托里拆利小号

托⾥拆利⼩号：有关于其的证明

⽬录

介绍

托⾥拆利⼩号（Torricelli'sTrumpet）是由意⼤利数学家EvangelistaTorricelli所发明的⼀个表⾯积⽆限⼤但体积有限的三维形状。此形

状⼜被称为加百利号⾓（Gabriel'sHorn），根据宗教传说，天使长加百利吹号⾓以宣布审判⽇（JudgmentDay）的到来。

意⼤利数学家托⾥拆利（EvangelistaTorricelli）将y=1/x中x≥1的部分绕着x轴旋转了⼀圈，得到了上⾯的⼩号状图形（注意，图只

显⽰了这个图形的⼀部分）。然后他算出了这个⼩号的⼀个性质——它的表⾯积⽆穷⼤，可它的体积却是π。这明显有悖于⼈的直觉：体

积有限的物体，表⾯积却可以是⽆限的！换句话说，填满整个托⾥拆利⼩号只需要有限的油漆，但把托⾥拆利⼩号的表⾯刷⼀遍，却需要⽆

限多的油漆！这个形状是由⽐例系数为1的反⽐例函数（x的域为）的曲线沿轴旋转⽽成。

证明

下⾯我们来⽤微积分给出证明：

【1】体积

托⾥拆利⼩号是⼀个旋转体。故由公式

⼩号体积为⼴义积分

由Newton-Leibniz公式

反⽐例函数在x趋于±⽆穷时收敛到0，则

故原⼴义积分收敛于1，体积为π乘1=π

【2】表⾯积

旋转体的表⾯积

带⼊得

由于x≥1，故

⽬录

审敛得该⼴义积分发散，为正⽆穷

【3】⽤Python求

使⽤Sympy库：

pipinstallSympy

importsympyass

x=("x")

#体积

fx=*(1/x)**2

res=ate(fx,(x,1,))#oo代表正⽆穷

print(res)

运⾏结果：

表⾯积

#其他代码略

fx=2**(1/x)*(1+(x**-4))

res=ate(fx,(x,1x,))

print(res)

运⾏结果：