1．

3．若2│x-y│+2yz+z2-z+

1

4

=0，求x+y+z的值．

4．若2(2)xy与（x+y+1）2互为相反数，试计算xy的值．

5．若a2+b2-2a-4b+5=0，求

ab

ab





．

数学中国，lhnen整理-2-

6．若x-2xy+y=0，求代数式

3

534

xxyy

xxyy





的值．

7．若2（

x

+1y+2z）=x+y+z，求x、y、z的值．

8．已知a、b、c为实数，且ax2+bx+c=0．

│a-2│+

abc

+（c+3）2=0，求4x2-10x的值．

9．若2

2

1

2a

a



+b2+

2

1

b

+2=4，求：a+

1

a

+b+

1

b

的值．

答案:

数学中国，lhnen整理-3-

1．

10

9

点拨：由于非负数都不小于0．

所以:若n个非负数的和为0，则这n•个非负数均为0，

初中阶段常见的非负数形式有：a2n，│a│，

a

（a≥0）．

本题中：因为

31x

≥0，│1+y│≥0，且

31x

+│1+y│=0，

所以3x-1=0，且1+y=0，即x=

1

3

，y=-1．

所以x2+y2=（

1

3

）2+（-1）2=

1

9

+1=

10

9

．

2．解：（b-2）2≥0，26a≥0，且（b-2）2+

26a

=0．

所以b-2=0，2a+6=0，即b=2，a=-3．

原方程可化为：（-3+2）x+（2）2=-3-1，-x+2=-4，x=6．

3．解：原等式可变形为：2│x-y│+2yz+（z-

1

2

）2=0．

因为│x-y│≥0，2yz≥0，（z-

1

2

）2≥0．

所以

0,

20,

1

0.

2

xy

yz

z





















解得x=-

1

4

，y=-

1

4

，z=

1

2

．

所以x+y+z=-

1

4

-

1

4

+

1

2

=0．

点拨：题目把非负数的性质与解方程联系起来，利用非负数的性质求出x、y、•z的值，进而求

代数式的值．

4．解：依题意：2(2)xy+（x+y+1）2=0，

即│x-y+2│+（x+y+1）2=0．

因为│x-y+2│，（x+y+1）2≥0，

所以x+y+1=0，且x-y+2=0，解得x=-

3

2

，y=

1

2

．

数学中国，lhnen整理-4-

所以xy=

31

()

22

=2．

点拨：题目中2(2)xy与（x+y+1）2都是非负数，它们互为相反数，则它们都是0，所以

x+y+1=0且x-y+2=0，求出x、y的值，即可得出本题的结论．

5．解：因为a2+b2-2a-4b+5=0，

所以a2+b2-2a-4b+1+4=0，即（a-1）2+（b-2）2=0，

所以a=1，b=2，所以

ab

ab





=

12

12





=

(12)(12)

(12)(12)





=

32

1





=-3-22．

点拨：所给的条件等式中并非全都是非负数，所以把常数项5拆成了1和4，进而构造两个完

全平方式，出现了非负数，使题目顺利地得以解决．•题目中采用的这种拆项配完全平方的方法是同

学们必须要掌握的．

6．解：依题意，x>0，y>0，所以x-2xy+y=0，可化为

（

x

）2-2

x

·y+（y）2=0，即（

x

-）2=0，所以x=y．

原式

2

2

33

4

534

xxxx

x

xxx







=

3

4

．

点拨：由所求的代数式可知，x、y不能同时为0，又因为xy>0，所以x、y•只能同号，当x、y

同负时，条件等式的左边为负数，等式不会成立，所以x、y是两个正数．那么，等式左边的代数式

可化为一个完全平方式，进而找到x到y的关系．即x=y，然后把这一条代入所求代数式，进行化

简计算，明确x、y的取值范围很重要，它是解此题的关键．

7．解：依题意：x≥0，y≥1，z≥2．

因为2（

x

+1y+2z）=x+y+z，

所以x-2

x

+y-21y+z-22z=0．

（

x

）2-2

x

+1+（1y）2-21y+1+（2z）2-22z+1=0．

即（

x

-1）2+（1y-1）2+（2z-1）2=0

所以

x

-1=0，1y-1=0，2z-1=0．

解得x=1，y=2，z=3．

数学中国，lhnen整理-5-

点拨：题目的条件等式中并没有出现完全平方式，因此要对条件等式进行变形，•使之出现右边

为0，左边为几个非负数的和的形式，进而利用非负数的性质求出x、•y、z的值，在去括号，移项

后，仍没有出现所需的非负数形式，故用添常数项的方法，在等式的左边构造出了三个完全平方式，

进而求出了x、y、z的值．•本题的添拆项是难点所在，同学们要认真学习，牢牢掌握．

8．解：因为│a-2│+

abc

+（c+3）2=0，

所以a-2=0，a+b-c=0，c+3=0．

即a=2，c=-3，b=-5，依题意：2x2-5x-3=0，

即2x2-5x=3，所以4x2-10x=2（2x2-5x）=2×3=6．

点拨：在利用非负数的性质求出a、b、c的值之后，ax2+bx+c=0就变成了一个关于x的方程，

由于我们暂时不会解这种方程，所以采用了整体代入的方法，即使我们在学习了下一章后，这种方

法仍要比求值代入的方法简便、快捷．

9．解：因为2

2

1

2a

a



+b2+

2

1

b

+2=4，

所以2

1

()a

a



+b2+

2

1

b

-2=0．

即|a+

1

a

|2+（b-

1

b

）2=0，所以a+

1

b

=0，b-

1

b

=0．

因为（b-

1

b

）2=b2+

2

1

b

-2=（b+

1

b

）2-4=0．

所以（b+

1

b

）2=4，b+

1

b

=±2．

所以a+

1

a

+b+

1

b

=±2．

点拨：由非负数的性质可知a+

1

a

=0，b-

1

b

=0．因此，利用条件，求b+

1

b

成了解题的关键，利

用完全平方公式的变形求值是同学们应掌握的解题技巧．